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(1) Le stabilisateur CG(x) de xpour l’action de Gsur lui-mˆeme par conju-
gaison contient hxi. Comme le sous-groupe hxiest d’ordre p, on sait que
CG(x) est d’ordre divisible par p. Par suite l’indice [G:CG(x)] = #G
#CG(x)
divise #G
p. Pour conclure il suffit de remarquer que la classe de conjugaison
de xest de cardinal [G:CG(x)].
(2) On sait que D14 =hR, Siavec Rd’ordre 7 et Sd’ordre 2 tels que SRS =
R−1. Comme RSR−1=SR−26= 1D14 , on constate que la classe de conju-
gaison de Sest de cardinal au moins 2. Or, d’apr`es la question pr´ec´edente,
le cardinal de la classe de conjugaison de Sdivise (#D14)/2 = 7, donc la
classe de conjugaison de Sest de cardinal exactement 7.
(3) Les classes de conjugaison sont les orbites pour l’action de D14 sur lui-
mˆeme par conjugaison. Par suite, leurs cardinaux divisent #D14 = 14.
Comme ces orbites forment une partition de D14, et comme {Id}est une
classe de conjugaison, les classes de conjugaison de D14 sont de cardinal
1, 2 ou 7, et on a au plus une classe de conjugaison d’ordre 7. D’apr`es
la question pr´ec´edente, D14 a exactement une classe de conjugaison de
cardinal 7.
D’apr`es la question 5 de l’exercice 2 de la s´erie 13, on sait que Z(D14) =
{Id}. Le groupe D14 a exactement une classe de conjugaison de cardinal 1.
Il reste `a d´eterminer le nombre k2de classes de conjugaisons de cardinal
2 de D14. Pour cel`a on utilise une nouvelle fois le fait que les classes de
conjugaison de D14 forment une partition de D14 : on a 14 = 1 + 7 + 2k2,
d’o`u k2= 3.
Exercice 5.
Soient p, q deux nombres premiers distincts, et Gun groupe d’ordre pq. En
utilisant l’´equation aux classes, montrer l’existence d’un ´el´ement d’ordre pdans G.
Solution.
Le cas o`u Gest ab´elien a ´et´e trait´e dans l’exercice 1. Supposons Gnon com-
mutatif. D’apr`es l’´equation aux classes, il existe g1, . . . , gr/∈Z(G) tels que
#G= #Z(G) +
r
X
i=1
[G:CG(gi)]
La classe de conjugaison de giest de cardinal au moins 2. Le cardinal de la classe
de conjugaison de giest [G:CG(gi)]. Par cons´equent CG(gi) est un sous-groupe
stricte de G. Comme #G=pq, on a #CG(gi) = 1 ou pou q. Si #CG(gi) = p
pour un certain indice i, alors CG(gi) est isomorphe `a Z/pZ. Dans ce cas CG(gi)
a un ´el´ement d’ordre p, et on a donc termin´e.
Supposons #CG(gi) = 1 ou qpour tout i= 1, . . . , r. Alors pdivise [G:CG(g)].
Ainsi l’´equation aux classes montre que pdivise #Z(G). D’apr`es l’exercice 1,
comme Z(G) est ab´elien, Z(G) a un ´el´ement d’ordre p.