ts

Année Scolaire 2015 2016
Classe: TSB
Durée: 2H
Lycee de Keur Massar
Cellule Pédagogique Mathématiques
DEVOIR N◦ 2 DE MATHEMATIQUES ( 1er Semestre)
Nombres Complexes
Exercice :
On considère l’équation z 3 + 9iz 2 + (12i − 22)z − 12i − 36 = 0
1 Montrer que (E) admet une solution solution réelle z1 que l’on déterminera.
2 Résoudre alors l’équation (E).
3 Dans le plan muni d’un repère (O,~u,~v ). On considère les points A(−2), B(−3i)
et C(2 − 6i).
a Calculer
zA −zC
zA −zB .
En déduire son argument.
b Que peut on en déduire pour les points A, B et C ?
4 On pose Z =
√
1+i(3+ 3+zB
1−i
a Montrer que Z =
√
1+i 3
1−i .En
déduire sa forme algébrique.
b Donner la forme trigonométrie de Z.
7π
c En déduire les valeurs exactes cos( 7π
12 ) et sin( 12 )
d Calculer Z 6 . Déterminer le plus grand entier n tel que Z n soit un imaginaire
pur.
© © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © ©
Devoir N◦ 4 de Mathématiques LKM
Page 1/2
Année Scolaire 2015 2016
Classe: TSB
Durée: 2H
Lycee de Keur Massar
Cellule Pédagogique Mathématiques
Problème de Synthèse
Partie A
Soit g la fonction définie par g(x) = 1 + x2 − 2x2 ln x.
1 Etudier les variations de g. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution
α ∈]1, 89; 190[
2 En déduire le signe de g.
Partie B Soit f la fonction définie par :




x + ln (1 − x)








 ln x
1+x2
si x 6 0
si x > 0
1 a Etudier la continuité de f en 0.
b Etudier la dérivabilité de f en 0 à gauche puis interpréter graphiquement le
résultat.
2 a Calculer les limites de f en +∞ et en −∞.
b Etudier les branches infinies de la courbe de f .
3 a Montrer que pour tout réel x > 0, f 0 (x) =
g(x)
x(1+x2 )2
b En déduire les variations de f sur ]0; +∞[.
c Calculer f 0 (x) pour x 6 0 puis donner son signe.
d Etablir le tableau de variation de f .
4 a Montrer que f (α) =
1
.
2α2
On prendra α = 1.90
b Tracer la courbe de f : unité 5cm.
5 Soit h la restriction de f sur ] − ∞; 0[
a Montrer que h admet une bijection réciproque h−1 dont on précisera l’ensemble de définition ; puis tracer la courbe de h−1
b Calculer h(−1) et en déduire (h−1 )0 (−1 + ln 2)
Devoir N◦ 4 de Mathématiques LKM
Page 2/2