BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR ÉLECTROTECHNIQUE Épreuve E4.1

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR
ÉLECTROTECHNIQUE
Épreuve E4.1
ÉTUDE D’UN SYSTÈME TECHNIQUE INDUSTRIEL
PRÉ-ÉTUDE ET MODÉLISATION
SESSION 2013
Durée : 4 heures
Coefficient : 3
Matériel autorisé :
- Calculatrice à fonctionnement autonome autorisée conformément à la circulaire
nº 99-186 du 16/11/99. L’usage de tout autre matériel ou document est interdit.
Documents à rendre avec la copie :
- Le candidat répondra sur les documents-réponses et sur feuilles de copie. Les
documents-réponses sont à rendre agrafés au bas d’une copie.
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
Ce sujet se compose de 26 pages numérotées de 1/26 à 26/26
dont 6 annexes et 4 documents-réponses.
Il sera tenu compte de la qualité de rédaction, en particulier pour les réponses aux
questions ne nécessitant pas de calcul. Le correcteur attend des phrases complètes
respectant la syntaxe de la langue française.
Utiliser les notations indiquées dans le texte, justifier toutes les réponses, présenter
clairement les calculs et les résultats.
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Épreuve E4.1 : Étude d’un système technique industriel :
Pré-étude et modélisation
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Le centre culturel Pablo Picasso a
été créé en 1973 à la demande de la
ville d'Homécourt.
Le centre propose des activités diversifiées :
Le spectacle vivant
Depuis 2002, le centre culturel est devenu « scène conventionnée pour le
jeune public ». Il est reconnu et soutenu pour son action en direction de
l'enfance et la jeunesse par le Ministère de la Culture.
Chaque saison, une vingtaine de spectacles et cinquante à soixante
représentations sont proposés au public. Trois à cinq créations sont
accueillies chaque saison.
La création de spectacles professionnels
Le centre culturel est à l'origine de la création de la compagnie du
Théâtre du Paradis. Cette compagnie existe depuis 1984 et s'est
spécialisée dans les spectacles à destination du jeune public.
Le Centre culturel accueille également des compagnies en résidence,
deux à trois compagnies par saison. De nombreux spectacles créés à
Homécourt ont été accueillis dans des théâtres en France et à l'étranger.
La formation des amateurs aux pratiques artistiques
Animés par des comédiens professionnels, les ateliers sont ouverts tout
au long de la saison aux adultes, enfants et adolescents. Ceux-ci peuvent
s'initier à l'art théâtral et travaillent sur des projets scéniques et des
présentations d'ateliers.
La salle de spectacles
Sa capacité est de 380 places et la
dimension de la scène est de 19 m par
9,50 m.
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Le système de perches
Dans une salle de spectacles les décors, les rideaux et les projecteurs sont
accrochés au dessus de la scène à des perches horizontales mobiles. Au cours
d’une représentation, les perches sont positionnées à différentes hauteurs en
fonction des besoins de la mise en scène.
Le centre Pablo Picasso est équipé de 23 perches de 18 m de longueur, pouvant
supporter chacune une charge de 300 kg.
Chaque perche est suspendue par un système de 6 drisses (cordes) et de 6 poulies.
Vue de côté de la salle
perches
scène
Détail de la suspension des perches (vue de face)
drisse
drisse
poulie
poulie
perche
perche
scène
scène
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L’éclairage de la scène
La salle est équipée de différents types de projecteurs de scène (ambiance,
poursuite...) dont les puissances sont comprises entre 250 W et 2 kW.
Ces projecteurs peuvent être alimentés
par une armoire fixe avec 48 départs
de 2,5 kW chacun ou par 4 gradateurs
mobiles avec 6 départs de 3 kW
chacun.
Gradateur mobile
6 départs 3 kW
Dans l’installation actuelle, chaque perche est déplacée manuellement.
Lors des spectacles, plusieurs techniciens sont mobilisés en même temps pour
déplacer les décors qui peuvent atteindre 300 kg. Les changements de décors sont
longs, fastidieux et difficiles à réaliser pendant les entractes.
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Enjeux
Dans le cadre de la rénovation, il a été décidé de motoriser et d’automatiser le
déplacement des perches afin de minimiser le temps de mise en place des décors et
de pouvoir créer des effets pendant les spectacles.
Le nouveau système permettra un positionnement plus précis des perches.
Il sera commandé soit en mode LOCAL à l’aide des commandes situées sur
l’armoire, soit en mode DISTANT à partir d’un boîtier portatif comprenant un terminal
de dialogue Homme/Machine. Ce boîtier pourra être connecté à 4 endroits du
théâtre. Une supervision de l’ensemble sera disponible sur un PC en régie.
La modernisation du système d'éclairage permettra également de répondre aux
demandes croissantes d'effets lumineux sophistiqués.
Problématiques
Dans un premier temps, nous choisirons et nous dimensionnerons les éléments
techniques permettant le positionnement automatisé des perches.
Dans un second temps nous étudierons comment améliorer l’éclairage de la scène
(augmentation de la puissance globale, augmentation de la part d’éclairage variable)
en évaluant l’impact économique et technique de cette modification.
La pré-étude consistera à :
- faire un bilan mécanique du système afin de dimensionner les éléments de la
chaîne cinématique;
- justifier le choix de la section du conducteur neutre sachant que l’installation
possède des gradateurs;
- prédéterminer les réglages d'un projecteur.
Les parties A, B, et C sont indépendantes.
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PARTIE A :
motorisation
Étude
mécanique
et
dimensionnement
de
la
Dans cette étude, nous souhaitons dimensionner le moteur d’entraînement d’une
perche en tenant compte des caractéristiques mécaniques du système de levage
(figure 1).
Au point le plus haut, la perche se trouve à 825 cm du sol et au point le plus bas à
100 cm du sol.
Le moteur doit être capable de soulever une charge maximale de 300 kg et de la
monter de 725 cm en moins de 1 min 30 s.
La vitesse de la perche en régime établi est de 0,1 m.s-1.
Vue de côté
poulie
moteur
tambour
réducteur
perche
Vue de dessus
tambour
poulie
Figure 1
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A.1. Détermination du temps de montée d'une perche du point le
plus bas au point le plus haut
v
0,1 m.s-1
0
t 1= 2 s
t2
t3
t (s)
Figure 2
Les durées d'accélération et de décélération sont fixées à 2 s chacune.
A.1.1. D'après la figure 2, quelle est la valeur de l'accélération (notée a) de t = 0
à t = t 1?
A.1.2. Montrer que la distance parcourue d1 pendant la phase d’accélération s’écrit :
1
d1  a  t12
2
A.1.3. Calculer la distance d1 parcourue pendant la phase d'accélération.
A.1.4. En déduire la distance d2 parcourue pendant la phase de décélération.
A.1.5. Calculer la distance d parcourue lors de la phase à vitesse constante.
A.1.6. Déterminer la durée nécessaire pour monter la perche du point le plus bas au
point le plus haut.
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A.2. Détermination des caractéristiques mécaniques du système de
motorisation en régime établi
Chaîne cinématique du système de montée d’une perche :
moteur
400 V
50 Hz

réducteur
1/63
r=0,94
r
tambour
m = 100mm
t=0,98
r
Perche
chargée
300 kg
0,1 m.s-1
poulies
câbles
p=0,92
On note:
-, la vitesse angulaire du moteur (rad.s-1)
-r, la vitesse angulaire de sortie du réducteur (rad.s-1)
- k, le rapport de transmission du réducteur
Ω
1
63
la vitesse de montée des perches (0,1 m.s-1)
le rendement du réducteur (0,94)
le rendement du système tambour (0,98)
le rendement du système poulies et câbles (0,92)
-m, le diamètre moyen d’enroulement sur le tambour du treuil (100 mm)
- Pu, la puissance utile du moteur,
- P, la puissance mécanique transmise à la perche
- Cu, le moment du couple utile du moteur
- m, la masse de la charge suspendue, 300 kg
- g, l’accélération de la pesanteur, g=9,81 m.s-2.
- v,
-r,
-t,
-p,
A.2.1. Puissance mécanique
A.2.1.1. Déterminer la puissance mécanique P transmise à la perche pour
monter la charge maximale (300 kg) en régime établi.
A.2.1.2. Quelle devra alors être la puissance utile Pu délivrée par le moteur ?
A.2.2. Moment du couple utile
Le diamètre moyen d'enroulement sur le treuil est supposé constant et vaut
m = 100 mm.
A.2.2.1. Donner la relation liant v, k, m et  Calculer enrégime établi.
A.2.2.2. Déduire de la puissance utile et de la relation précédente la valeur de
Cu.
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A.3. Détermination du moment du couple moteur en phase
d’accélération
A.3.1. Moment d'inertie
Le moment d'inertie Jm du moteur vaut 19.10-4 kg.m2.
Le moment d'inertie Jr du réducteur ramené sur l'arbre du moteur vaut 7.10-5 kg.m2.
Les moments d'inertie du tambour et des poulies sont négligés.
k
 


2
2

m2
 
   
p

.
m t
.r
moteur est :
Jc
A.3.1.1. Le moment d'inertie Jc de la charge suspendue ramené sur l'arbre du
Calculer Jc.
A.3.1.2 Montrer que le moment d'inertie total équivalent ramené sur l'arbre
du moteur vaut 22.10-4 kg.m2.
A.3.2. Couple moteur
t


vaut 63 rad.s-2, puis en appliquant le principe fondamental de la dynamique,
déterminer le moment du couple utile que doit fournir le moteur lors de la
phase d'accélération si le moment du couple résistant est Cr = 2,75 N.m.
En restant dans les contraintes d’accélération de la figure 2, montrer que
PARTIE B : Dimensionnement du conducteur de neutre compte
tenu des nouvelles contraintes imposées par le système d’éclairage
Les projecteurs sont alimentés par l’intermédiaire de gradateurs afin de créer des
jeux de lumière. Nous allons montrer dans cette partie que l’utilisation de gradateurs
triphasés est susceptible de générer un courant dans le conducteur neutre
nécessitant une attention particulière lors de son dimensionnement.
Dans toute cette partie, les gradateurs sont constitués de thyristors supposés idéaux
(circuit ouvert à l'état bloqué et court-circuit à l'état passant). Ils sont montés têtebêche.
B.1. Principe de fonctionnement d’un gradateur monophasé, étude
des puissances
Cette première étude simplifiée en monophasé vise à nous familiariser avec les outils
d’analyse utilisés dans la partie triphasée.
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Un gradateur monophasé à commande par modulation de l’angle de phase est
alimenté par un réseau monophasé 50 Hz, 230 V. Il est connecté à deux projecteurs
de lumière considérés comme étant équivalents à une charge purement résistive de
puissance 2000 W sous 230 V (figure 3).
On admet que le réseau n’a pas d’impédance. On dit aussi qu'il a une puissance de
court-circuit infinie.
Gradateur
T
i(t)
T'
v(t)
vr(t)
R
Figure 3
B.1.1. Calculer la valeur de la résistance R.
un
angle
de
retard
à
la
conduction  

2
B.1.2. Pour
,
indiquer
sur
le
document-réponse 1, les intervalles de conduction des deux thyristors et
tracer les chronogrammes de l'intensité i(t) et de la tension vr(t).
Étude des puissances du côté de la charge
B.1.3. L'expression de la valeur efficace de i(t) est :
1

2
(avec  en radian). Pour  
sin 2
2
, calculer la valeur efficace I de i et la puissance
active P consommée par la résistance.
Étude des puissances du côté du réseau

2
B.1.4. Lorsque  
, après décomposition en série de Fourier de i(t), on obtient
pour son fondamental ih1(t) l'expression: ih1(t) = 7,28.sin(t-0,567).
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
2
Pour  
, calculer Ih1 ,valeur efficace de ih1(t) .
Indiquer la valeur du déphasage 1 entre la tension du réseau et le
fondamental ih1(t).
Vérifier graphiquement les résultats à l'aide de la figure de l'annexe 1.
B.1.5. Comment s'appelle la grandeur correspondant à cos 1 ?
B.1.6. Déduire de la connaissance de ih1(t) et de 1, les expressions des puissances
active P et réactive Q fournies par le réseau à la charge (gradateur +
résistance).

2
B.1.7. Calculer pour  
- P, la puissance active fournie par le réseau
- Q, la puissance réactive fournie par le réseau
- S, la puissance apparente S de la source
- D, la puissance déformante
- fp, le facteur de puissance de l'installation.
B.2. Gradateur triphasé en fonctionnement équilibré, étude du
courant dans le conducteur neutre
B.2.1. Dimensionnement du conducteur de phase. Étude dans le cas où  = 0
Le cas où  = 0 correspond à une charge triphasée linéaire équilibrée montée en
étoile directement alimentée par le réseau (figure 4).
L1
L2
L3
N
i1
i2
i3
Figure 4
iN
Cette valeur I1 nous servira par la suite de référence pour estimer la quantité
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INI1
Sachant que la valeur efficace de la tension simple d’alimentation vaut 237,5 V et
que la résistance équivalente par phase vaut 26,5 , déterminer I1 la valeur efficace
du courant circulant dans la ligne 1 et la valeur efficace IN du courant circulant dans
la ligne neutre lorsque l'angle de commande du gradateur est réglé à 0°.
.
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B.2.2. Dimensionnement du conducteur de neutre. Étude dans le cas où  

2
Un groupe de 6 projecteurs (1 kW, 230 V chacun) est alimenté par l'intermédiaire
d'un gradateur triphasé (figure 5).
L1
L2
L3
i1
i2
Figure 5
i3
iN
N

,
2
C’est le cas le plus défavorable pour le courant dans le conducteur neutre sur charge
triphasée équilibrée.
Notre étude est menée pour un angle de retard à la conduction réglé à  
Des mesures et des relevés sont effectués à l'aide d'un énergie-mètre. Ils sont
consultables sur les annexes 2 et 3.
L'amplitude des raies des spectres de fréquence en annexe 3 correspond à des
valeurs efficaces.
On considérera comme égaux des courants ou des tensions dont les valeurs
efficaces ne diffèrent pas de plus de 5%.
Les grandeurs électriques notées en lettres minuscules correspondent à des
valeurs instantanées.
Les grandeurs électriques notées en lettres majuscules correspondent à des
valeurs efficaces.
v1, la tension simple de la phase 1 est la référence pour la mesure de tous les
angles.
fréquence de iN. Calculer le rapport
INI1
B.2.2.1. En se référant à l’annexe 2, déterminer la valeur efficace et la
.
B.2.2.2. D'après les relevés fournis en annexe 3, justifier que les courants
fondamentaux forment un système équilibré.
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B.2.2.3. On se propose d’analyser l’influence des harmoniques de rang 3
dans la création d’un courant dans le neutre. D'après les relevés
fournis en annexe 3, tracer sur le diagramme de Fresnel du
document-réponse 2, les vecteurs représentant les courants
harmoniques de rang 3 parcourant les lignes 1, 2 et 3,



respectivement Ih31, Ih32, Ih33.
B.2.2.4. Donner la relation liant les valeurs instantanées de rang 3, ih31, ih32,
ih33 et ih3n (courant de rang 3 parcourant le conducteur neutre). En
déduire la valeur efficace Ih3n.
B.3. Gradateur triphasé en fonctionnement déséquilibré, étude du
courant dans le conducteur neutre
Pour créer certaines ambiances d’éclairage sur la scène, les 3 paires de projecteurs
peuvent être commandés séparément.
Nous étudierons comme exemple la commande suivante : l'angle de commande sur
la ligne 1 est de 90°, l'angle de commande sur la ligne 2 est de 0°, l'angle de
commande sur la ligne 3 est de 180°.
Les allures correspondantes aux courants iL1, iL2, iL3, sont représentées sur le
document-réponse 2.
Nous allons montrer comme dans le cas précédent, que cette situation est très
contraignante pour le courant dans le conducteur neutre.
B.3.1. Tracer sur ce document l'allure de iN.
IN
(I1 est la valeur efficace
I1
du courant circulant dans la ligne L1 lorsque l'angle de commande du
gradateur est réglé à 0°).
B.3.2. D'après les relevés (annexe 4) calculer le rapport
B.4. Dimensionnement du conducteur neutre
D'après les résultats précédents, indiquer les précautions à prendre lorsque
l'on dimensionne le conducteur neutre de l’installation sachant que le nombre
de projecteurs commandés par gradateur a été augmenté.
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Partie C : Éclairage, étude du réglage d'un projecteur
Les projecteurs à lentille, sont des appareils focalisables, c’est-àdire que l’on peut régler l’angle d’ouverture du cône de lumière
sortant de l’appareil. Cette propriété permet de modifier la taille
de la « tâche » de lumière sur la scène et de créer les niveaux
d’éclairement adaptés aux besoins du spectacle.
Le système de focalisation utilise une vis entraînant un chariot
équipé de la lampe et de son miroir. Un miroir réflecteur est
placé derrière l’ampoule pour renvoyer le maximum de rayons
vers la lentille.
Nous montrerons qu’en éloignant le chariot de la lentille on rétrécit le faisceau, et
qu’au contraire en l’approchant, on l’élargit.
7
4
5
2
3
6
1
Repère
1
2
3
4
5
6
7
Description
molette de réglage
câble d'alimentation
vis sans fin
miroir réflecteur
lampe halogène
chariot mobile
lentille
Figure 6
C.1. Réglage de l’angle d’ouverture d’un projecteur
La distance focale de la lentille vaut 25 cm et son diamètre est de 200 mm. On
considère que la source lumineuse peut être déplacée de 10 cm à 21,25 cm de la
lentille. Nous allons dans cette partie étudier l’influence de la position de la lampe sur
l’ouverture du faisceau lumineux.
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Rappels d'optique géométrique : tracé d’un rayon émergent
Le rayon incident passant par le point A est dévié
par la lentille. Comment tracer le rayon émergent
correspondant ?
On trace le rayon parallèle au rayon incident et
passant par le centre optique O de la lentille. Ce
rayon n’est pas dévié et coupe le plan focal image
en un point B. Suite à une propriété du plan focal
image, le rayon émergent recherché passe
également par ce point B.
B
Axe
optique
A
o
F'
Plan focal
image
C.1.1. Détermination graphique de l’angle maximal d'ouverture (max) du projecteur.
angle d'ouverture
La lampe se situe à 10 cm de la lentille. À l'aide des rappels précédents, tracer
sur le document-réponse 3 le rayon émergent issu du rayon incident
supérieur du faisceau puis déterminer graphiquement l'angle qu'il fait avec
l'axe horizontal.
Tracer le rayon émergent issu du rayon inférieur du faisceau incident.
Déduire des deux tracés max.
C.1.2. Détermination graphique de l'angle minimal d'ouverture (min) du projecteur.
Sur le document-réponse 4, procéder de la même façon lorsque la lampe se
situe à 21,25 cm de la lentille pour en déduire l'angle minimal d'ouverture du
projecteur min.
C.2. Réglage de l’éclairement sur scène
Rappel: unités photométriques
Flux lumineux (L)
Le flux lumineux L d’une source est la quantité de lumière visible rayonnée
par cette source dans tout l’espace. Il s’exprime en lumen (lm).
L'éclairement (E)
C'est le flux lumineux reçu par unité de surface. Son unité est le lux (lx).
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Dans cette partie nous prendrons pour l'angle
d'ouverture maximal max = 63° et pour l'angle
d'ouverture minimal min = 8°.
Le projecteur sera positionné verticalement de sorte
que la distance entre le centre du faisceau et le sol
soit égale à 7 m.

hauteur
7m
La lampe halogène est du type CP70 Gx9,5 1 000 W,
sa température de couleur vaut 3 200° K et son flux
lumineux 26 000 lumens.
diamètre du faisceau au sol
Figure 7
C.2.1. La relation liant le diamètre du faisceau au sol (d), la hauteur (h) et l’angle

2
d’ouverture () est : d = 2.h.tan
,
Déterminer pour les angles d'ouverture min et max, la surface éclairée au sol
et, en se référant à l’annexe 5, les valeurs de l’éclairement au sol.
C.2.2. En se référant aux données du constructeur et au diagramme de Kruithof
(annexe 5), indiquer si il est possible de faire varier l’angle d’ouverture du
projecteur de min à max en respectant le confort visuel du spectateur.
C.2.3. Souhaitant créer un effet de lumière, l'éclairagiste fait varier la tension
d'alimentation du projecteur pour un angle d’ouverture donné ( = 17°). Il règle
la tension à 60% de sa valeur nominale.
D'après l'annexe 6, quelle est l’influence de ce réglage sur l’éclairement au
sol, sur la température de couleur de la lampe et le confort visuel du
spectateur ?
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Annexe 1
v (V)
ih1 (A)
v(t)
ih1(t)
t (s)
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Annexe 2
Courant dans le conducteur neutre en fonctionnement équilibré
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Annexe 3
Fondamentaux et harmoniques en fonctionnement équilibré
Courants fondamentaux
Spectre de fréquences des courants parcourant les lignes 1, 2 et 3
Le curseur est placé successivement sur les raies de rang 3 (H3) de chaque phase.
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Annexe 4
Fonctionnement déséquilibré
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Annexe 5
Données photométriques du projecteur 310HPC 1000W
Faisceau serré 8°
Distance (m)
Éclairement (lx)
4
8200
7
2679
10
1313
12
911
15
583
Faisceau étroit 17°
Distance (m)
Éclairement (lx)
4
3262
7
1065
10
522
12
363
15
232
Faisceau large 63°
Distance (m)
Éclairement (lx)
4
610
7
199
10
98
12
68
15
43
Température de couleur
La température de couleur d’une source lumineuse caractérise sa teinte. Elle
caractérise l’ambiance lumineuse (chaude, intermédiaire ou froide).
Elle est exprimée en KELVIN (K).
Une lumière froide présente un aspect bleuté, la température est élevée alors qu’une
lumière chaude donnera un aspect doré, la température est plus basse.
Diagramme de Kruithof
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Annexe 6
%
temperature de couleur en
pourcentage de la valeur
nominale
puissance en pourcentage de la
valeur nominale
lumen en pourcentage de la
valeur nominale
% de la tension
nominale
BTS ÉLECTROTECHNIQUE
Épreuve E4.1 : Étude d’un système technique industriel :
Pré-étude et modélisation
Session 2013
Code :
13-EQPEM
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Document-réponse 1
T
T'
i(t)
t
v(t)
t
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Pré-étude et modélisation
Session 2013
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Document-réponse 2
Échelle: 1cm = 1A
i (A)
iL1
a+b
iL2
b+c
c+a
t (s)
b
c
a
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Pré-étude et modélisation
Session 2013
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Document-réponse 3
Échelle: 1 carreau = 2,5 cm
f
-25 cm
f'
-10 cm
25 cm
Plan focal image
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Pré-étude et modélisation
Session 2013
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Document-réponse 4
Échelle: 1 carreau = 2,5 cm
f'
f
-25 cm
25 cm
-10 cm
Plan focal image
BTS ÉLECTROTECHNIQUE
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Pré-étude et modélisation
Session 2013
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