Outils pour la géométrie

12 Outils
pour la géométrie
100 • Chapitre 12 • Outils pour la géométrie
1
Commentaires généraux
Ce chapitre rassemble les résultats géométriques vus par les élèves dans les classes précédentes
et utiles pour la classe de troisième.
Selon l’organisation pédagogique de la classe, l’enseignant et les élèves pourront l’utiliser
librement :
• pour faire le point avant d’aborder une nouvelle notion ;
• pour faire une révision en début d’année ;
• pour un travail autonome des élèves.
On notera que l’organisation de ce chapitre diffère sensiblement de celle de l’ensemble
des autres chapitres (hormis le chapitre 1, Outils pour le calcul) : sur chaque page de gauche
se trouve un rappel des notions et sur chaque page de droite des exercices mettant en œuvre
ces notions.

Chapitre 12 • Outils pour la géométrie • 101
2
Corrections des exercices
1 1. C’est un segment. On peut la nommer « le
segment [BC] ».
2. La ligne rouge est un segment, on peut par
exemple la nommer « le segment [AB] ».
La ligne noire est une droite, on peut la nommer
« la droite (AC) ».
La ligne violette est une droite, on peut la nommer
« la droite (d) ».
3. a. fausse b. vraie c. vraie
d. fausse e. fausse
2 a. vraie b. fausse c. vraie
d. vraie e. vraie f. fausse
g. vraie
3 1.
(d1)
(d2)
(d3)
(d5)(d4)
2. a. (d1) // (d2) 
(d2) // (d3) donc (d1) // (d3)
Deux droites parallèles à une même droite sont
parallèles.
b. (d1) // (d2) 
(d1) ⬜ (d4) donc (d2) ⬜ (d4)
Lorsque deux droites sont parallèles, chaque droite
perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
c. (d1) ⬜ (d4) 
(d1) ⬜ (d5) donc (d4) ⬜ (d5)
Deux droites perpendiculaires à une même droite
sont parallèles.
4 1.
ACB
(d)(d’)
2. La médiatrice d’un segment est perpendiculaire
à ce segment, donc (d) ⬜ (AB) et (d’) ⬜ (BC) .
Comme A, B et C sont alignés, (AB) = (BC) .
Donc (d) et (d’) sont perpendiculaires à la même
droite et elles sont donc parallèles.
5 (d) est tangente au cercle de centre O, donc
la distance de O à la droite est égale au rayon (ici
3 cm).
La distance de O à (d’) est 2 cm.
6 1. A
BC
2. (AB) ⬜ (BC).
La droite (AB) est perpendiculaire au rayon qui
passe par B, c’est donc la tangente en B au cercle
de diamètre [BC].
7 1.
A
B
(d1)
(d2)
2. (d1) ⬜ (AB) 
(d2) ⬜ (AB) donc (d1) // (d2)
8 EF < EG + GF
EG < EF + FG
FG < FE + EG
9 a. SR + RT > ST donc 7 > ST .
RS + ST > RT donc ST > RT − RS
donc ST > 1 donc 1 < ST < 7 .
ST peut valoir 2, 3, 4, 5 ou 6 cm.
b. Échelle 1/2
S1
S’1
S’2
S’3
S’4
S’5
TR
S2
S3
S4
S5

102 • Chapitre 12 • Outils pour la géométrie
10 a. oui
b. non (10 > 5 + 4)
c. non (triangle aplati)
d. oui
11 1.
B 8 cm C
A
IJ
2. I milieu de [AB] 
J milieu de [AC] donc (IJ) // (BC)
et IJ = 1
2 BC .
Puisque (IJ) // (BC), BIJC est un trapèze.
3. Périmètre de BIJC = 7
2
8
2
5
28+++
= 18 cm .
12 1.
D
L
I
J
K
A
B
C
2. Dans le triangle DAC :
L milieu de [AD] 
K milieu de [DC]
donc (KL) // (AC) 1
et KL = 1
2 AC 2
De même dans le triangle BAC :
I milieu de [AB] 
J milieu de [BC] donc (IJ) // (AC) 3
et IJ = 1
2 AC 4
De 1 et 3, on obtient (KL) // (IJ) .
De 2 et 4, on obtient KL = IJ .
Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et de
même longueur est un parallélogramme donc IJKL
est un parallélogramme.
13 1. Dans le triangle BAC, (d) // (BC) et I milieu
de [AB].
Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu
d’un côté et qui est parallèle à un autre côté, coupe
le troisième côté en son milieu. Donc O est le milieu
de [AC].
Par un raisonnement analogue, dans le triangle
CAD, on obtient I milieu de [AD].
2. Dans le triangle BAD, I est le milieu de [AB] et
J est le milieu de [AD] donc (IJ) // (BD).
14 1. et 2.
Échelle 1/2 C
AB
Ꮿ
Ꮿ’
15 1. Échelle 1/2
A
B
OO’
KL
C
Ꮿ
Ꮿ’
2. Par construction, O est le milieu de [AK] et O’
le milieu de [AL]. Donc (OL) et (KO’) sont deux
médianes du triangle KAL.
Les médianes d’un triangle sont concourantes, donc
(AC) est la médiane issue de A pour le triangle
AKL ; elle coupe donc le côté [KL] en son milieu.

Chapitre 12 • Outils pour la géométrie • 103
16 1.
B
A
D
C
O
O’
2. O est le centre d’un cercle circonscrit au triangle
ABC donc O est un point de de la médiatrice de [AC].
De même, O’ est le centre d’un cercle circonscrit au
triangle ADC donc O’ est un point de de la médiatrice
de [AC]. (OO’) est donc la médiatrice de [AC].
(OO’) est donc perpendiculaire à (AC).
17 1. et 2.
H
BC
A
3. (BA), (HA) et (CA).
L’orthocentre de HBC est A.
18 1.
ADN
B
M
C
F
E
I
J
2. a. Puisque ABCD et AECF sont des rectangles,
(CD) ⬜ (NA) et (AF) ⬜ (NC), donc (DC) et (FA)
représentent deux hauteurs du triangle NAC.
b. (NJ) passe par un sommet et par le point d’inter-
section de deux hauteurs du triangle NAC : c’est
donc la 3e hauteur de ce triangle.
3. En faisant un raisonnement analogue dans le
triangle CAM, on trouve que (MI) est la hauteur
issue de M et qu’elle est donc perpendiculaire
à (AC).
4. (MI) ⬜ (AC) 
(NJ) ⬜ (AC) donc (MI) // (NJ)
19 1. et 2.
AB
J
I
F
C
E
3. (BC) // (EF) car B milieu de [AE] et C milieu de
[AF]. Les angles correspondants ABC
et AEF sont
égaux.
ABI ABC =1
2 et AEJ AEF
=1
2 ,
donc ABI
=AEJ .
4. Les angles correspondants ABI
et AEJ sont
égaux donc (IB) // (JE) .
I et J sont alignés car (IJ) est la bissectrice de CAB
et FAE
.
Dans le triangle AEJ, B milieu de [AE] et (IB) // (EJ),
donc I milieu de [AJ].
20 Le cercle rouge est le cercle inscrit au triangle
dans son centre est le point de concours des bissec-
trices. (BI) est donc la bissectrice de ABC
.
Fig. 1 : ABI
=°=°
60
230 .
Fig 2 : ABI
=°=°
90
245 .
21 1. La somme des an-
gles d’un triangle est égale
à 180°. ABC est un triangle
isocèle de sommet princi-
pal A donc :
• ABC
==
°
BCA 54 ;
• CAB
= 180° − 2 × 54° = 72° .
2. BAC =BCA
= 180 54
263
°− °=° .
B
A
C
54° 54°
B
AC
55°

104 • Chapitre 12 • Outils pour la géométrie
22 BAC
=°90
ABC
==°ACB 45
23 1. et 2.
Nature
du triangle
ABC
Mesure
de
ABC
Mesure
de
ACB
Mesure
de
BAC
Nombre
d’axes
isocèle en A 20° 20° 140° 1
rectangle
en C 60° 90° 30° 0
isocèle en C 28° 124° 28° 1
équilatéral 60° 60° 60° 3
rectangle
isocèle en C 45° 90° 45° 1
quelconque 55° 71° 54° 0
24 1. a. DEC
=°27
b. DCE
=°126
c. BCE
=°54
d. EBC
=°79
e. ABE
=°101
f. EAB
=°27
2. DEC
==°EAB 27 , donc ADE est isocèle en E.
25 AEB, BEC et EDC sont trois triangles équila-
téraux, donc :
AEB ===°BEC CED 60 et AED =°180 .
A, E et D sont donc alignés.
26 (GO) et (FO) sont les bissectrices de EGF
et
de GFE
.
EGF est isocèle en E donc EGF GFE
=
et FGO GFO 180° 116°
232°
==−= .
Donc EGF GFE
==×°°232 64=
et GEF
=°−×°=°180 2 64 52 .
27 IBC
= 35° .
ACB =°−°+°=°180 50 35 95()
.
x== =
95 =ICB
2
°
2
47,5°
ACB .
28 1.
A
38°
B
C
K
H
2. ABC est un triangle isocèle en A donc :
ABC 180° 38°
271°
=−= .
Soit K le point d’intersection de la hauteur (BH)
avec [AC].
Le triangle AKB est rectangle en K et on a :
ABK =°−°=°90 38 52 .
CBH =−=°−°=°CBA ABK 71 52 19 .
La hauteur issue du sommet principal d’un triangle
isocèle est aussi un axe de symétrie, donc :
BCH =°19 .
29 1. a. DRC est un triangle équilatéral donc :
RCD =°60 .
RCB =°−°=°90 60 30 .
b. BRC ARD 180° °
275°
==
−30 =
et ARB =°−°+×°=°360 60 2 75 150() .
c. ABS
=+=°+°=°ABC CBS 90 60 150 .
2. Dans le triangle ABS isocèle en B, on a :
BAS 180° °
215°
=−150 = .
BAS ==°BAR 15 , donc A, R et S sont alignés.
30 1. AMC est un triangle rectangle en M donc le
centre de son cercle circonscrit est le milieu de son
hypoténuse : le point I.
2. ANC est un triangle rectangle en N donc il a
aussi I pour centre de son cercle circonscrit.
3. IM 2
=ΙΝ=AC (M et N sont deux points du
cercle de centre I et de diamètre AC) donc IMN est
isocèle en I.
A
B
C