Mouvements de particules chargées dans un champ électrique ou

Comme à t = 0, v 0 = v 0. e x , il vient C1 = v0 et C2 = C3 = 0.
MOUVEMENTS DE PARTICULES CHARGEES
vx = v0
q.E 0
vy =
.t
m
vz = 0
DANS LES CHAMPS ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE
⇔ v( M )
I- Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme
dV E 0 = −grad V ⇔ E 0 = −
.ey
dy
2
y
U
⇔ E0 = AB
a
: parabole tournant sa concavité vers le bas pour q > 0 et vers le haut pour q
F
x
v0
Soit en notant le champ E 0 = E0 .ey , il vient :
dV = - E0.dy
⇔ VA – VB = - E0.(yA – yB)
q.E0  x 
. 
2m  v0 
< 0.
VB
O
q.E0 2
.t
2m
On en déduit l’équation cartésienne de la trajectoire :
y =
y=
z=0
x = v0.t
⇔ OM
⇔ OM
Comme à t = 0, OM 0 = 0 , il vient C’1 = C’2 = C’3 = 0.
1- Equation du mouvement
On considère une particule chargée M, de charge q et de masse m, supposée ponctuelle se
déplaçant entre deux plaques aux bornes desquelles est appliqué une ddp UAB = VA – VB >
0.
On étudie le mouvement de la particule chargée dans le référentiel du laboratoire supposé
galiléen.
On pose v0 = v0.ex le vecteur vitesse initiale de la
particule, la distance entre les deux plaques et l leur
largeur.
Le champ électrique uniforme E 0 régnant entre les
deux plaques est alors donné par la relation :
x = v0.t + C’1
q.E 0 2
y=
.t + C’2
2m
z = C’3
F
E0
VA > VB
Trajectoire pour q > 0
Trajectoire pour q < 0
On retrouve ainsi que le champ électrostatique est dirigé suivant les potentiels
décroissants.
La particule chargée est ainsi soumise :
- à son poids P = m.g ;
- à la force électrique F = q.E0
2- Etude de la déviation électrique
La déviation électrique au point P de la
trajectoire est donnée par l’angle θ entre la
tangente à la trajectoire en P et la direction de
la vitesse initiale, ici la direction (Ox).
On utilise que la tangente en un point d’une
parabole d’extremum à l’origine vient couper
l’axe des abscisses en X/2. On en déduit :
tan θ =
y
P
E0
θ
O
v0
X/2
X
q.E0
Y
=
.X
X / 2 m.v02
On constate ainsi que la déviation électrique augmente avec l’abscisse (propriété de la
parabole).
De plus θ augmente avec E0 et décroît avec la masse et le carré de la vitesse v02 .
En prenant l’exemple d’un proton (q = e = 1,6.10-19 C, m = 1,67.10-27 kg) dans un champ
électrique d’intensité E0 = 104 V.m-1, on déduit :
P = 1,64.10 −26 N
F = 1,6.10 −15 N
3- Etude énergétique
Le système n’est ici soumis qu’à la force électrique conservative. Son énergie mécanique se
conserve donc.
On peut ainsi écrire :
⇒ P << F : on peut négliger le poids devant la force électrique
On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule :
0
m.γ ( M ) = F ⇔ γ ( M )
q.E0
m
0
Em = Ec + Ep =
vx = C1
⇔ v( M )
vy =
q.E0
m
1
.m.v 2 ( P )
2
+ q.V(P) + V0 = cste
Ainsi entre les instants t = 0 et t, on a :
1
.m.v02
2
.t + C2
vz = C3
+ q.V(O) =
1
.m.v 2 ( P )
2
or, V(P) – V(O) = - E0.y , ce qui permet de déduire :
v2(P) = v02 +
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+ q.V(P)
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2.q.E0
.y
m
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x
II- Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme
4- Cas particulier : champ électrique colinéaire à la vitesse initiale
Dans le cas où le champ électrique est colinéaire à la vitesse initiale ( v0 = v0ey ) , on peut
rapidement déduire, en utilisant le théorème de l’énergie mécanique (ou de l’énergie
cinétique):
Em(A) = Em(B)
1
2
⇔ q.VA + .m.v02 =
⇔ v12 =
2.q
v02 +
m
1
.m.v12
2
+ q.VB
(VA -VB) >0 pour {q>0 et VA >VB} ou {q<0 et VA <VB}
y
y
En prenant l’exemple d’un proton (q = e = 1,6.10-19 C, m = 1,67.10-27 kg) dans un champ
magnétique d’intensité B0 = 10-2 T, animé d’une vitesse v = 104 m.s-1 on déduit les ordres
de grandeur :
E0
E0
1- Présentation du système
Dans tout ce qui suit on envisagera l’étude de la trajectoire d’une particule chargée de
charge q et de masse m dans le champ magnétique uniforme et constant B = B0 .e z .
On étudie le mouvement de la particule chargée dans le référentiel du laboratoire supposé
galiléen.
La particule chargée est ainsi soumise :
- à son poids P = m.g ;
- à la force magnétique de Lorentz F = q.v ∧ B
P = 1,64.10 −26 N
O
O
v0
x
F
x
F
VB
VB
VA > VB : accélération des particules q>0
VA < VB : accélération des particules q<0
Le principe fondamental de la dynamique conduit aux équations horaires :
••
•
q.E0
q.E0
⇒ y =
m
m
q.E
.t + v0 ⇒ y = 0 .t2 + v0.t
2m
Le mouvement de la particule chargée est alors rectiligne, uniformément accéléré (déviation
électrique nulle).
y =
⇒ P << F : on peut négliger le poids devant la force magnétique
v0
F = 1,6.10 −17 N
2- Etude du mouvement
On se place dans le système de coordonnées cartésien dans le repère (O, e x , e y , e z ) .
A t = 0, la particule chargée est en O avec une vitesse initiale v 0 .
Mouvement uniforme :
Calculons la puissance de la force de Lorentz exercée sur une particule de charge q, animée
d’une vitesse v dans un champ magnétique uniforme B 0 :
P( F ) =
5- Principales applications
D’après les calculs précédents, l’action d’un champ électrique sur une particule chargée
permet :
- de dévier la particule chargée (oscilloscope cathodique…) ;
- d’accélérer la particule chargée (accélérateur linéaire de particule).
F.v = (q.v ∧ B0 ).v = 0 car F ⊥ v
La force de Lorentz ne travaille donc pas et en appliquant le théorème de la puissance
cinétique on en déduit :
dEc
=
dt
P( F ) = 0 ⇔ L’énergie cinétique de la particule chargée est une constante
⇔ v = norme de la vitesse de la particule chargée est une constante
⇔ le mouvement est uniforme.
L’action d’un champ magnétique n’est pas une modification de la norme de la vitesse mais
une déviation de la trajectoire de celle-ci.
On retrouve cette action dans différentes applications telles que :
Le spectromètre de masse, le cyclotron…
Principe fondamental de la dynamique :
On écrit les vecteur vitesse et accélération du point M caractérisant la position de la
charge à un instant par :
dv( M )
dt
v( M ) = vx .ex + vy .ey +vz .ez
et γ ( M ) =
=
dvy dvz dvx .ex +
.ey +
.ez
dt
dt
dt
Appliquant le principe fondamental de la dynamique à la particule chargée dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen, il vient :
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dvx
dt
vx
dvy
m.γ ( M ) = F ⇔ m.
vy
= q.
dt
dvz
dt
m. dvx = q.B0.vy
0
∧
vz
0
dt
⇔
B0
Comme à t = 0, on a : x(0) = y(0) = 0, on peut en déduire : a’ = 0 et b’ = - ε
(1)
Finalement :
m. dvy = - q.B0.vx (2)
dt
m. dvz = 0
dt
(3) ⇔ vz = cste = vz(0) = 0, ainsi :
On
peut
cartésienne :

= cste = z(0) = 0
Le mouvement de la particule chargée s’effectue dans le plan (O, e x , e y ) .
On pose ωc =
q.B0
m
.
v0
.sin(ωc.t)
ωc
v
y(t) = ε. 0 .[cos(ωc.t) –1]
ωc
x(t) =
(3)
a) Cas où la vitesse initiale est orthogonale au champ magnétique
On pose la vitesse initiale v0 = v0 .ex ⊥ B0 .
On en déduit :
dz
= 0 ⇔ z(t)
dt
v0
ωc
la constante positive appelée pulsation cyclotron.
On
2
v 
écrire
y
l’équation
2
v 
C-
x2 +  y + ε . 0  =  0 
ωc 

 ωc 
reconnaît alors plus
facilement une
v
trajectoire circulaire de centre C (0, ε 0 ) et
ωc
de rayon Rc =
On pose ε la grandeur telle que : ε = +1 si q > 0
ε = -1 si q < 0
également
v0
ωc
=
m.v0
q .B0
q<0
v 0 = v 0 .e x
x
(voir graphiques ci-
C+
q>0
contre).
En dérivant l’équation (2) puis en utilisant l’équation (1), il vient :
d 2 vy
dt 2
= - ωc.
dvx
=dt
ωc2.vy
La composante de la vitesse sur l’axe des ordonnées est ainsi donnée par une équation
différentielle du second ordre, homogène, linéaire à coefficients constants. La solution
générale de cette équation différentielle s’écrit :
vy(t) = a.cos(ωc.t) + b.sin(ωc.t)
Comme à t = 0, on a : vy(0) = 0, on peut en déduire : a = 0 :
vy(t) = b.sin( ωc.t)
En reprenant l’équation (2) , on déduit l’expression générale de la composante de la vitesse
sur l’axe des abscisses vx(t) :
m.
dvy
dt
−1
dv
−1
= - q.B0.vx ⇔ vx(t) =
. y =
. b. ωc.cos( ωc.t) = - ε. b.cos(ωc.t)
ε .ωc dt
ε .ωc
Comme à t = 0, on a : vx(0) = v0, on peut en déduire : v0 = − εb ⇔ b =- ε.v0
On a ainsi les composantes de la vitesse :
ωc
y(t) = ε .
ωc
vx(t) = v0.cosα.cos(ωc.t)
vy(t) =- εv0.cosα.sin(ωc.t)
.cos(ωc.t) + b’
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dvz
= 0 ⇔ vz = cste = vz(0) = v0.sin
dt
⇔ z(t) = v0.sin .t + c.
Le reste du calcul est analogue à la partie précédente en remplaçant dans les expressions
de la vitesse et de la position v0 par v0.cos α . On peut ainsi écrire :
.sin(ωc.t) + a’
v0
m.
z(t) = v0.sin .t
Le mouvement de la particule chargée n’est plus dans le plan (O, e x , e y )
En intégrant chacune de ces équations, on obtient les équations horaires :
x(t) =
b) Cas où la vitesse initiale n’est pas orthogonale au champ magnétique (hors
programme)
La particule chargée est toujours en O à l’instant initial.
La vitesse initiale admet maintenant une composante suivant l’axe (z’z) du champ
magnétique. On écrit par exemple : v0 = v0 .cos α.ex + v0 .sin α.ez où α est l’angle (ex , v0 ) . L’axe
des ordonnées, dirigé par le vecteur unitaire ey est choisi pour que la base (O, ex , ey , ez ) soit
orthonormée directe.
On déduit de (3):
Comme z(0) = 0, on en déduit :
vx(t) = v0.cos(ωc.t)
vy(t) =- ε.v0.sin(ω c.t)
v0
Dans le cas où la vitesse initiale est orthogonale au champ magnétique
uniforme ( v0 = v0 .ex ⊥ B0 ), le mouvement de la particule chargée est circulaire
dans un plan orthogonal à B0 et passant par la position initiale de la particule.
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x(t) =
v0 .cos α
y(t) = ε .
ωc
.sin( c.t)
v0 .cos α
ωc
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.[cos(ωc.t) –1]
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Le mouvement de la particule chargée peut alors être interprété comme la conjugaison :
- du mouvement de rotation sur la trajectoire circulaire établie à la partie précédente,
centre C (0, ε.
-
v0 .cos α
ωc
) et rayon Rc =
v0 .cos α
ωc
=
m.v0 .cos α
q .B0
d’un mouvement de translation rectiligne uniforme suivant la direction (z’z) du
champ magnétique à la vitesse v0.sinα
La trajectoire résultante est une hélice circulaire, à pas constant (voir graphique cidessous).
Charge positive (q>0)
Charge négative (q<0)
Remarque : il est possible de déterminer les équations horaires du mouvement de la
particule chargée dans un champ magnétique uniforme en utilisant les nombres complexes.
On pose alors :
ζ = x + j.y et χ = vx +j.vy =
dζ
dt
En combinant les équations (1) et (2), il vient :
(1) + j.(2) :
dχ
dt
= − j.ε .ωc .χ
L’équation différentielle obtenue peut être résolue pour trouver χ puis ζ et enfin
x(t)=Re(ζ) et y(t) = Im(ζ).
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