Mouvements de particules chargées dans un champ électrique ou

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MOUVEMENTS DE PARTICULES CHARGEES
DANS LES CHAMPS ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE
I- Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme
1- Equation du mouvement
On considère une particule chargée M, de charge q et de masse m, supposée ponctuelle se
déplaçant entre deux plaques aux bornes desquelles est appliqué une ddp U
AB
= V
A
– V
B
>
0.
On étudie le mouvement de la particule chargée dans le référentiel du laboratoire supposé
galiléen.
On pose
0
0. x
v v e
=
le vecteur vitesse initiale de la
particule, la distance entre les deux plaques et l leur
largeur.
Le champ électrique uniforme
0
E
régnant entre les
deux plaques est alors donné par la relation :
0 0
y
dV
E gradV E .e
dy
= − ⇔ = −
Soit en notant le champ
0
0 y
E E .e
=
, il vient :
dV = - E
0
.dy
⇔
V
A
– V
B
= - E
0
.(y
A
– y
B
)
AB
0
U
E
a
⇔ =
On retrouve ainsi que le champ électrostatique est dirigé suivant les potentiels
décroissants.
La particule chargée est ainsi soumise :
- à son poids
P m.g
= ;
- à la force électrique
0
F q.E
=
En prenant l’exemple d’un proton (q = e = 1,6.10
-19
C, m = 1,67.10
-27
kg) dans un champ
électrique d’intensité E
0
= 10
4
V.m
-1
, on déduit :
26
P 1,64.10 N
−
=
15
F 1,6.10 N
−
=
On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule :
m. (M ) F γ
= ⇔
P F : on peut négliger le poids devant la force éle
ctrique
⇒<<
0
(M )
γ
0
q.E
m
0
v
x
= C
1
)M(v⇔ v
y
=
0
q.E
m
.t + C
2
v
z
= C
3
O
0
v
y
x
V
A
> V
B
V
B
0
E
Trajectoire pour q > 0
Trajectoire pour q < 0
F
F
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Comme à t = 0,
x.0
0evv
=
, il vient C
1
= v
0
et C
2
= C
3
= 0.
Comme à t = 0,
0
OM 0
=
, il vient C’
1
= C’
2
= C’
3
= 0.
On en déduit l’équation cartésienne de la trajectoire :
2
0
0
q.E
x
y .
2m v
=
: parabole tournant sa concavité vers le bas pour q > 0 et vers le haut pour q
< 0.
2- Etude de la déviation électrique
La déviation électrique au point P de la
trajectoire est donnée par l’angle θ entre la
tangente à la trajectoire en P et la direction de
la vitesse initiale, ici la direction (Ox).
On utilise que la tangente en un point d’une
parabole d’extremum à l’origine vient couper
l’axe des abscisses en X/2. On en déduit :
Y
tan
X / 2
θ
= =
0
2
0
q.E
.X
m.v
On constate ainsi que la déviation électrique augmente avec l’abscisse (propriété de la
parabole).
De plus θ augmente avec E
0
et décroît avec la masse et le carré de la vitesse
2
0
v
.
3- Etude énergétique
Le système n’est ici soumis qu’à la force électrique conservative. Son énergie mécanique se
conserve donc.
On peut ainsi écrire :
E
m
= E
c
+ E
p
=
2
1
.m.v (P)
2
+ q.V(P) + V
0
= cste
Ainsi entre les instants t = 0 et t, on a :
2
0
1
.m.v
2
+ q.V(O) =
2
1
.m.v (P)
2
+ q.V(P)
or, V(P) – V(O) = - E
0
.y , ce qui permet de déduire :
v
2
(P) =
20
0
2.q.E
v .y
m
+
v
x
= v
0
)M(v ⇔
v
y
=
m
E.q
0
.t
v
z
= 0
x = v
0.
t + C’
1
OM⇔ y =
m
2
E.q
0
.t
2
+ C’
2
z = C’
3
x = v
0.
t
OM
⇔ y =
0
q.E
2m
.t
2
z = 0
O
0
v
y
x
0
E
X
X/2
θ
θθ
θ
P

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4- Cas particulier : champ électrique colinéaire à la vitesse initiale
Dans le cas où le champ électrique est colinéaire à la vitesse initiale (
0
0 y
v v e )
=
, on peut
rapidement déduire, en utilisant le théorème de l’énergie mécanique (ou de l’énergie
cinétique):
E
m
(A) = E
m
(B)
⇔
q.V
A
+
2
0
1
.m.v
2
=
2
1
1
.m.v
2
+ q.V
B
⇔
2
1
v
=
2
0
v
+
2.q
m
(V
A
-V
B
) >0 pour {q>0 et V
A
>V
B
} ou {q<0 et V
A
<V
B
}
Le principe fondamental de la dynamique conduit aux équations horaires :
0
q.E
ym
••
= ⇒
0
q.E
y
m
•
=.t + v
0
⇒
y =
0
q.E
2m
.t
2
+ v
0
.t
Le mouvement de la particule chargée est alors rectiligne, uniformément accéléré (déviation
électrique nulle).
5- Principales applications
D’après les calculs précédents, l’action d’un champ électrique sur une particule chargée
permet :
- de dévier la particule chargée (oscilloscope cathodique…) ;
- d’accélérer la particule chargée (accélérateur linéaire de particule).
O
0
v
y
x
V
A
> V
B
: accélération des particules q>0
V
B
0
E
F
O
0
v
y
x
V
A
< V
B
: accélération des particules q<0
V
B
0
E
F
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II- Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme
1- Présentation du système
Dans tout ce qui suit on envisagera l’étude de la trajectoire d’une particule chargée de
charge q et de masse m dans le champ magnétique uniforme et constant
z0
e.BB =.
On étudie le mouvement de la particule chargée dans le référentiel du laboratoire supposé
galiléen.
La particule chargée est ainsi soumise :
- à son poids
P m.g
= ;
- à la force magnétique de Lorentz
F q.v B
= ∧
En prenant l’exemple d’un proton (q = e = 1,6.10
-19
C, m = 1,67.10
-27
kg) dans un champ
magnétique d’intensité B
0
= 10
-2
T, animé d’une vitesse v = 10
4
m.s
-1
on déduit les ordres
de grandeur :
26
P 1,64.10 N
−
=
17
F 1,6.10 N
−
=
2- Etude du mouvement
On se place dans le système de coordonnées cartésien dans le repère (O, ,e
x
,e
y
)e
z
.
A t = 0, la particule chargée est en O avec une vitesse initiale
0
v .
Mouvement uniforme :
Calculons la puissance de la force de Lorentz exercée sur une particule de charge q, animée
d’une vitesse v dans un champ magnétique uniforme
0
B
:
P (
F
) = 0
F.v (q.v B ).v 0 car F v
= ∧ = ⊥
La force de Lorentz ne travaille donc pas et en appliquant le théorème de la puissance
cinétique on en déduit :
c
dE
dt
=
P (
F
) = 0 ⇔ L’énergie cinétique de la particule chargée est une constante
⇔
v
= norme de la vitesse de la particule chargée est une constante
⇔ le mouvement est uniforme.
L’action d’un champ magnétique n’est pas une modification de la norme de la vitesse mais
une déviation de la trajectoire de celle-ci.
On retrouve cette action dans différentes applications telles que :
Le spectromètre de masse, le cyclotron…
Principe fondamental de la dynamique :
On écrit les vecteur vitesse et accélération du point M caractérisant la position de la
charge à un instant par :
v(M )
=
x x
v .e
+
y y
v .e
z z
v .e
+ et
dv( M )
( M )
dt
γ = =x
x
dv
.e
dt
+
y
y
dv
.e
dt
z
z
dv
.e
dt
+
Appliquant le principe fondamental de la dynamique à la particule chargée dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen, il vient :
magnétiqueforceladevantpoidslenégligerpeuton:FP <<⇒

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m. (M ) F γ
= ⇔
m. = q.
∧
⇔
a) Cas où la vitesse initiale est orthogonale au champ magnétique
On pose la vitesse initiale
0 0 x 0
v v .e B
= ⊥
.
On en déduit :
(3)
⇔
v
z
= cste = v
z
(0) = 0, ainsi : dz 0
dt
= ⇔
z(t) = cste = z(0) = 0
Le mouvement de la particule chargée s’effectue dans le plan (O, ,ex )e
y
.
On pose ω
c
=
0
q.B
m
la constante positive appelée pulsation cyclotron.
On pose ε la grandeur telle que :
En dérivant l’équation (2) puis en utilisant l’équation (1), il vient :
2
y
2
d v
dt
= - ω
c
.
x
dv
dt
= - ω
c
2
.v
y
La composante de la vitesse sur l’axe des ordonnées est ainsi donnée par une équation
différentielle du second ordre, homogène, linéaire à coefficients constants. La solution
générale de cette équation différentielle s’écrit :
v
y
(t) = a.cos( ω
c
.t) + b.sin( ω
c
.t)
Comme à t = 0, on a : v
y
(0) = 0, on peut en déduire : a = 0 :
v
y
(t) = b.sin( ω
c
.t)
En reprenant l’équation (2) , on déduit l’expression générale de la composante de la vitesse
sur l’axe des abscisses v
x
(t) :
m.
y
dv
dt
= - q.B
0
.v
x
⇔
v
x
(t) =
c
1
.
.
ε ω
−
y
dv
dt
=
c
1
.
.
ε ω
−
b. ω
c
.cos( ω
c
.t) = - ε. b.cos( ω
c
.t)
Comme à t = 0, on a : v
x
(0) = v
0
, on peut en déduire : v
0
= − ε b
⇔
b =- ε. v
0
On a ainsi les composantes de la vitesse :
En intégrant chacune de ces équations, on obtient les équations horaires :
x
dv
dt
y
dv
dt
z
dv
dt
v
x
v
y
v
z
m.
x
dv
dt
= q.B
0
.v
y
(1)
m.
y
dv
dt
= - q.B
0
.v
x
(2)
m.
z
dv
dt
= 0 (3)
0
0
B
0
ε
= +1 si q
>
0
ε = -1 si q < 0
v
x
(t) = v
0
.cos(
ω
c
.t)
v
y
(t) =- ε .v
0
.sin( ω
c
.t)
x(t) =
0
c
v
ω
.sin( ω
c
.t) + a’
y(t) = ε .
0
c
v
ω
.cos( ω
c
.t) + b’
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Comme à t = 0, on a : x(0) = y(0) = 0, on peut en déduire : a’ = 0 et b’ = - ε
0
c
v
ω
.
Finalement :
On peut également écrire l’équation
cartésienne :
x
2
+
2
0
c
v
y . εω +
=
2
0
c
v
ω
On reconnaît alors plus facilement une
trajectoire circulaire de centre C (0, ε
c
0
v
ω) et
de rayon R
c
=
0
c
v
ω
=
0
0
m.v
q .B
(voir graphiques ci-
contre).
Dans le cas où la vitesse initiale est orthogonale au champ magnétique
uniforme (
0 0 x 0
v v .e B
= ⊥
), le mouvement de la particule chargée est circulaire
dans un plan orthogonal à
0
B
et passant par la position initiale de la particule.
b) Cas où la vitesse initiale n’est pas orthogonale au champ magnétique (hors
programme)
La particule chargée est toujours en O à l’instant initial.
La vitesse initiale admet maintenant une composante suivant l’axe (z’z) du champ
magnétique. On écrit par exemple :
0 0 x 0 z
v v .cos .e v .sin .e
α α
= + où
α
est l’angle
x 0
(e ,v )
. L’axe
des ordonnées, dirigé par le vecteur unitaire
y
e
est choisi pour que la base (O,
x
e ,
y
e ,
z
e )
soit
orthonormée directe.
On déduit de (3):
m.
z
dv
dt
= 0
⇔
v
z
= cste = v
z
(0) = v
0
.sin
⇔
z(t) = v
0
.sin .t + c.
Comme z(0) = 0, on en déduit :
z(t) = v
0
.sin .t
Le mouvement de la particule chargée n’est plus dans le plan (O, ,e
x y
e )
Le reste du calcul est analogue à la partie précédente en remplaçant dans les expressions
de la vitesse et de la position v
0
par v
0
.cos
α
. On peut ainsi écrire :
x(t) =
c
0
v
ω.sin(
ω
c
.t)
y(t) = ε .
c
0
v
ω.[cos(
ω
c
.t) –1]
x
y
x00
e.vv
=
q
>
0
q
<
0
C
+
C
-
v
x
(t) = v
0
.cos
α
.cos(
ω
c
.t)
v
y
(t) =- ε v
0
.cos α .sin( ω
c
.t)
x(t) =
0
c
v .cos
α
ω
.sin(
c
.t)
y(t) = ε .
0
c
v .cos
α
ω
.[cos( ω
c
.t) –1]

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Le mouvement de la particule chargée peut alors être interprété comme la conjugaison :
- du mouvement de rotation sur la trajectoire circulaire établie à la partie précédente,
centre C (0, ε.
0
c
v .cos
α
ω
) et rayon R
c
=
0
c
v .cos
α
ω
=
0
0
m.v .cos
q .B
α
- d’un mouvement de translation rectiligne uniforme suivant la direction (z’z) du
champ magnétique à la vitesse v
0
.sinα
La trajectoire résultante est une hélice circulaire, à pas constant (voir graphique ci-
dessous).
Remarque : il est possible de déterminer les équations horaires du mouvement de la
particule chargée dans un champ magnétique uniforme en utilisant les nombres complexes.
On pose alors :
ζ = x + j.y et χ = v
x
+j.v
y
=
d
dt
ζ
En combinant les équations (1) et (2), il vient :
(1) + j.(2) :
c
d
j. . .
dt
χ
ε ω χ
= −
L’équation différentielle obtenue peut être résolue pour trouver χ puis ζ et enfin
x(t)=Re( ζ ) et y(t) = Im( ζ ).
Charge positive (q>0) Charge négative (q<0)