Anneaux factoriels

Chapitre 4
Anneaux factoriels
On connaˆıt l’importance dans les anneaux Zet K[X] de pouvoir d´ecomposer
(de fa¸con essentiellement unique) un ´el´ement en produit d’irr´eductibles. Les
anneaux factoriels sont les anneaux int`egres ayant cette propri´et´e. On verra que
les anneaux principaux et plus g´en´eralement les anneaux de polynˆomes sur un
anneau principal sont factoriels.
Dans tout ce chapitre, Asera un anneau (commutatif unitaire) int`egre.
4.1 G´en´eralit´es
4.1.1 D´efinitions et crit`eres de factorialit´e
D´efinition 4.1.1 Soit Aun anneau commutatif int`egre. Soient a, b ∈A. On
dit que adivise b(dans A) s’il existe c∈Atel que b=ac. On dit aussi que
aest un diviseur de b(si a6= 0), et que best un multiple de a. Tout ceci est
´equivalent `a dire que b∈aA.
D´efinition 4.1.2 Deux ´el´ements non-nuls a, b ∈Asont dits associ´es s’il existe
u∈A∗tel que a=ub. Cela revient `a dire que aA =bA.
Un ´el´ement irr´eductible de Aest un ´el´ement a∈Anon-nul et non-inversible
tel que ses diviseurs sont soit inversibles, soit des multiples de apar des inver-
sibles (i.e. associ´es `a a).
On dit que a∈Aest premier si a6= 0 et si aA est un id´eal premier de A.
Les ´el´ements premiers sont clairement irr´eductibles.
D´efinition 4.1.3 Soit Aun anneau int`egre. Soit a∈Aun ´el´ement non-nul.
Une factorisation de aen ´el´ements irr´eductibles est une ´ecriture de la forme
a=f1...fp,
On dit que aadmet une factorisation unique s’il admet une factorisation en
irr´eductibles a=f1...fpet si pour toute autre factorisation en irr´eductibles
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48 CHAPITRE 4. ANNEAUX FACTORIELS
a=g1...gq, on a p=qet, quitte `a renum´eroter, giassoci´e `a fipour tout i≤p.
Par convention, tout ´el´ement inversible est dit avoir une factorisation unique.
On dit que Aest factoriel si tout ´el´ement non-nul admet une factorsation
unique.
Exemple 4.1.4 Il est bien connu que Zet K[X], si Kest un corps, sont fac-
toriels.
Remarque 4.1.5 Soit Aun anneau factoriel. Soit a∈Anon-nul. En regrou-
pant les diviseurs irr´eductibles de a, on obtient une ´ecriture
a=ufr1
1...frn
n, u ∈A∗, ri≥1
avec les fiirr´eductibles et deux `a deux non-associ´es. Cette ´ecriture est unique
dans le sens suivant : si on a une autre d´ecomposition
a=vgs1
1...fsm
m, v ∈A∗, gjirr´eductible, sj≥1,
alors m=net, quitte `a renum´eroter, fiest associ´e `a gi,ri=sipour tout i.
Avec l’´ecriture ci-dessus, les fisont les facteurs irr´eductibles (ou diviseurs
premiers) de A, et riest la multiplicit´e de aen fi.
Lemme 4.1.6. (Lemme de Gauss) Soit Aun anneau factoriel. Soient a, b, c ∈
Aavec airr´eductible et a|bc. Alors a|bou a|c. Autrement dit, tout ´el´ement
irr´eductible de Aest premier.
Preuve: Il existe x∈Atel que bc =xa. En ´ecrivant les factorisations en
irr´eductibles de bet c, on voit que aest n´ecessairement un facteur irr´eductible
de bou de c.
Exemple 4.1.7 Le sous-anneau A:= Z[√−5] = {a+√−5b|a, b ∈Z}de C
n’est pas factoriel. En effet, A∗={±1}; 2 est irr´eductible : il n’est pas inversible
et si 2 = (a+√−5b)(c+√−5d), alors 4 = (a2+5b2)(c2+5d2), donc b=d= 0 et
|a|= 1 ou |c|= 1. Mais l’id´eal (2) n’est pas premier : (1+√−5)(1−√−5) ∈(2),
et 1 ±√−5/∈(2).
Proposition 4.1.8. Un anneau int`egre Aest factoriel si et seulement si tout
´el´ement a une factorisation en irr´eductibles et si tout ´el´ement irr´eductible est
premier.
Preuve: La condition est n´ecessaire d’apr`es le lemme 4.1.6. Montrons qu’elle est
suffisante. Supposons que a∈A\{0}admet deux factorisations en irrductibles :
f1...fp=g1...gq.
Puisque g1est premier, un des fi, disons f1appartient `a g1A, donc g1|f1. Comme
ils sont premiers, donc irr´eductibles, il existe u∈A∗tel que g1=uf1. Il suit
que
f2...fp= (ug2)g3...gq.
On continue ainsi de suite et on voit que la factorisation est unique.
La condition que tout a∈Aadmet une factorisation en irr´eductibles n’est
pas tr`es restrictive :

4.1. G ´ EN ´ ERALIT ´ ES 49
Lemme 4.1.9. Soit Aun anneau noeth´erien int`egre. Alors tout ´el´ement non-
nul et non-inversible a∈Aadmet une factorisation en irr´eductibles.
Preuve: Soit Fl’ensemble des id´eaux aA avec a∈Anon-nuls, non-inversibles
et tels que an’admette pas de factorisation en irr´eductibles. On veut montrer
que Fest vide. Supposons le contraire. D’apr`es le corollaire 2.2.4, cet ensemble
a un ´el´ement maximal aA (i.e. aA n’est strictement contenu dans aucun autre
id´eal bA ∈ F).
Comme aA ∈ F,alui-mˆeme n’est pas irr´eductible. Donc a=bc avec b, c ∈A
non-inversibles. Ce qui implique que aA est strictement contenu dans bA et cA.
Par suite bA, cA /∈ F, et par d´efinition de F,bet cont chacun une factorisation
en irr´eductibles. Ce qui implique facilement qu’il en est de mˆeme pour a=bc.
Contradiction.
Corollaire 4.1.10. Soit Aun anneau noeth´erien int`egre. Alors Aest factoriel
si et seulement si tout ´el´ement irr´eductible de Aest premier.
4.1.2 Anneaux principaux, anneaux euclidiens
Proposition 4.1.11. Soit Aun anneau principal. Alors Aest factoriel.
Preuve: Comme Aest noeth´erien, il suffit de montrer que tout irr´eductible a∈A
est premier. On sait que aA est contenu dans un id´eal maximal bA (proposition
2.3.14). Donc a=bc avec c∈A. Comme aest irr´eductible et que bn’est pas
inversible, on a c∈A∗et aA =bA est maximal, donc premier.
La preuve ci-dessus montre aussi la proposition suivante :
Proposition 4.1.12. Soit Aun anneau principal. Soit f∈Anon-nul. Alors f
est irr´eductible ⇐⇒ fA est un id´eal maximal ⇐⇒ fpremier.
On sait que les anneaux Z,K[X] (Kest un corps) sont principaux. La preuve
de ce fait utilise la division euclidienne dans ces anneaux. Plus g´en´eralement,
on a la d´efinition suivante :
D´efinition 4.1.13 On dit qu’un anneau int`egre Aest euclidien s’il existe une
application ρ:A\ {0} → Ntelle que
(I) ρ(a)≤ρ(b) si a|bet b6= 0 ;
(II) (division euclidienne) pour tous a, b ∈Aavec b6= 0, il existe q, r ∈Atels
que a=bq +ret que r= 0, ou que r6= 0 et ρ(r)< ρ(b).
Exemple 4.1.14 Dans le cas de Z, on prend ρ(k) = |k|. Dans le cas de K[X],
on prend ρ(P(X)) = deg P(X) si P(X)6= 0.
Noter qu’en g´en´eral la division euclidienne de apar bn’est pas unique. Par
exemple dans Z, 5 = 3 ×2 + (−1) et 5 = 3 ×1 +2 sont des divisions euclidiennes
de 5 par 3.
Proposition 4.1.15. Tout anneau euclidien Aest principal.

50 CHAPITRE 4. ANNEAUX FACTORIELS
Preuve: Soit Iun id´eal non-nul de A. Soit a0∈Inon-nul tel que
ρ(a0) = min{ρ(a)|a∈I, a 6= 0}.
Notons que tout sous-ensemble non-vide de Nadmet un minimum. Montrons
que a0engendre I. Soit a∈I. On effectue la division euclidienne : il existe
q, r ∈Atels que a=a0q+ravec r= 0 ou ρ(r)< ρ(a0). Comme r∈I, la
minimalit´e de ρ(a0) implique que r= 0. Donc a=a0q∈a0A.
Exemple 4.1.16 Notons i=√−1∈C. Consid´erons le sous-anneau
Z[i] := {a+ib |a, b ∈Z}
de C. Alors Z[i] est euclidien avec ρ(z) = z¯z=|z|2. La condition (I) est clai-
rement v´erifi´ee. Examinons la condition (II). Soient z1, z2∈Z[i] avec z26= 0.
Alors z1/z2=r+is avec r, s ∈Q. Soient m, n ∈Ztels que |m−r|,|n−s| ≤ 1/2,
alors |z1/z2−(m+in)|2≤1/4+1/4<1. Donc z1=z2(m+in)+ravec r∈Z[i]
et |r|2=|z2(z1/z2−(m+in))|2<|z2|2.
Remarque 4.1.17 Il existe des anneaux principaux non euclidiens. On peut
montrer que c’est le cas des anneaux Z[1 + i√19
2]⊆C,R[X, Y ]/(X2+Y2+ 1)
par exemple.
Remarque 4.1.18 Soit Aun anneau noeth´erien int`egre. Alors Aest principal
si et seulement si les id´eaux maximaux de Asont principaux.
Exercice 4.1.19 Soit Aun anneau principal. Soit Sune partie multiplicative
dans A. Montrer que S−1Aest principal.
Exercice 4.1.20 Soit Aun anneau euclidien. Soit a∈Anon-nul. Montrer que
si b|a, et si on a une division euclidienne a=bq +r, alors r= 0.
Fin du dixi`eme cours, 8/11/2006

4.1. G ´ EN ´ ERALIT ´ ES 51
4.1.3 PGCD, PPCM, B´ezout
D´efinition 4.1.21 Soit Aun anneau factoriel. Soient a1, ..., an∈A. Un pgcd
(plus grand commun diviseur) des aidans Aest un diviseur commun des ai,
multiple de tout autre diviseur commun des ai. S’il existe, il est unique `a multi-
plication par une unit´e pr`es. On le note pgcd(a1, ..., an). L’id´eal pgcd(a1, ..., an)A
est bien d´efini (ind´ependant du choix d’un pgcd). On dit que les aisont premiers
ou (´etrangers) entre eux si pgcd(a1, ..., an) est inversible.
Un ppcm (plus petit commun multiple) des aidans Aest un multiple com-
mun des ai, diviseur de tout autre multiple commun. Comme pour le pgcd, si
un ppcm existe, il est alors unique `a multiplication par une unit´e pr`es. On le
note ppcm(a1, ..., an).
D´efinition 4.1.22 Soit fun ´el´ement irr´eductible de A. Pour tout a∈Anon-
nul, on note νf(a) l’entier v≥0 tel que fvdivise aet fv+1 ne divise pas a. Cet
entier ne d´epend que de l’id´eal f A. Il est appel´e la valuation de aen fA. On
pose par convention νf(0) = +∞et f+∞= 0.
Remarque 4.1.23 Soient a, b ∈A. On
νf(ab) = νf(a) + νf(b), νf(a+b)≥min{νf(a), νf(b)}.
De plus, a|bsi et seulement si νf(a)≤νf(b) pour tout irr´eductible f.
Pour fixer les id´ees, on choisira un ensemble Pd’´el´ements irr´eductibles de
Atel que tout ´el´ement irr´eductible de Asoit associ´e avec un unique ´el´ement
de P. Pour A=Z, on prend pour Pl’ensemble des nombres premiers. Pour
A=K[X], on prend pour Pl’ensemble des polynˆomes irr´eductibles unitaires.
Dans le cas g´en´eral, on n’a pas de choix canonique.
Proposition 4.1.24. Soit Aun anneau factoriel. Soient a1, ..., an∈Anon
tous nuls avec n≥2. Alors pgcd(a1, ..., an)et ppcm(a1, ..., an)existent.
Preuve: Il suffit de prendre pour le pgcd, l’´el´ement
pgcd(a1..., an) = Y
f∈P
fmin{νf(ai)}1≤i≤n
et pour le ppcm,
ppcm(a1..., an) = Y
f∈P
fmax{νf(ai)}1≤i≤n.
Notons que ces produits portent sur un nombre fini de fcar seuls un nombre
fini de f∈ P divisent l’un des ai. Dans la suite, on prendra pour pgcd et ppcm
ces produits. Ils d´ependent bien sˆur du choix de P. Par convention, f0= 1 si
f∈ P. Ainsi, si a1, ..., ansont premiers entre eux, alors pgcd(a1, ..., an) = 1.