Intégralité des notes de cours - Institut de Mathématiques de Toulouse

Analyse Fonctionnelle
Franck Boyer
Master Mathématiques et Applications
Première année
Aix-Marseille Université
13 décembre 2015
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F. BOYER - VERSION DU 13 DÉCEMBRE 2015

TABLE DES MATIÈRES iii
Table des matières
I Objectifs. Rappels. Bestiaire 3
I Introduction.................................................. 3
II Espaces métriques. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.1 Espacesmétriques .......................................... 5
II.1.a Définitionsdebase .................................... 5
II.1.b Espacescompacts ..................................... 8
II.1.c Fonctions continues, uniformément continues, Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . 10
II.1.d Caractérisations séquentielles des propriétés topologiques dans un espace métrique . . 12
II.1.e Suites de Cauchy. Complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II.2 Espaces vectoriels normés. Espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.2.a Définitionsdebase .................................... 20
II.2.b Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.2.c Espaces de Banach et de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III Opérations élémentaires sur les espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
III.1 Espacesproduits ........................................... 25
III.2 Espaces vectoriels normés quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV Principaux espaces que l’on peut rencontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV.1 Les espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV.1.a Propriétésessentielles................................... 29
IV.1.b Caractérisation de la dimension finie. Théorème de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . 30
IV.1.c Exemples ......................................... 31
IV.2 Espacesdedimensioninfinie..................................... 32
IV.2.a Espacesdesuites ..................................... 32
IV.2.b Espacesdefonctions.................................... 38
V Espaces vectoriels semi-normés ; espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II Théorèmes fondamentaux dans les espaces métriques complets 49
I ThéorèmedupointfixedeBanach ...................................... 49
I.1 Enoncé, preuve, variantes et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
I.2 Applications ............................................. 51
I.2.a Inversion d’applications Lipschitziennes. Inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . 51
I.2.b Equations intégrales de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
I.2.c Les théorèmes de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
I.2.d Théorème d’Hartman-Grobman global pour les systèmes dynamiques discrets . . . . . 59
II Théorème de Baire et premières applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II.1 Enoncéetpreuve........................................... 63
II.2 Applications élémentaires classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III Théorème de Banach-Steinhaus et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
IV Théorème de l’application ouverte et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
V Théorèmedugraphefermé.......................................... 70
III Espaces de fonctions continues 73
I Densitéd’espacesremarquables ....................................... 73
II Compacité................................................... 77
II.1 Le théorème d’Ascoli et ses conséquences immédiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
II.2 LethéorèmedeMontel........................................ 79
II.3 LethéorèmedeKolmogoroff..................................... 80
II.4 Quelques applications importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
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iv TABLE DES MATIÈRES
IV Analyse Hilbertienne 87
I Orthogonalité ................................................. 87
II Projectionorthogonale ............................................ 91
III Théorème de représentation et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
IV CompacitéfaibledanslesHilbert....................................... 97
V Théorie spectrale des opérateurs compacts autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
VI Un exemple détaillé : le problème de Dirichlet 1D et l’équation parabolique associée . . . . . . . . . . . 106
VI.1 ProblèmedeDirichlet1D ......................................106
VI.2 Le problème de la chaleur associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
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TABLE DES MATIÈRES 1
Avant-Propos
On liste ci-dessous les points les plus importants du cours et qui seront donc au programme de l’examen.
— Chapitre I : Tout ce chapitre doit être connu et maîtrisé (sauf le paragraphe sur les espaces semi-normés et les
espaces de Fréchet)
— Chapitre II :
— Enoncé et preuve du théorème de point fixe de Banach. Bien comprendre les principales applications vues en
cours et en TD.
— Enoncé du théorème de Baire. Savoir l’appliquer si on vous donne les indications nécessaires..
— Enoncé du théorème de Banach-Steinhaus. Connaître les applications classiques.
— Enoncés des théorèmes de l’application ouverte et du théorème d’isomorphisme de Banach.
— Enoncé du théorème du graphe fermé et savoir l’appliquer.
— Chapitre III :
— Enoncé du théorème de Weierstrass et applications élémentaires.
— Enoncé du théorème d’Ascoli.
— Chapitre IV :
— Connaître les définitions, énoncés et preuves des sections I, II et III.
— Les sections IV, V et VI ne sont pas au programme de l’examen.
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