a) Construire la droite d intersection du plan (AJK) et du plan ( BCD

TS
DM 6
A rendre le mercredi 25/01/2017
Exercice 1 : Des sections de solides par des plans
1.On considère la pyramide ABCD. Les points I, J et K sont respectivement des points de(BCD), [AD] et (ABC)
a) Construire la droite d intersection du plan (AJK) et du plan ( BCD)
b) Justifier que les droites d et ( KJ) sont sécantes et construire leur point d'intersection L
c) Tracer la section de la pyramide par le plan (IJK). La construction sera faite en laissant les traits apparents mais
aucune justification n’est attendue.
2 .On considère le cube ABCDEFGH. Les points I, J et K sont respectivement des points de [EH], [EF] et [CG]
Tracer la section du cube par le plan ( IJK) . La construction sera faite en laissant les traits apparents mais
aucune justification n’est attendue.
Exercice 2 :
Une ville compte 10 000 habitants. A 8 h du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle.
On note f (t ) la fréquence des personnes connaissant la rumeur à l’instant t ( exprimé en heures ).
On choisit 8 heures, comme instant initial t  0 . La nouvelle se répand dans la ville de sorte que la vitesse de
propagation f '(t ) est proportionnelle à la fois à la fréquence de ceux qui connaissent la nouvelle et à la fréquence de
ceux qui ne la connaissent pas. On admet que la fonction f vérifie la condition (1) : f '(t )  1,15 f (t ) 1  f (t )  quel que
soit t positif ou nul.
1. Expliquer pourquoi f (0)  0, 01
2. Montrer que la fonction f définie sur 0 ;   par f (t ) 
1
vérifie la condition (1) et la relation
1  99 e  1,15 t
précédente. On admet que c’est la seule.
3. Etudier le sens de variation de f et déterminer sa limite en  
4. Combien de personnes connaissent la nouvelle à midi ? On arrondira à l’entier .
5. Déterminer, par calcul, l’heure à laquelle au moins 99 % de la population connaîtra la rumeur
Exercice 3 :
Répondre par VRAI ou FAUX aux affirmations proposées, en justifiant vos réponses.
1.
ln 4  ln 2   ln 2 
2
2. Soit u la fonction définie sur 0 ;   par u ( x)  1  x  ln(2 x)
L’équation u ( x)  0 admet une unique solution sur 0 ;  
3. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f définie sur
0 ;   par
f ( x)  1  x ln x
La tangente à (C) au point d’abscisse 1 admet comme équation y  x  1
 n 1 
 est décroissante.
 n 
4. La suite  un  définie pour tout entier n non nul par un  1  ln 
5. Soit f la fonction définie sur [0;  [ par f ( x)  ln 1  x   x 
x2
.
2
Pour tout x de 0 ;   : f ( x)  0
6.
lim
x  
x2  3
ln  x 2  3
 
Exercice 4 : Pour chercher plus . Facultatif
1. Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur 0 ;   par f ( x) 
2. Comparer, pour n entier supérieur ou égal à 3, les nombres nn1 et (n  1)n
ln  x 
x
.