Axlou Toth Pour l’InnovatIon SérIe D’exercIceS n°2 Cours D’excellence D’encaDrement scientifique Encadreurs : M. Diagne & M. Diallo & M. SARR Niveau : TERMINALE S2 Thème : Fonctions Numériques Exercice 1 : Préciser l’ensemble de dérivation et calculer la dérivée de la fonction 𝑓 dans le cas où 𝑓 est l’une des fonctions suivantes : 𝑥+3 1) 𝑥 ↦ 4𝑥 2 − 3) 𝑥 ↦ 5) 𝑥 ↦ 3𝑥 4 −8𝑥 4 2 3 4 + 3 cos 𝑥 2) 𝑥 ↦ − 𝑥 + 𝑥 2 − 5√𝑥 − 3 sin 𝑥 + 17 4) 𝑥 ↦ (3𝑥 2 − 𝑥 + 2)(3𝑥 − 1) 2𝑥 2 −5 6) 𝑥 ↦ 3𝑥+1 1 √𝑥 Exercice 2 : Préciser l’ensemble de dérivation et calculer la dérivée de la fonction 𝑓 dans le cas où 𝑓 est l’une des fonctions suivantes : 1) 𝑥 ↦ (3𝑥 2 + 𝑥 − 1)2 2) 𝑥 ↦ 5√𝑥 2 − 1 3) 𝑥 ↦ 4(3𝑥 4 +5𝑥) 5 4 4 4) 𝑥 ↦ 3(2𝑥+1)5 2𝑥−1 3 5) 𝑥 ↦ ( 𝑥−5 ) 6) 𝑥 ↦ 𝑥√2 + 3𝑥 2 7) 𝑥 ↦ 4 cos(3𝑥) 8) 𝑥 ↦ 4(cos(𝑥))3 3 2 9) 𝑥 ↦ (sin (𝑥)) Exercice 3 : Utilisation de la méthode de Dichotomie et Balayage Soit f: x ⟼ x 3 − 12x − 8 définie sur ℝ 1) Déterminer la fonction dérivée et étudier son signe sur ℝ 2) Dresser le tableau de variations de la fonction(préciser les limites aux bornes) 3) Préciser les extréma et les tangentes horizontales éventuels Donner l′ équation de la tangente à sa courbe au point d′ abcisse 0 4) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = −21 admet une unique solution 𝛼 sur l’intervalle [−2; 2]. 5) Déterminer, sans calculatrice, un encadrement de 𝛼 entre deux entiers consécutifs. 6) Déterminer, avec calculatrice, un encadrement de 𝛼 à 10−3 près. Exercice 4 : 1) On donne le tableau de variations d’une fonction continue 𝑓 définie sur [−4; 7]. 1 Pour vos cours particuliers de l’année scolaire ou à domicile (Maths, PC et SVT), contactez-nous aux 78 192 84 64- 78 151 34 44 𝑥 −4 −2 0 3 5 7 5 𝑓 -1 0 0 -2 −3 a) Déterminer les extremums de 𝑓 sur les intervalles : [3; 7]; [−4; 3] 𝑒𝑡 [−2; 7] b) Déterminer le signe de 𝑓(𝑥), 𝑖. 𝑒 préciser pour quelles valeurs de 𝑥, 𝑓(𝑥) est positif où négatif. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥). 2) On donne le tableau de variations d’une fonction continue 𝑔 définie sur ℝ. 𝑥 −∞ +∞ −5 −3 2 1 4 +∞ 𝑔 4 0 0 −∞ a) Déterminer les extrémums éventuels de 𝑔 sur [−5; 4] 𝑒𝑡 [−5; +∞[ b) Déterminer le signe de 𝑔(𝑥) et dresser son tableau de signes. Exercice 5 : Soit 𝑓: [−1; 4] → ℝ une fonction continue. On suppose connu le tableau de variations de 𝑓. Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans [−1; 4] et que 𝛼 𝜖 [1; 4]. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) en fonction de 𝛼. 𝑥 −1 0 1 −1 4 3 𝑓 −5 −2 Exercice 6 : Soit f définie sur ℝ par: f(x) = x 3 − 12x − 8. On donne ci − dessous le tableau de variations et on admet que l′ équation f(x) = 0 admet trois solutions sur ℝ: α ≃ −3,1 β ≃ −0,7 et γ ≃ 3,8 2 Pour vos cours particuliers de l’année scolaire ou à domicile (Maths, PC et SVT), contactez-nous aux 78 192 84 64- 78 151 34 44 1) Déterminer par lecture du tableau le signe de f(x) sur ℝ x3 + x2 Soit g la fonction définie sur ℝ\{−2; 2} par g(x) = 2 x −4 2) Calculer g ′ (x) et l′ exprimer en fonction de f(x) 3) Déterminer le signe de g(x) et le tableau de variation de g sur ℝ\{−2; 2} Exercice 7 : La courbe 𝐶𝑓 ci-contre est celle d’une fonction 𝑓 définie et continue sur ℝ\{2}. On sait que les droites d’équations 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 2 𝑒𝑡 𝑦 = −1 sont des asymptotes à la courbe 𝐶𝑓 . 1. Par une lecture graphique, déterminer : a. b. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) , 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥)+1 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ . 𝑥 , 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 1 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)−𝑥 2𝑥+1 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑓∘𝑓(𝑥) 𝑥→2 𝑓(𝑥) c. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑓( 𝑥−1 ). 𝑥→2 2. Soient 𝑔: 𝑥 → 𝑥→+∞ 1 √𝑥 𝑒𝑡 ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓. a. Déterminer l’ensemble de définition de ℎ. b. Montrer que la fonction ℎ est prolongeable par continuité en 2. Exercice 8 : Voici la courbe représentative d’une fonction 𝑓 définie sur ℝ \{−2; 2; 3}. 3 Pour vos cours particuliers de l’année scolaire ou à domicile (Maths, PC et SVT), contactez-nous aux 78 192 84 64- 78 151 34 44 1) Par lecture graphique, donner les limites de 𝑓 aux bornes de son ensemble de définition. 2) On admet que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 possède une unique solution 𝛼 avec −2 < 𝛼 < −1,8 sur ℝ \{−2; 2; 3}. 1 a) Déterminer l’ensemble définition de 𝑓 1 b) Déterminer, justifiant, la limite de 𝑓 𝑒𝑛 𝛼, 𝑒𝑛 2, 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑒𝑛 + ∞. 3) Dessiner dans un repère orthonormé la courbe de la fonction définie 𝑔 par 1 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)−1. Exercice 9 : Soit la fonction f définie par f(x) = 2x2 −3x+3 x2 −2x+2 1. Déterminer Df puis déterminer les limites au niveau de ses bornes. Préciser les branches infinies de Cf . 2. Dresser le tableau de variation de f puis tracer Cf . Exercice 10 : Soit la fonction f définie par { 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟐−𝟐𝒙 𝒙+𝟏 𝒔𝒊 𝒔𝒊 𝒙<𝟏 𝒙≥𝟏 1. Démontrer que f est continue en 1. 2. Etudier la dérivabilité de f en 1 3. Déterminer une équation de la demi-tangente à gauche et une équation de la demi-tangente à droite à la courbe représentative de f en 1. 4. Etudier les branches infinies de 𝑪𝒇 . 5. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation. 6. Tracer 𝑪𝒇 . Exercice 11 : Soit la fonction f définie sur [3, +∞[ par : f(x) = x 2 √x − 3 1) Etudier les variations de f. 4 2) Montrer que l’équation √x − 3 = x2 admet une unique solution réelle α dans ]3, +∞[ 3) Montrer 3 < α < 4. 4 Pour vos cours particuliers de l’année scolaire ou à domicile (Maths, PC et SVT), contactez-nous aux 78 192 84 64- 78 151 34 44 Exercice 11 : Soit f une fonction définie sur [1, +∞[ par :f(x) = x 2 − 2x + 5 1) Montrer que f établit une bijection de [1, +∞[ vers [4, +∞[. 2) Montrer que f −1 est dérivable sur ]4, +∞[. Préciser (f −1 )′ sur ]4, +∞[ 3) Etudier la dérivabilité de f −1 au point 4. Exercice 12 : 1 Soit f la fonction numérique définie par : f(x) = 2 (x + 4 + √x 2 + 4) 1) Etudier les variations de f. 2) a) Montrer que f est une bijection de IR sur un ensemble J que l’on précisera. b) Montrer que la bijection réciproque f −1 de f est dérivable sur J. c) Calculer (f −1 )′ (x) pour tout x de J. Problème 1 : Soit f la fonction définie par : x+1 x. √| f(x) = { | si x < 0 . x3 −x2 si x ≥ 0 x2 +1 1) Montrer que f est définie sur ℝ. Ecrire la fonction sans barres de valeur absolue. 2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 et – 1. 3) Etudier les branches infinies et la position de la courbe de f par rapport aux éventuelles asymptotes. 4) Calculer f′ sur les intervalles ou f est dérivable. 5) Soit g(x) = x 3 + 3x – 2. a) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique a sur ℝ puis donner un encadrement de a à 10−2 prés. b) En déduire le signe de g sur ℝ. xg(x) 6) Montrer que f′(x) = (x2 +1)2 sur ]0 ; + ∞] puis établir le tableau de variations de f sur ℝ. x 7) Tracer (Cf). 8) Montrer que la restriction f1 de f à ]− ∞ ; −1] admet une bijection réciproque dont on précisera son ensemble de définition J. 9) f1−1 est-elle dérivable sur J ? Calculer f1(-2) puis (f1−1 )'(- 2 ). Problème 2 : Soit la fonction définie par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥²−1 √𝑥²−1 Partie A : 1. Déterminer le domaine de définition de 𝑓 . On le notera Df. 2. Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ Df on a 𝑓(𝑥) > 0. 3. Etudier la parité de 𝑓. Que peut-on conclure pour la courbe de 𝑓 dans un repère orthonormé. 4. Calculer 𝑓’(𝑥) puis étudier son signe pour 𝑥 > 1. En déduire le tableau de variation de 𝑓 pour 𝑥 > 1. Construire la courbe. Partie B : La fonction numérique g est définie par : 𝑔(𝑥) = 𝑥√𝑥² − 1 5 Pour vos cours particuliers de l’année scolaire ou à domicile (Maths, PC et SVT), contactez-nous aux 78 192 84 64- 78 151 34 44 Donner le domaine de définition de 𝑔. 1. Etudier la parité de 𝑔. 2. Trouver les coordonnées des points d’’intersections de (𝐷) d’’équation : 𝑦 = 𝑥 et de la courbe de 𝑔. 3. Calculer 𝑔’(𝑥) et exprimer 𝑔’(𝑥) en fonction de 𝑓 ‘(𝑥) de la partie 𝐴. 4. Soit h la fonction définie sur ]1, + ∞[ par ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥). a- Donner le tableau de variation de ℎ. b- Montrer que h est une bijection de ]1, + ∞[ sur un intervalle que l’on déterminera. c- Tracer la courbe représentative de ℎ. d- Tracer la courbe représentative de ℎ_1 dans un même repère. Problème 3 : Partie A : Soit g la fonction définie par g(x) = 2x 3 + 3x 2 + 1 1. Etudier les variations de g. 2. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α et que α ∈ [−1,68; −1,67] 3. En déduire le signe de g(x). Partie B : Soit f la fonction définie par : −x + √x 2 + x si x ≥ 0 f(x) = { x3 +x si x < 0 x+1 1. Déterminer Df puis les limites aux bornes. 2. Etudier les branches infinies de (Cf ) 3. a) Etudier la continuité de f en 0. b) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter les résultats 4. a) Calculer f′(x) sur ]0; +∞[ puis étudier son signe. b) Calculer f ′ (x) sur ] − ∞; 0[ puis étudier son signe (on pourra exprimer f′(x) en fonction de g(x) c) Dresser le tableau de variation de f d) Montrer que f(α) = 1 + 3α². PARTIE C : Soit h la restruction de f sur I =]0; +∞[ 1. Montrer que ℎ réalise une bijection de 𝐼 vers 𝐽 à préciser 2. a) ℎ−1 est elle dérivable sur 𝐽. b) Calculer ℎ(3) puis calculer (ℎ−1 )′ (−3 + 4√3) 3. Tracer soigneusement (𝐶𝑓 ) 𝑒𝑡(𝐶ℎ−1 ). Problème 4 : Partie A. Soit la fonction 𝑔 définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 + 8. 1) Déterminer les limites de 𝑔 en +∞ et en −∞. 2) a) Calculer la dérivée 𝑔′ (𝑥). En déduire le tableau de variation de 𝑔. 6 Pour vos cours particuliers de l’année scolaire ou à domicile (Maths, PC et SVT), contactez-nous aux 78 192 84 64- 78 151 34 44 b) Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dont on déterminera la valeur arrondie à 10−1 près. Donner alors le tableau de signe de 𝑔(𝑥). Partie B. 𝑥 3 −4 Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 et 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans un repère orthonormal, unité graphique 1 cm. 𝑎𝑥+𝑏 1) a) Déterminer les réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 2 +1 ∙ b) En déduire les limites de 𝑓 en +∞ et en −∞. c) Montrer que la droite Δ d’équation 𝑦 = 𝑥 est asymptote oblique à la courbe 𝐶𝑓 . Etudier la position relative de 𝐶𝑓 et Δ. Préciser les coordonnées de leur point d’intersection A. 𝑥𝑔(𝑥) 2) a) Calculer la dérivée 𝑓 ′ (𝑥). Montrer que 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 2 +1)2 ∙ b) En déduire le tableau de variation complet de 𝑓. 3) a) Déterminer les abscisses des points 𝐵 et 𝐵 ′ où la courbe 𝐶𝑓 admet une tangente parallèle à Δ. En donner la valeur arrondie au dixième. 3 b) En utilisant la partie A question 2) b), montrer que 𝑓(𝛼) = 2 𝛼. En déduire une valeur approchée de 𝑓(𝛼). 4) Dans le repère préalablement défini, tracer la courbe 𝐶𝑓 , la droite Δ, placer les points 𝐴, 𝐵 et 𝐵 ′ , construire les tangentes connues. Problème 5 : Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ − {1} par : { 𝑓(𝑥) = 𝑥 + √|𝑥 2 − 𝑥| 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑥3 𝑓(𝑥) = −𝑥−1 𝑠𝑖 x ≤ 0 On note (𝐶𝑓 ) sa représentation graphique dans un repère orthonormé. Partie A : 1. Justifier que 𝑓 est bien définie sur ℝ − {1}. 2. Ecrire 𝑓 (𝑥) sans le symbole de la valeur absolue. 3. a) Etudier la continuité de 𝑓 en 0. b) Etudier la dérivabilité de 𝑓 en 0 et en 1. Interpréter ces résultats. 4. Etudier les limites de 𝑓 aux bornes de 𝐷𝑓 . 1 5. a) Montrer que (𝐷) : 𝑦 = 2𝑥 − 2 est asymptote oblique à (𝐶𝑓 ) en +∞. b) Etudier la nature de la branche infinie en −∞. 6. a) Calculer 𝑓 ′ (𝑥) sur les intervalles où 𝑓 est dérivable. b) Résoudre sur ]0; 1[ l’inéquation : −2𝑥 + 1 + 2√−𝑥 2 + 𝑥 ≤ 0. En déduire le signe de 𝑓 ′ (𝑥) sur ]0; 1[. c) Etablir le tableau de variation de 𝑓 puis construire (𝐶𝑓 ). Partie B : Soit 𝑔 la restriction de 𝑓 à 𝐼 = ]1; +∞[. 7 Pour vos cours particuliers de l’année scolaire ou à domicile (Maths, PC et SVT), contactez-nous aux 78 192 84 64- 78 151 34 44 1. Montrer que 𝑔 réalise une bijection de 𝐼 vers 𝐽 à préciser. 2. Soit 𝑔−1 la réciproque de 𝑔. 3. a) 𝑔−1 est-elle dérivable sur 𝐽. b) Dresser le tableau de variation de 𝑔−1 . 4. Calculer 𝑔(2) et (𝑔−1 )′ (2 + √2). Problème 6 : Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 + √|4𝑥 2 − 1| et (𝐶) la représentation graphique de 𝑓 dans un le plan muni d’un repère orthonormé (𝑂, 𝐼, 𝐽) ; unité 4cm. 1. Etudier la continuité de 𝑓. 1 1 2. Etudier la dérivabilité de 𝑓, en − 2 et en 2. Calculer la dérivée de la fonction 𝑓 sur chaque intervalle où elle est dérivable. 3. Démontrer les équivalences suivantes : 1 a) √4𝑥 2 − 1 + 4𝑥 < 0 ⟺ 𝑥 ∈ ]−∞; − 2[. 1 1 a) √1 − 4𝑥 2 − 4𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ [− 2 ; 2√5[. b) En déduire le signe de 𝑓 ′ (𝑥). 4. a) Calculer 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) et 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥). En déduire le tableau de variation de 𝑓. 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ b) Calculer 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥) + 𝑥] et 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥) − 3𝑥]. En déduire que le courbe (𝐶) admet deux 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ asymptotes d’équations : 𝑦 = −𝑥 et 𝑦 = 3𝑥. Construire (𝐶). 1 5. a) Soit ℎ la restriction de 𝑓 à ]−∞; − 2]. Démontrer que ℎ admet une fonction réciproque ℎ−1 dont on précisera l’ensemble de définition et les variations. b) Calculer : 𝑙𝑖𝑚 [𝑥 + ℎ−1 (𝑥)] et en déduire que la représentation (𝛤) de ℎ−1 et (𝐶) ont une 𝑥→+∞ asymptote en commun. Construire (𝛤). c) Calculer ℎ−1 (0) et déterminer une équation de la tangente à (Γ) au point A (h−10(0)). Problème 7 : x x 2 4 si x 0 Soit la fonction f définie par f x 4 x 2 si x 0 1) Déterminer l’ensemble de définition de f 2) Ecrire f(x) sans valeur absolue 3) a) Etudier la continuité de f en 0 b) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter les résultats. c) Etudier la dérivabilité de f en 2. Interpréter. 4) Etudier les branches infinies en l’infini 5) Montrer qu’il existe un unique 0;2 solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥. Vérifier que 3 1; . Que représente graphiquement . 2 6) Tracer soigneusement Cf dans un repère orthonormé. 8 Pour vos cours particuliers de l’année scolaire ou à domicile (Maths, PC et SVT), contactez-nous aux 78 192 84 64- 78 151 34 44 7) Soit g la restriction de à 2; a) Montrer que g admet une bijection réciproque g-1 dont on précisera son ensemble de définition et ses variations. b) Etudier la dérivabilité de g-1 c) Calculer g 1 5 d) Exprimer g-1(x) e) Tracer Cg 1 dans le même repère 3 7 3 8) a) Montrer que x 1; f x 7 2 b) En déduire que f x 3 7 x 7 Pensée : « Soyez un élément de qualité. Certaines personnes ne sont pas habituées à un environnement où l’on attend l’Excellence » Steve Jobs 9 Pour vos cours particuliers de l’année scolaire ou à domicile (Maths, PC et SVT), contactez-nous aux 78 192 84 64- 78 151 34 44