UNIVERSIT´E DE VALENCIENNES Licence 3 de Mathématiques

UNIVERSIT´ E DE VALENCIENNES
Licence 3 de Math´ematiques
Fonctions d’une variable complexe
par
Aziz El Kacimi
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Cahier de cours et d’exercices
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fholomorphe sur l’ouvert Ω
αun chemin ferm´e entourant z
f(z) = 1
2iπ σ
f(ξ)
ξ−zdξ
Formule de Cauchy
Ann´ ee universitaire 2013-2014
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AVANT-PROPOS
Ce cours s’adresse aux ´etudiants de la troisi`eme ann´ee de Licence de Math´ematiques. Il
traite les ´el´ements fondamentaux de la th´eorie des fonctions d’une variable complexe :
– Construction alg´ebrique du corps (C,+,×) des nombres complexes. Interpr´etation
g´eom´etrique : module, argument...Quelques applications.
– S´eries enti`eres, rayon de convergence. Fonctions analytiques et quelques-unes de leurs
propri´et´es essentielles telles que la C∞-d´erivabilit´e, le prolongement analytique, leurs
z´eros isol´es...
– Les diverses d´efinitions de l’holomorphie d’une fonction f:U−→ C(o`u Uest un
ouvert du plan complexe C).
– Int´egration sur un chemin, tout ce qui tourne autour et beaucoup d’applications
auxquelles elle donne lieu.
– Homotopie des chemins dans le plan. Ouverts simplement connexes (entre autres les
ouverts convexes, ´etoil´es).
– Formule de Cauchy, th´eor`eme de Cauchy pour les fonctions holomorphes et les diverses
cons´equences qu’on en tire : analyticit´e d’une fonction holomorphe...
–´ Etude de l’homographie h(z) = az+b
cz+d(sous un aspect analytique et g´eom´etrique) sur
la sph`ere de Riemann  C=C∪ {∞}.
– Le groupe Hdes homographies en lien avec SL(2,C) (groupe des matrices complexes
2×2 de d´eteminant 1).
– La description explicite du groupe des automorphismes du disque unit´e ouvert et celui
du demi-plan sup´erieur.
–´ Etude des singularit´es isol´ees d’une fonction holomorphe : singularit´e apparente, pˆole
ou singularit´e essentielle.
– Th´eor`eme des r´esidus. Ses applications au calcul effectif des int´egrales de fonctions
d’une variable r´eelle.
– Une s´erie d’exercices r´esolus et une autre d’exercices en vrac sont propos´es. (Ils sont
assez diversifi´es et pas forc´ement dans l’ordre des chapitres du cours.)
Novembre 2013
Aziz El Kacimi
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CHAPITRE 0
NOMBRES COMPLEXES
1. L’aspect alg´ebrique
La hi´erarchie num´erique d´ebute par les nombres entiers naturels qui comptent les ´el´ements
des ensembles finis. Leur ensemble, not´e N, est muni d’une addition m+net d’une
multiplication mn. Le besoin de r´esoudre les ´equations du type x+m=net mx =n
a amen´e `a l’´elargir et `a introduire l’anneau des entiers relatifs (Z,+,×) et le corps des
nombres rationnels (Q,+,×). Les nombres r´eels sont arriv´es pour des besoins g´eom´etriques
ou autres (on pourrait `a cet effet ´evoquer simplement le nombre √2 `a partir du th´eor`eme
de Pythagore). Ces derniers forment un corps (R,+,×) poss´edant beaucoup de propri´et´es
int´eressantes, entre autres la compl´etude, fondamentale en analyse : toute suite de Cauchy
y converge.
Malgr´e toutes les belles propri´et´es du corps (R,+,×), un probl`eme se pose : on ne peut
pas y r´esoudre l’´equation x2+ 1 = 0. Il est donc n´ecessaire de l’agrandir en le plongeant
dans un corps commutatif K(le plus petit possible) dans lequel cela sera possible. C’est
l’objet de cette section.
1.1. Construction de K
•Supposons que Kest construit et qu’on y a trouv´e un ´el´ement i(imaginaire, c’est
pour cela qu’on le note ainsi) tel que i2=−1 ; Kdevrait alors contenir tous les produits
iy =yi avec y∈Ret par suite les ´el´ements de la forme x+iy o`u x, y ∈R. En plus,
le produit (x+iy)(x′+iy′), calcul´e en utilisant les r`egles habituelles (commutativit´e,
associativit´e, distributivit´e), doit aussi rester de cette forme ; et c’est le cas puisque :
(x+iy)(x′+iy′) = x(x′+iy′)+(iy)(x′+iy′)
=xx′+xiy′+iyx′+iyiy′
= (xx′−yy′) + i(xy′+x′y).
Cela nous sugg`ere R2comme ensemble sous-jacent `a Kainsi que les op´erations d’addition
et de multiplication `a mettre dessus :
(0.1) (x, y)+(x′, y′) = (x+x′, y +y′) et (x, y)(x′, y′) = (xx′−yy′, xy′+x′y).
Il est bien connu que (R2,+) est un groupe commutatif ; son ´el´ement neutre est (0,0) et le
sym´etrique de (x, y) ´etant son oppos´e (−x, −y). Des calculs faciles `a mener montrent que la
multiplication qu’on vient de d´efinir est commutative, associative, distributive par rapport
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