DM2 Corrigé

Université Joseph Fourier - MAT 231 - 2008-2009
Devoir à la maison n◦2
Ce devoir est à rendre en TD la semaine n◦43 (Lundi 20/10 - Vendredi 24/10).
Exercice 1
Soit Kun corps commutatif, et Mn(K)l’ensemble des matrices carrées d’ordre nà coefficients
dans K. Soit A= (aij )un élément de Mn(K). On rappelle que la trace de la matrice Aest la
somme de ses éléments diagonaux : trace(A) =
n
X
i=1
aii.
1. Montrer que l’application trace est une forme linéaire sur Mn(K).
2. Montrer que pour toutes matrices Aet Bde Mn(K):
trace(AB) = trace(BA).(1)
3. Montrer que deux matrices semblables1ont même trace.
4. Montrer qu’il n’existe pas d’endomorphismes uet vd’un espace vectoriel Ede dimension
finie tels que u◦v−v◦u=IdE.
5. Montrer que les endomorphismes de K[X],u:P7→ P′et v:P7→ XP satisfont l’égalité
précédente : u◦v−v◦u=IdK[X].
6. Montrer que les formes linéaires sur Mn(K)vérifiant (1) sont de la forme λ trace, avec λ∈K.
Problème
On considère la suite de polynômes (Pn)n∈Ndans R[X]définie par :
P0= 1,et ∀n∈N, Pn+1 = 2XPn−1
n+ 1(1 + X2)P′
n.
1. (a) Calculer P1et P2.
(b) Montrer que pour tout entier naturel n,deg(Pn)≤n. On note anle coefficient de Xn
dans Pn.
(c) Montrer que pour tout entier naturel n,an+1 =n+ 2
n+ 1an. En déduire que an=n+ 1.
Que dire alors du degré de Pn?
2. Montrer que pour tout entier naturel n,Pn(−X) = (−1)nPn(X); que dire alors de la parité
du polynôme Pn?
3. (a) Montrer que pour tout entier naturel n,P′
n+1 = (n+ 2)Pn.
(b) Montrer que pour tout entier naturel n,P2n+1(0) = 0 et P2n(0) = (−1)n.
(c) Déduire de ce qui précède que : ∀x∈R, Pn+1(x) = Pn+1(0) + (n+ 2) Zx
0
Pn(t)dt.
Calculer ainsi P3et P4.
4. (a) Montrer que pour tout entier naturel n,Pn+2 −2XPn+1 + (1 + X2)Pn= 0.
1Deux matrices Aet Bde Mn(K)sont dites semblables s’il existe une matrice Pdans Mn(K), inversible, telle
que B=P−1AP .

(b) Soit x∈Ret un=Pn(x). Exprimer unen fonction de net x.
(Indication : considérer le sous-espace vectoriel de CNdes suites complexes vérifiant
un+2 = 2xun+1 −(1 + x2)un, et en chercher une base composée de deux suites géomé-
triques.)
(c) En déduire que pour tout entier naturel n,Pn=1
2i(X+i)n+1 −(X−i)n+1.
5. (a) Montrer que le polynôme Pnadmet nracines réelles (que l’on déterminera).
(b) Factoriser le polynôme Pn(dans R[X]).
(c) Calculer la somme et le produit des racines de Pn(on discutera suivant la parité de n.)

n◦2
A= (aij )B= (bij )
AB = (cij )cij =Pn
k=1 aikbkj
Eij
i j
Eij , i = 1 . . . n, j = 1 . . . n Mn(IK)
A= (aij )A=Pi,j aij Eij
δij δij = 0 i6=j δii = 1
Eij Ekl =δjkEil
IK
IK
Mn(IK)IK
A= (aij ), B = (bij )A+B= (dij )
dij =aij +bij
A= (aij )λ∈IK λ ·A= (fij )
fij =λaij
trace Mn(IK)
IK
trace(A)∈IK
trace(λ·A+µ·B) = Pn
i=1 λaii +µbii =λPn i=1 aii +µPn i=1 bii =λtrace(A)+µtrace(B).
trace IK
AB = (cij )BA = (dij )cii =Pn
k=1 aikbki dii =Pn k=1 bikaki
trace(AB) =
n
X
i=1
cii =
n
X
i=1
n
X
k=1
aikbki =
n
X
k=1
n
X
i=1
bkiaik =
n
X
k=1
dkk =trace(BA).
A B P
B=P−1AP
trace(B) = trace(P−1AP ) = trace(AP −1P) = trace(AIn) = trace(A).
E u
v E u ◦v−v◦u=IdEBE A u
BB v BAB u ◦v BA
v◦u trace(AB −BA) = trace(IdE) = n
trace trace(AB −BA) = trace(AB)−trace(BA) = 0
P∈IK[X]
(u◦v−v◦u)(P) = u(v(P)) −v(u(P)) = (XP )0−XP 0=XP 0+P−XP 0=P.
u◦v−v◦u=IdIK[X]
IK[X]
λtrace λ ∈IK
IK (1)
ϕ IK (1)
ϕ(Eij Ekl) = δjkϕ(Eil) = ϕ(EklEij ) = δliϕ(Ekj ).
i6=l ϕ(Eil) = 0 i, j ϕ(Eii) = ϕ(Ejj )
i=l j =k λ ϕ(Eii)
ϕ(A) = ϕ(X
ij
aij Eij ) = X
ij
aij ϕ(Eij ) =
n
X
i=1
aiiϕ(Eii) = λ
n
X
i=1
aii =λtrace(A).
ϕ=λtrace

P1= 2XP0−(1 + X2)P0
0= 2X P2= 2XP1−1
2(1 + X2)P0
1= 4X2−(1 + X2) =
3X2−1.
ndeg(Pn)≤n
deg(P0) = 0 deg(Pn)≤n n deg(P0
n)≤n−1
deg((1 + X2)P0
n)≤n+ 1 deg(2XPn)≤n+ 1 deg(Pn+1)≤n+ 1
∀n∈,deg(Pn)≤n
XnPnanXnXn+1 2XPn2anXn+1
Xn+1 −1
n+1 (1+X2)P0
n−1
n+1 nanan+1 = 2an−nan n+1 =
n+2
n+1 ana0= 1 n an=n+ 1 n
deg(Pn)≤n Xn
deg(Pn) = n n + 1
Pn(−X) = (−1)nPn(X)
n= 0
n Pn(−X)=(−1)nPn(X)
−P0
n(−X) = (−1)nP0 n(X)
Pn+1(−X) = 2(−X)Pn(−X)−1
n+ 1(1 + (−X)2)P0
n(−X)
= (−1)n+12XPn(X)−1
n+ 1(1 + X2)(−1)n+1P0
n(X)
= (−1)n+1Pn+1(X).
Pnn
n P 0
n+1 = (n+ 2)Pn
n= 0 P0
1= 2 = 2P0
n P 0
n+1 = (n+ 2)Pn
P0
n+2 =³2XPn+1 −1
n+ 2(1 + X2)P0
n+1´0
=³2XPn+1 −(1 + X2)Pn´0
= 2Pn+1 + 2XP 0
n+1 −2XPn−(1 + X2)P0 n
= 2Pn+1 + 2X(n+ 2)Pn−2XPn−(1 + X2)P0
n
= 2Pn+1 + (n+ 1)(2XPn)−(1 + X2)P0
n
= 2Pn+1 + (n+ 1)Pn+1 = (n+ 3)Pn+1.
n P 0
n+1 = (n+2)Pn
0Pn
Pn+2(0) = −1
n+ 2P0
n+1(0).
P0
n+1(0) (n+ 2)Pn(0)
Pn+2(0) = −Pn(0).
P1(0) = 0 P2k+1(0) = 0,∀k∈
P0(0) = 1
P2k(0) = (−1)k,∀k∈
∀x∈R, Pn+1(x) = Pn+1(0) + Rx
0P0
n+1(t)dt P 0 n+1 (n+ 2)Pn
∀x∈R, P3(x) = P3(0) + 4 Rx
0P2(t)dt =Rx 0(3t2−1)dt = 4(x3−x).
P3= 4(X3−X)P3−4(X3−X)
P4(x) = P4(0) + 5 Rx
0P3(t)dt = 1 + 20 Rx 0(t3−t)dt = 1 + 5x4−10x2
P4= 5X4−10X2+ 1
P0
n+1 (n+ 2)PnPn+2

x∈Run=Pn(x)
E={u∈, un+2 = 2xun+1 −(1 + x2)un}. E
2
E2u∈E(u0, u1)
E
E v
r6= 0 v0= 1 vn=rnv∈E∀n∈, rn+2 =
2xrn+1 −(1 + x2)rnr2−2xr + (1 + x2) = 0
r1=x+i r2=x−i
E v w
vn=rn
1wn=rn 2E
λ µ λv +µw = 0
∀n∈, λvn+µvn= 0 n= 0 λv0+µw0= 0 λ+µ= 0
n= 1 λv1+µw1= 0 λr1+µr2= 0
λ µ
³1 1
r1r2´³ λ µ´= 0.
r2−r1r1
r2
λ=µ= 0
{v, w}E2
E E
E u
v w λ µ
u=λv +µw u0=λv0+µw0u1=λv1+µw1
³1 1
r1r2´³ λ µ´=³1 2x´.
λ=1−ix
2µ=1+ix 2
un=1−ix
2(x+i)n+1 + ix 2(x−i)n=1 2i³(x+i)n+1 −(x−i)n+1´.
x
Rn=Pn−1
2i³(X+i)n+1 −(X−i)n+1´. x
Rn
Pn=1
2i³(X+i)n+1 −(X−i)n+1´.
z∈Pn(z) = 0 (z+i)n+1 = (z−i)n+1 i
³z+i
z−i´n+1 = 1 ∃k∈,0≤k≤n, z+i z−i= exp(2ikπ n+1 )
n+ 1 ∃k∈,1≤k≤n, z =iexp( 2ikπ
n+1 )+1
exp( 2ikπ
n+1 )−1
Pn
zk=cos( kπ
n+1 )
sin( kπ
n+1 )= cotan( kπ
n+ 1),1≤k≤n.
Pnn n
X−zk
Pn= (n+ 1)
n
Y
k=1
(X−cotan( kπ
n+ 1)).
akXkPn