Angles et triangles

Correction Angles : somme des angles d'un triangle
RAPPEL
Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être expliquées.
Exercice 1
180− ( 112+32 ) =180−144=36
L'angle
̂
BLO
mesure 36°.
180− ( 90+55 ) =180−145=35
L'angle
̂
CRE
mesure 35°.
180− ( 38+41 ) =180−79=101
L'angle
̂
HUY
mesure 101°.
Exercice 2
1. ABC est un triangle rectangle en A. L'angle de sommet B mesure 10°.
Comme le triangle ABC est rectangle en A, les angles de sommet B et de sommet C sont deux angles
complémentaires (leur somme vaut 90°).
Donc
̂
ACB=90 °−10°=80 °
.
Ainsi l'angle de sommet C mesure 80°.
2. DEF est un triangle rectangle isocèle en D.
Première méthode (encore faut-il connaître cette propriété)
Dans tous les triangles rectangles isocèles, les deux angles opposés au sommet principal mesurent 45°.
Donc l'angle de sommet E mesure 45°.
Deuxième méthode
Comme le triangle DEF est rectangle en D, les angles de sommet E et de sommet F sont
complémentaires :
̂
FED+
̂
EFD=90 °
.
De plus, comme le triangle DEF est isocèle en D, les angles de sommet E et de sommet F ont la même
mesure :
̂
FED=
̂
EFD
.
Or
90 °÷2=45 °
.
Donc l'angle de sommet E mesure 45°.
3. GHI est un triangle équilatéral.
Première méthode (encore faut-il connaître cette propriété)
Tous les angles des triangles équilatéraux mesurent 60°.
Donc l'angle de sommet G mesure 60°.
Deuxième méthode
Puisque GHI est un triangle équilatéral, ses trois angles ont la même mesure.
De plus, la somme des mesures des trois angles d'un triangle mesure toujours 180°.
Or
180 °÷3=60 °
.
Donc l'angle de sommet G mesure 60°.
B
L
O
112°
32°
36°
R
C
E
55°
35°
38°
41°
U
Y
H
101°

Exercice 3
Voici les informations correspondant à la figure ci-
contre :
•RS = 6cm.
•Le triangle RSM est équilatéral.
•Le triangle SMT est rectangle en M.
•Le triangle RST est rectangle en S.
Cette figure n'est pas en vraie grandeur.
R
S
M
T
1. Figure en vraie grandeur et codage
RS
M
T
Remarque : les codes correspondent aux
informations données dans l'énoncé.
 Le format pdf déforme les figures
Pour vérifier que ta figure est correcte, superpose
chaque angle et MESURE AVEC TA REGLE, les
segments de longueur 6cm.
2. A ngle
̂
RSM
On sait que le triangle RSM est un triangle équilatéral.
Or tous les angles des triangles équilatéraux mesurent
60°.
Donc l'angle
̂
RSM
mesure 60°.
3. Angle
̂
MST
On sait que les angles
̂
RSM
et
̂
MST
sont adjacents.
Donc
̂
MST =
̂
RST −
̂
RSM
.
De plus, on sait que l'angle
̂
RST
mesure 90° et l'angle
̂
RSM
mesure 60°.
Donc
̂
MST =90°−60°=30°
.
On en déduit que l'angle
̂
MST
mesure 30°.
4. Angle
̂
STM
Maintenant, on sait que dans le triangle MST, l'angle
̂
MST
mesure 30° et que l'angle
̂
SMT
mesure 90°.
Or la somme des trois angles d'un triangle vaut toujours
180°.
Donc
̂
STM =180 °−90 °−30 °=60 °
.
On en déduit que l'angle
̂
STM
mesure 60°.
5. Somme des mesures des angles du quadrilatère RSTM
La somme des mesures des quatre angles du quadrilatère RSTM correspond exactement à la somme des mesures
des angles des triangles RSM et MST.
Or la somme des mesures des trois angles d'un triangle vaut toujours 180°.
Et
180 °+180 °=360°
.
Donc la somme des quatre angles du quadrilatère RSTM vaut 360°.
Exercice 4 Est-ce possible ? Expliquer.
On sait que :
- pour le triangle ABC, la somme des mesures des trois
angles vaut obligatoirement 180°,
- pour le triangle ADC, la somme des mesures des trois
angles vaut obligatoirement 180°.
Ainsi la somme des quatre angles du quadrilatère ABCD
vaut obligatoirement 360° (180° + 180°).
Or ici, pour le quadrilatère ABCD :
74°+123°+93°+72°=362 °
.
Mais
362 °≠360 °
.
Cette figure est donc impossible !
123°
74°
93°
72°
A
B
C
D