Feuille 4 : Quelques exercices sur l`algèbre extérieure

Master 2 Mathématiques fondamentales
Année 2016-2017
Quelques exercices sur l’algèbre extérieure
Exercice 1. Soit E un R-espace vectoriel de dimension n.
1. Si a, b ∈ Λ1 (E ∗ ), montrer que a ∧ a = 0 et que a ∧ b = −b ∧ a. A-t-on c ∧ c = 0 lorsque
c ∈ Λ2 (E) ?
2. Montrer que si (v1 , ..., vp ) est une famille liée alors pour tout élément α ∈ Λp (E) 6= 0, on a
α(v1 , ..., vp ) = 0. Réciproquement, (v1 , ..., vp ) est une famille libre alors pour tout élément
α ∈ Λp (E), a-t-on α(v1 , ..., vp ) 6= 0, discuter suivant les valeurs de p.
3. Montrer que p formes linéaires φ1 , ..., φp ∈ E ∗ forment une famille libre si et seulement si
φ1 ∧ ... ∧ φp 6= 0.
Exercice 2.
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n. À tout endomorphisme f ∈ L(E), on associe
f ∗ ∈ L(ΛE ∗ ) défini par
f ∗ α(X1 , .., Xk ) = α(f (X1 ), .., f (Xk )), α ∈ Λk E ∗ .
1. Montrer que f ∗ est en fait un morphisme d’algèbre et rappeler pourquoi f ∗ Λn E ∗ = det f IdΛn E ∗ .
2. Soit B une base de E et B ∗ = {θ1 , .., θn } la base duale à B ; c’est donc une base de E ∗ = Λ1 E ∗ ,
si I = {i1 < i2 < .. < ip } est une partie de {1, ..n}, on note θI = θi1 ∧ .. ∧ θip en convenant
que θ∅ = 1. Montrer que si (ai,j ) est la matrice de f dans la base B alors
X
f ∗ θI =
det ajk ,jl
θJ .
1≤k,l≤p
J={j1 <j2 <..<jp }
3. Montrer que f est de rang r si et seulement si f ∗ : Λr (E ∗ ) → Λr (E ∗ ) n’est pas nul alors que
f ∗ : Λr−1 (E ∗ ) → Λr−1 (E ∗ ) est nul.
Exercice 3.
Par rapport aux exercices précédcents, on suppose maintenant que E est de plus euclidien et on
suppose que B est une base orthonormée.
1. A α ∈ Λk E ∗ , on associe
X
kαk2 =
|α(ei1 , ..eik )|2 ,
i1 <i2 <..<ik
montrer que ceci définit une structure euclidienne indépendante du choix de la base orthonormée choisie et que cette structure euclidienne rend la base {θI }I orthonormée.
2. Montrer que les applications
E → Λ1 E ∗
v 7→ < v, . >
et
A(E) →
f
7→
Λ2 E ∗
((x, y) 7→< f x, y >)
sont des isomorphismes, où A(E) est l’ensemble des endomorphismes de E anti-symétriques.
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3. le produit intérieur:
Soit u un vecteur de E et θ la 1-forme qui lui correspond via l’isomorphisme précédent. On
note Eθ l’endomorphisme “produit extérieur à gauche par θ” et iu le produit intérieur par u
défini par
iu (α)(X1 , .., Xk ) = α(u, X1 , .., Xk ), α ∈ Λk+1 E ∗ .
Montrer que pour la structure euclidienne définie précédement l’endomorphisme adjoint à Eθ
est iu , et montrer que
(Eθ − iu ) ◦ (Eθ − iu ) = −|u|2 Id.
Exercice 4.
On suppose désormais que E est de plus orienté et que la base B est directe, on note ω = θ1,2,..n
la forme volume.
1. Montrer qu’il existe un opérateur linéaire ∗ : Λk E ∗ → Λn−k E ∗ tel que
α ∧ ∗α = |α|2 ω, ∀α ∈ Λk E ∗ .
2. Exprimer alors ∗θI et ∗ ◦ ∗.
Quelques exercices sur les formes différentielles
Exercice 5. Soit H = {z ∈ C, =z > 0}, si g =
la fraction rationelle
ρg (z) =
a
c
b
d
est un élement de SL2 (R), on note ρg
az + b
.
cz + d
1. Montrer que ρg conserve H et que ceci définit une action de SL2 (R) sur H, i.e. que g 7→ ρg
est un morphisme de groupe de SL2 (R) dans le groupe des difféomorphismes de H.
2. En décomposant la fraction ρg en éléments simples, déterminer un système de générateurs du
groupe ρ (SL2 (R)).
3. Déterminer les 1 et 2-formes de H qui sont invariantes par cette action de SL2 (R), i.e. trouver
les ω ∈ C ∞ (Λ2 T ∗ H) telles que
ρ∗g ω = ω, ∀g ∈ SL2 (R).
Exercice 6.
1. Soit A ∈ Mn (R), calculer, en fonction du déterminant de A le déterminant de l’endomorphisme
LA de Mn (R), défini par
LA H = AH.
2. Déterminer les formes différentielles de degré n2 sur GLn (R) qui sont invariantes par les
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translations à gauche LA A ∈ GLn (R), i.e. trouver les α ∈ Ωn (T ∗ GLn (R)) telle que
L∗A α = α, ∀A ∈ GLn (R).
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