∫ ∫=

Mécanique quantique
PC 2
Transformation de Fourier – Paquets d’ondes
Soit g (x) une fonction de carré sommable. Sa transformée de Fourier f (k ) = F [ g ( x)] est
définie par :
+∞
1
f (k ) =
∫ g( x) exp[ −ikx] dx
2π −∞
La transformée de Fourier inverse, g ( x) = F −1[ f (k )] , s’écrit
1
2π
g( x) =
+∞
∫ f ( k ) exp[ikx] dk .
−∞
Linéarité : F [a1 g1 ( x) + a2 g 2 ( x)] = a1 F [ g1 ( x)] + a2 F [ g 2 ( x)]
Théorème de Parseval-Plancherel ( F est une isométrie)
+∞
∫
−∞
+∞
f 1* ( k ) f 2 ( k )dk =
∫g
*
1
( x ) g 2 ( x )dx ou encore f 1 f 2 = g1 g 2
−∞
⎡⎛ d ⎞ n
⎤
n
Dérivation : F ⎢⎜ ⎟ g ( x)⎥ = (ik ) f (k )
⎢⎣⎝ dx ⎠
⎥⎦
⎡⎛ d ⎞ n
⎤
n
F ⎢⎜ ⎟ f (k )⎥ = (− ix ) g ( x)
⎢⎣⎝ dk ⎠
⎥⎦
−1
Exercice I : Quelques propriétés des gaussiennes
1) Résoudre l'équation différentielle du premier ordre f ′( k ) + kf ( k ) / σ 2 = 0 , connaissant la
condition initiale f (0) = 1 / σ 2π , où σ 2 est un nombre complexe de partie réelle
strictement positive.
2) Ecrire la transformée de Fourier inverse de l'équation différentielle ci-dessus. En déduire
l’expression de g ( x) = F −1[ f (k )] .
2
2
3) Montrer qu’il est possible de choisir a réel tel que les lois a g ( x ) et a f ( k ) soient des
densités de probabilité pour les variables aléatoires x et k . Déterminer Δx et Δk . Que
dire du produit ΔxΔk ?
Exercice II : Relation d'incertitude
2
Soit x une variable aléatoire dont la loi de probabilité a pour densité g ( x ) . La variable k ,
2
dite variable conjuguée de x , a pour densité de probabilité f ( k ) , f ( k ) étant la
transformée de Fourier de g ( x ) . Ces densités de probabilité sont supposées centrées, ce qui
signifie que x = 0 et k = 0 , cas auquel on peut toujours se ramener à l’aide d’un
changement de variable.
1) Exprimer Δx 2 et Δk 2 à l’aide de f ( k ) et f ′( k ) .
+∞
2) Ecrire l’intégrale I ( λ ) =
∫ kf ( k ) + λf ′( k )
2
dk comme un polynôme en λ dont on
−∞
déterminera les coefficients. En déduire l’inégalité :
ΔxΔk ≥ 1 / 2
3) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’égalité ΔxΔk = 1 / 2 soit réalisée.
Exercice III : Propagation d’un paquet d’ondes libre
On considère le mouvement à une dimension d’une particule libre de masse m .
1) Ecrire l’équation différentielle à laquelle obéit la fonction d’onde ψ ( x , t ) . Ecrire l'équation
correspondante portant sur sa transformée de Fourier, ϕ ( k , t ) . En déduire l’expression de
ϕ ( k , t ) en fonction de ϕ ( k ,0) .
2) Exprimer k (t ) et Δk (t ) en fonction de leurs valeurs à l’instant t = 0 , k 0 et Δk 0 .
3) Calculer x (t ) (On pourra utiliser le théorème de Parseval-Plancherel pour exprimer
x (t ) à l’aide de la fonction ϕ ( k , t ) ).
4) Ecrire l’expression de x 2 (t ) . Montrer que Δx 2 (t ) est un polynôme du second degré en t .
On supposera que l’origine de l’axe des temps est choisie de sorte que ce polynôme
atteigne son extremum à l’instant t = 0 . En déduire l’expression de Δx(t ) . Interpréter
physiquement le résultat obtenu.