N1MA3W01 Algèbre 2 - Partiel 2 Correction Lundi 17 Novembre 2014, 17h-18h30 Exercice 1 (sur 6 points) On considère la matrice 7 2 A= 0 0 6 3 0 0 0 1 2 1 −3 1 . 0 2 1. Calculer les valeurs et vecteurs propres de la matrice 7 6 A1 = . 2 3 2. Calculer les valeurs et vecteurs propres de la matrice 2 0 A2 = . 1 2 3. En déduire les valeurs et vecteurs propres de la matrice A. 4. Trigonaliser A. Correction 1. Pour 1 point, on trouve que le polynôme caractéristique est PA1 (X) =?. On en déduit donc que ? est valeur propre... On cherche ensuite un vecteur colonne X = (x, y)t non nul tel que (A1 −?Id)X = 0... 2. Pour 1 point, on trouve que le polynôme caractéristique est PA2 (X) = . 3. Pour 2 points, en utilisant les règles du déterminant par blocs, on obtient que ... 4. Pour 2 points, on obtient que A = P T P −1 avec ... Exercice 2 (sur 4 points) Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K, muni de la base β = (e1 , . . . , en ), et soit β ∗ = (e∗1 , . . . , e∗n ) la base duale. On pose pour tout 1 6 i, j 6 n, pour tout x, y dans E, ϕi,j (x, y) := e∗i (x)e∗j (y). 1. Montrer que ϕi,j est une forme bilinéaire. 2. Déterminer la matrice de ϕi,j dans la base β. Correction 1. Pour 2 points, on vérifie la bilinéarité d’un produit de formes linéaires. 2. Pour 2 points, on dit que pour tout k, l, on a ϕi,j (ek , el ) := e∗i (ek )e∗j (el ) = δi,k δj,l . Par conséquent la matrice de ϕi,j dans la base β a pour coefficients 1 en ième ligne et jème colonne, et 0 partout ailleurs. Exercice 3 (sur 6 points) On note, pour x = (x1 , x2 , x3 ) dans R3 , q(x) = x21 + 2x22 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + 2x2 x3 . 1. Montrer que q définit une forme quadratique sur R3 . 2. Ecrire la forme polaire de cette forme quadratique. 3. Déterminer son rang et sa signature. 2 Correction 1. Pour 1 point, on observe que q est un polynôme homogène de degré 2. 2. Pour 2 points, on observe que la forme polaire de cette forme quadratique est définie pour x = (x1 , x2 , x3 ) et y = (y1 , y2 , y3 ) dans R3 , ϕ(x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 2x1 y2 + 2y1 x2 + 2x1 y3 + 2y1 x3 + x2 y3 + y2 x3 . En effet on vérifie aisément que ϕ est un forme bilinéaire symétrique et que pour x = (x1 , x2 , x3 ) dans R3 , q(x) = ϕ(x, x). 3. Pour 3 points, on applique la méthode de réduction de Gauss : q(x) =x21 + 4x1 (x2 + x3 ) + 2x22 + 2x2 x3 =(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 4(x2 + x3 )2 + 2x22 + 2x2 x3 =(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 2x22 − 4x23 − 6x2 x3 =(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 2(x22 + 3x2 x3 )2 − 4x23 3 =(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 2(x2 + x3 )2 + 2 3 =(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 2(x2 + x3 )2 + 2 2 2 2 =φ1 + φ2 − φ3 , 9 2 x − 4x23 2 3 1 2 x 2 3 où φ1 (x) =x1 + 2x2 + 2x3 , 3 1 φ2 (x) = √ x2 + √ x3 , 2 2 2 √ φ3 (x) = 2x3 . sont trois formes linéaires indépendantes. Par conséquent, q est de rang 3 et de signature (2, 1). Exercice 3 (sur 4 points) Soit ϕ l’application de M2 (R) × M2 (R) vers R par ϕ(A, B) = det(A + B) − det(A − B). 3 On rappelle que la base canonique de M2 (R) est constituée des matrices dont un seul coefficient est 1 et les autres sont nuls. 1. Montrer que ϕ est une forme bilinéaire symétrique. 2. Déterminer la matrice de ϕ dans la base canonique. Correction 1. Pour 2 points, on énumère la base canonique de M2 (R) de sorte qu’une matrice a b A= c d s’identifie au quadruplet (a, b, c, d). De même, la matrice α β B= γ δ s’identifie au quadruplet (α, β, γ, δ). Un rapide calcul montre alors que ϕ(A, B) =(a + α)(d + δ) − (b + β)(c + γ) − (a − α)(d − δ) + (b − β)(c − γ) =2aδ + 2dα − 2bγ − 2βc. On constate alors que ϕ est une forme bilinéaire symétrique. 2. Pour 2 points, on déduit du calcul précédent que la matrice de ϕ dans la base canonique est 0 0 0 2 0 0 −2 0 0 −2 0 0 . 2 0 0 4 0