Examen de M024: Groupes et Algèbres de Lie - IMJ-PRG

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques
Examen de M024: Groupes et Algèbres de Lie
07 Mai 2015 - Durée: 3 heures
Soit R[t] l'algèbre des polynômes en une variable à coecients réels. On rappelle
qu'une dérivation de R[t] estun endomorphisme
∂(f
vériant
g) =∂(f )g + f ∂g pour tout
Exercice 1.
0 1
,Y =
0 0
vecteurs forment une base de l'algèbre de Lie sl2 (R).
f, g ∈ R[t]. On notera H =
1 0
,X =
0 −1
0 0
1 0
et on rappelle que ces
i) Soient P1 , P2 ∈ R[t]. Montrer que ∂1 := P1 (t) dtd , ∂2 := P2 (t) dtd et [∂1 , ∂2 ] = ∂1 ◦ ∂2 −
∂2 ◦ ∂1 sont des dérivations.
ii) Pour n = 0, 1, 2, on note Dn l'ensemble des dérivations de la forme P (t) dtd , où P est
un polynôme nul ou de degré 6 n.
(a) Démontrer que le crochet [., .], munit Dn d'une structure d'algèbre de Lie.
(b) Montrer que l'algèbre de Lie D0 est abélienne, mais que D1 ne l'est pas.
iii) On considère les élements ∂2 = t2 dtd , ∂1 = 2t dtd , ∂0 = − dtd de D2 . Calculer [∂i , ∂j ].
iv) En déduire que les algèbres de Lie D2 et sl2 (R) sont isomorphes.
v) Démontrer que sl2 (R) est simple.
Exercice 2 (Le groupe SO(2, 1) est un quotient de
SL2 (R)). On pose G = SL2 (R) et on
reprend les notations de l'exercice précédent sur son algèbre de Lie g := sl2 (R).
i) Soient T = xX + yY + zH, (x, y, z) ∈ R3 , un élément de g, et ad : g → gl(g) la
représentation adjointe de g.
(a) Écrire en fonction de x, y, z la matrice représentative de l'endomorphisme ad(T ) de
g dans la base {H, X, Y } .
(b) On pose q(T ) = −T r (ad(T ))2 . Calculer q(T ) en fonction de x, y, z .
ii) Soit Ad : G → GL(g) la représentation adjointe du groupe de Lie G.
(a) Montrer que tout g ∈ G, X ∈ g, on a : q(Ad(g)(X)) = q(X).
(b) En déduire qu'il existe un morphisme de groupes bijectif et continu de SL2 (R)/ ± I2
sur un un sous-groupe de SO(2, 1).
iii) Calculer la dimension de SO(2, 1).
iv) Démontrer que SO(2, 1) est isomorphe en tant que groupe de Lie à SL2 (R)/ ± I2
Exercice 3 (étude de SO4 (R) via les quaternions). Soit H = R.1 ⊕ R.i ⊕ R.j ⊕ R.k
l'algèbre des quaternions : on rappelle qu'elle est la R-algèbre associative dont le produit est
déni par les relations :
i · j = k , j · k = i , k · i = j , i2 = j 2 = k 2 = −1,
1
et ∀x ∈ H, 1 · x = x · 1 = x
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Son centre est R.1 ' R. De plus, pour tout quaternion x = a + bi + cj + dk, on pose x :=
a − bi − cj − dk ∈ H et on a
x · x = x · x = a2 + b2 + c2 + d2
On note enn N (x) =
√
x · x la norme euclidienne sur H.
i) Soient x, y ∈ H. Vérier que x · y = y · x, et que N (x · y) = N (x)N (y).
ii) Pour tout x ∈ H, on note φ(x) : H → H la multiplication à gauche par x qui, à tout
quaternion v , associe le quaternion φ(x)(v) := x · v .
(a) Montrer que φ est un morphisme d'algèbres injectif de H vers l'algèbre L(H/R) '
M4 (R) des endomorphismes linéaires de H.
(b) Soit f ∈ L(H/R) un endomorphisme de H. Montrer que f appartient à φ(H) si et
seulement si ∀v, w ∈ H, on a : f (v · w) = f (v) · w .
iii) On pose h = {z ∈ H, z + z = 0} = R.i ⊕ R.j ⊕ R.k.
(a) Montrer que le crochet [z1 , z2 ] = z1 · z2 − z2 · z1 munit h d'une structure d'algèbre
de Lie sur R.
(b) Montrer que h = Dh puis que h est simple (Indication : on pourra utiliser et
admettre le fait que toute algèbre de Lie de dimension 2 est résoluble).
iv) On note S 3 = {x ∈ H / N (x) = 1} la sphère unité de H.
(a) Rappeler pourquoi la multiplication de H induit une structure de groupe topologique
compact sur S 3 .
(b) Soit σ la restriction de φ à S 3 . Montrer que pour tout x ∈ S 3 , on a : σ(x) ∈ O(4),
que σ : S 3 → O(4) est un morphisme de groupes topologiques injectif, et que σ(S 3 )
est contenue dans SO4 (R).
(c) Montrer que σ établit un isomorphisme de groupes topologiques de S 3 sur son image
σ(S3 ) et en déduire que c'est un groupe de Lie.
v) (a) Montrer (à l'aide de ii.b)) que Lie(σ(S3 )) = φ(h).
(b) En déduire que h est (isomorphe à) l'algèbre de Lie de S 3 .
vi) On rappelle ou admet (cf. cours) que l'application ρ(x) : H → H qui, à tout quaternion
v , associe le quaternion ρ(x)(v) := x · v · x−1 est à valeur dans SO3 (R) et induit un
isomorphisme de groupes topologiques de S 3 /{±1} sur SO3 (R).
On identie désormais SO3 (R) avec le sous-groupe de SO4 (R) formé par les endomorphismes f de H tels que f (1) = 1. Pour (x1 , x2 ) ∈ S 3 × S 3 , on note q(x1 , x2 ) : H → H
l'application dénie par q(x1 , x2 )(v) := x1 · v · x−1
2 .
(a) Montrer que q est un morphisme de groupes topologiques de S 3 × S 3 dans SO4 (R).
Quel est son noyau ?
(b) Démontrer que q est surjective.
(c) En déduire que SO4 (R) est isomorphe à S 3 × S 3 /{±(1, 1)}. Démontrer enn qu'on
a un isomorphisme de groupes topologiques,
SO3 (R) × SO3 (R) ' SO4 (R)/{±Id}.
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