I- Cercle circonscrit à un triangle rectangle:

CERCLE CIRCONSCRIT A UN TRIANGLE RECTANGLE
I- Cercle circonscrit à un triangle rectangle:
Rappel:
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets du triangle.
Il a pour centre le point de concours des médiatrices du triangle
Dans le cas d'un triangle rectangle, le point de concours des
médiatrices est le milieu de l'hypoténuse
On peut donc énoncer la propriété:
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse
ou encore:
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse
Exemple d'utilisation:
Soit DEF un triangle, H le pied de la hauteur issue de D.
Montrer que H appartient au cercle de diamètre [DE]
Solution:
Puisque [DH] est une hauteur, le triangle DHE est rectangle en
H.
Donc le cercle circonscrit au triangle DHE .est le cercle ayant
pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle, c'est à dire [DE].
Donc H appartient au cercle de diamètre [DE].
II -Triangle inscrit dans un cercle:
Soit C un cercle, et R, S, T trois points de ce
cercle.
On dit que le triangle RST est inscrit dans le
cercle C.
Remarque:
Il revient au même de dire:
Le triangle RST est inscrit dans le cercle C
ou
Le cercle C est le cercle circonscrit au triangle RST
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III- Triangle inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés:
Soient C un cercle, [BC] un diamètre de ce cercle, A un point
de ce cercle.
Alors le triangle ABC est rectangle en A
On peut donc énoncer la propriété:
Tout triangle inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l'un de ses côtés est un triangle rectangle
Exemple d'utilisation :
Pour cet exercice, on rappelle la propriété suivante :
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes (c'est à dire qu'elles se coupent en un même
point).
Leur point de concours s'appelle l'orthocentre du triangle (Remarque: puisque les trois hauteurs
se coupent en un même point, il suffit, pour obtenir l'orthocentre, de déterminer le point
d'intersection de deux des hauteurs)
Soit RST un triangle.
Le cercle de diamètre [RS] coupe [ST] en H et
[RT] en K.
[RH] et [SK] se coupent en I.
Montrer que I est l'orthocentre du triangle RST
Solution:
Les triangles RHS et RKS sont inscrits dans un
cercle ayant pour diamètre l'un de leurs côtés.
Donc ce sont des triangles rectangles
(respectivement en H et en K).
Donc [RH] et [SK] sont deux hauteurs du
triangle RST.
I étant le point d'intersection de deux hauteurs
est donc l'orthocentre du triangle
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IV - Exercices :
Exercice 1 :
1) Montrer que le triangle STU est rectangle en S
2) Soit C le cercle circonscrit à ce triangle et I son centre.
Préciser la position de I. (Justifier)
Exercice 2 :
Montrer que les points A, B, C, D appartiennent à un même cercle, que l'on précisera
Exercice 3 :
I est un point du cercle de diamètre [KL] et K = 31°
1) Montrer que le triangle KIL est un triangle rectangle .
2) Calculer L
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CERCLE CIRCONSCRIT A UN TRIANGLE RECTANGLE
CORRECTION DES EXERCICES
Exercice 1 :
1) Montrer que le triangle STU est rectangle en
S
2) Soit C le cercle circonscrit à ce triangle et I
son centre.
Préciser la position de I. (Justifier)
1) La somme des angles d'un triangle est égale
à 180°
Donc:
S = 180 - (37 + 53) = 180 - 90 = 90°
Donc le triangle STU est rectangle en S
2) Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a
pour centre le milieu de l'hypoténuse.
Donc I est le milieu de [TU]
Exercice 2 :
Montrer que les points A, B, C, D
appartiennent à un même cercle, que l'on
précisera
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a
pour diamètre l'hypoténuse.
Comme ABC et ABD sont des triangles
rectangles (respectivement en C et D), ces deux
triangles ont pour cercle circonscrit le cercle de
diamètre [AB]
Donc C et D appartiennent au cercle de
diamètre [AB]
Il est évident que A et B appartiennent aussi à
ce cercle.
Donc les quatre points A, B, C, D appartiennent
à un même cercle: le cercle de diamètre [AB]
Remarque:
Lorsque des points appartiennent à un même
cercle, on dit que ces points sont cocycliques.
Exercice 3 :
I est un point du cercle de diamètre [KL]
et K = 31°
1) Montrer que le triangle KIL est un triangle
rectangle .
2) Calculer L
1) Tout triangle inscrit dans un cercle ayant
pour diamètre un de ses côtés est un triangle
rectangle.
Donc le triangle KIL est rectangle en I
2) La somme des angles d'un triangle est égale
à 180°
Donc:
L = 180 - (31 + 90) = 180 - 121 = 59°
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