Corrigé 14

Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 18 f´evrier 2015
Corrig´e 14
Exercice 1.
Soit Gun groupe ab´elien fini. Soit pun facteur premier de #G.
(1) Montrer que G'C×H, o`u Cest un groupe cyclique d’ordre une puis-
sance de p, et Hun groupe quelconque.
(2) Montrer que Ccontient un ´el´ement d’ordre p.
(3) Montrer que Gcontient un ´el´ement d’ordre p.
Solution.
(1) Soient p1, . . . , prdes premiers deux `a deux distincts, et n1, . . . , nrdes
entiers tels que #G=
r
Y
i
pni
i. Alors Gest isomorphe `a G1× · · · × Gravec
Giun groupe de cardinal pni
i.
Soit itel que p=pi. D’apr`es le th´eor`eme des groupes ab´eliens finis, Gi
est isomorphe `a C1× · · · × Csavec C1, . . . , Csdes groupes cycliques. En
particulier C1est cyclique de cardinal une puissance de p(car #C1divise
#Gi=pni
i).
On pose C=C1et H=C2×. . . Cs×Y
j6=i
Gj. D’apr`es ce qui pr´ec`ede,
on a bien G'C×H.
(2) Soit n > 0 tel que #C=pn. Soit x∈Cun g´ene´erateur de C. Comme x
est d’ordre pn, on constate que pn−1xest d’ordre p.
(3) Soit ϕ:G−→ C×Hl’isomorphisme construit en r´epondant `a la ques-
tion 1. Soit x∈Cd’ordre p. Alors (x, 0H) est d’ordre p. Il s’ensuit que
ϕ−1(x, 0H)∈Gest d’ordre p.
Exercice 2.
Soient Gun groupe fini, et Hun sous-groupe de G. On note
X:= {gHg−1|g∈G}.
Exprimer le cardinal de Xen fonction de Get de H.
Solution.
L’ensemble Xest l’orbite de Hpour l’action de Gpar conjugaison sur ses
sous-groupes. Le stabilisateur de Hpour cette action est le normalisateur NG(H)

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de Hdans G. En particulier Xest en bijection avec G/NG(H). Par suite on a
#X= [G:NG(H)].
Exercice 3.
V´erifier l’´equation aux classes pour S4(vous pouvez utiliser l’exercice 2 de la
s´erie 10).
Solution.
D’apr`es l’exercice 2 de la s´erie 10, les orbites de l’action de S4sur lui mˆeme
par conjugaison sont
•l’ensemble des 4-cycles ;
•l’ensemble des 3-cycles ;
•l’ensemble des transpositions ;
•l’ensemble {(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3) };
•l’ensemble {Id}.
Un syst`eme de repr´esentants des orbites de l’action de S4sur lui mˆeme par conju-
gaison est
{(1 2 3 4); (1 2 3); (1 2); (1 2)(3 4); Id}
Le stabilisateur
•de (1 2 3 4) est G(1 2 3 4) := h(1 2 3 4)i, qui est d’indice 6 dans S4;
•de (1 2 3) est G(1 2 3) := h(1 2 3)iqui est d’indice 8 dans S4;
•de (1 2) est G(1 2) := {id; (1 2); (3 4); (1 2)(3 4)}, qui est d’indice 6 dans
S4;
•de (1 2)(3 4) est
G(1 2)(3 4) := {id; (1 2); (3 4); (1 2)(3 4); (1 3)(2 4); (1 4)(2 3); (1 3 2 4); (1 4 2 3)},
qui est d’indice 3 dans S4.
•de Id est S4qui est d’indice 1 dans S4.
D’apr`es ces calculs, le centre de S4est {Id}. On constate que l’on a bien
#S4= 24
= 1 + (6 + 8 + 6 + 3)
= #Z(S4)+[S4:G(1 2 3 4)]+[S4:G(1 2 3)]+[S4:G(1 2)]+[S4:G(1 2)(3 4)].
Exercice 4.
(1) Soient Gun groupe fini, et pun facteur premier de #G. Soit x∈G
d’ordre p. Montrer que le cardinal de la classe de conjugaison de xdi-
vise #G
p.
(2) Montrer l’existence dans D14 d’une classe de conjugaison de cardinal 7.
(3) Pour tout entier n > 0, donner le nombre de classes de conjugaison dans
D14 d’ordre n.
Solution.

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(1) Le stabilisateur CG(x) de xpour l’action de Gsur lui-mˆeme par conju-
gaison contient hxi. Comme le sous-groupe hxiest d’ordre p, on sait que
CG(x) est d’ordre divisible par p. Par suite l’indice [G:CG(x)] = #G
#CG(x)
divise #G
p. Pour conclure il suffit de remarquer que la classe de conjugaison
de xest de cardinal [G:CG(x)].
(2) On sait que D14 =hR, Siavec Rd’ordre 7 et Sd’ordre 2 tels que SRS =
R−1. Comme RSR−1=SR−26= 1D14 , on constate que la classe de conju-
gaison de Sest de cardinal au moins 2. Or, d’apr`es la question pr´ec´edente,
le cardinal de la classe de conjugaison de Sdivise (#D14)/2 = 7, donc la
classe de conjugaison de Sest de cardinal exactement 7.
(3) Les classes de conjugaison sont les orbites pour l’action de D14 sur lui-
mˆeme par conjugaison. Par suite, leurs cardinaux divisent #D14 = 14.
Comme ces orbites forment une partition de D14, et comme {Id}est une
classe de conjugaison, les classes de conjugaison de D14 sont de cardinal
1, 2 ou 7, et on a au plus une classe de conjugaison d’ordre 7. D’apr`es
la question pr´ec´edente, D14 a exactement une classe de conjugaison de
cardinal 7.
D’apr`es la question 5 de l’exercice 2 de la s´erie 13, on sait que Z(D14) =
{Id}. Le groupe D14 a exactement une classe de conjugaison de cardinal 1.
Il reste `a d´eterminer le nombre k2de classes de conjugaisons de cardinal
2 de D14. Pour cel`a on utilise une nouvelle fois le fait que les classes de
conjugaison de D14 forment une partition de D14 : on a 14 = 1 + 7 + 2k2,
d’o`u k2= 3.
Exercice 5.
Soient p, q deux nombres premiers distincts, et Gun groupe d’ordre pq. En
utilisant l’´equation aux classes, montrer l’existence d’un ´el´ement d’ordre pdans G.
Solution.
Le cas o`u Gest ab´elien a ´et´e trait´e dans l’exercice 1. Supposons Gnon com-
mutatif. D’apr`es l’´equation aux classes, il existe g1, . . . , gr/∈Z(G) tels que
#G= #Z(G) +
r
X
i=1
[G:CG(gi)]
La classe de conjugaison de giest de cardinal au moins 2. Le cardinal de la classe
de conjugaison de giest [G:CG(gi)]. Par cons´equent CG(gi) est un sous-groupe
stricte de G. Comme #G=pq, on a #CG(gi) = 1 ou pou q. Si #CG(gi) = p
pour un certain indice i, alors CG(gi) est isomorphe `a Z/pZ. Dans ce cas CG(gi)
a un ´el´ement d’ordre p, et on a donc termin´e.
Supposons #CG(gi) = 1 ou qpour tout i= 1, . . . , r. Alors pdivise [G:CG(g)].
Ainsi l’´equation aux classes montre que pdivise #Z(G). D’apr`es l’exercice 1,
comme Z(G) est ab´elien, Z(G) a un ´el´ement d’ordre p.