Le théorème des zéros de Hilbert - IMJ-PRG

Le théorème des zéros de Hilbert
Université Pierre et Marie Curie
Préparation à l’agrégation externe
Leonardo Zapponi
Année académique 2011-2012
En couverture : David Hilbert (1862–1943) et Amalie Emmy Noether (1882–1935).
Le théorème des zéros de Hiblert
Introduction
Cette note est le résumé d’un cours de préparation à l’agrégation externe organisé par l’université Pierre et Marie Curie durant l’année académique 2011/2012.
L’objectif est de présenter une démonstration du célèbre théorème des zéros de
Hilbert. Ce résultat a été un moteur majeur dans le développement de la géométrie algébrique au début du vingtième siècle. Étant un sujet largement étudié et
documenté, plusieurs choix d’exposition auraient été envisageable. Il existe par
exemple des démonstrations récentes assez courtes et simples ou encore des résultat plus généraux tout à fait accessibles pour un candidat à l’agrégation. Nous
avons préféré une présentation plus fidèle à l’original, dans le contenu ainsi que
dans les techniques utilisées. L’exposition est organisée de la manière suivante :
le premier paragraphe est un préambule algébrique nécessaire pour pouvoir entreprendre la démonstration du théorème des zéros. Les résultats présentés sont classiques et tournent autour de la notion de dépendance intégrale. Les démonstrations
ne sont pas complexes et illustrent parfaitement le type de raisonnement propre à
l’algèbre commutative classique. Le deuxième paragraphe est entièrement dédié
au lemme de normalisation de Noether. Ce résultat général a été lui-aussi fondamental dans le développement de la géométrie algébrique, c’est d’ailleurs une des
raisons qui nous ont poussés à l’incorporer dans l’exposé. Il permet entre autre
d’introduire la notion de dimension d’un variété algébrique (aspect qui ne sera
toutefois pas abordé dans cette note). La démonstration présentée ici est pratiquement identique à celle originale, si ce n’est pour un argument de Nagata permettant de ne pas se borner au cas d’un corps infini. Un des corollaires immédiats du
lemme de normalisation affirme qu’un corps finiment engendré sur un corps est
une extension algébrique de ce dernier ; cet énoncé est un ingrédient crucial de
la démonstration du théorème des zéros. Le troisième paragraphe est une courte
et très incomplète introduction à la géométrie algébrique, et plus particulièrement
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à la notion d’ensemble algébrique. C’est un passage obligé si l’on veut pouvoir
entrevoir la portée du théorème des zéros de Hilbert, énoncé et démontré dans le
quatrième et dernier paragraphe. L’exposé se termine avec deux applications classiques. L’une d’entre elles, établissant une bijection entre l’ensemble des points
d’un ensemble algébrique et l’ensemble des idéaux maximaux de son anneau de
fonctions régulières, a été une source majeure d’inspiration pour l’introduction
des schémas, objets fondamentaux de la géométrie moderne.
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Préliminaires algébriques
Définition. Soient A ⊂ B deux anneaux. Un élément de B est entier sur A s’il
est racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans A. On dit que B est entier
sur A, ou que B est une extension entière de A si tout élément de B est entier sur
A.
Exemple. Si A est un corps, une extension entière n’est autre qu’une extension
algébrique.
Lemme 1. Soient A ⊂ B deux anneaux. Pour tout élément x ∈ B, les conditions
suivantes sont équivalentes :
1. L’élément x est entier surA.
2. Le A-module A[x] est de type fini.
3. Il existe un A[x]-module M contenant A[x] et de type fini sur A.
4. Il existe un A[x]-module fidèle 1 M de type fini sur A.
Démonstration. On va montrer les implications 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1.
(1 ⇒ 2) Soit f = X n +an−1 X n−1 +· · ·+a0 ∈ A[X] un polynôme ayant x pour
racine. Le A-module A[x] est alors engendré par les éléments 1, x, x2 , . . . , xn−1 .
Il est donc de type fini.
(2 ⇒ 3) Il suffit de poser M = A[x].
(3 ⇒ 4) Le A-module A[x] étant contenu dans M , on a en particulier la
relation 1 ∈ M . En particulier, étant donné un élément a ∈ A, la relation aM = 0
entraîne l’identité a · 1 = a = 0. On en déduit que M est fidèle.
1. Un module M sur un anneau R est findèle si, pour tout x ∈ R, l’identité xM = 0 est
équivalente à x = 0.
Préliminaires algébriques
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(4 ⇒ 1) C’est le point le plus délicat de la démonstration. Fixons des générateurs m1 , . . . , mn de M . Pour tout i ∈ {1, . . . , n} on a alors les relations
xmi =
n
X
ui,j mj ,
j=1
avec ui,1 , . . . , ui,n ∈ A. En considérant la matrice U = (ui,j ) ∈ Mn (A), on obtient
alors la relation
 
m1
 .. 
(x · 1 − U )  .  = 0
mn
dans M n . En multipliant à gauche par la transposée de sa matrice des cofacteurs
de x · 1 − U , on en déduit alors l’identité
det(x · 1 − U )m = 0
pour tout m ∈ M . Par fidélité de M , on obtient donc la relation det(x·1−U ) = 0,
le terme de gauche étant un polynôme unitaire en x à coefficients dans A.
Corollaire 2. Soient A ⊂ B deux anneaux. Si deux éléments x, y ∈ B sont
entiers sur A alors il en est de même pour x + y et xy. En particulier, l’ensemble
des éléments de B qui sont entiers sur A est un sous-anneau de B.
Démonstration. Soient m et n les degrés de deux polynômes non nuls de A[X]
s’annullant respectivement en x et en y. Les A-modules A[x + y] et A[xy] sont
tous deux contenus dans le A-module A[x, y], qui est de type fini, engendré par
les éléments xi y j pour 0 ≤ i ≤ m et 0 ≤ j ≤ n. Le lemme précédent affirme
qu’ils sont alors entiers sur A.
Corollaire 3. Soient A ⊂ B ⊂ C trois anneaux. Si x ∈ C est un élément entier
sur B et B est une extension entière de A alors x est entier sur A.
Démonstration. Considérons le sous-anneau D = A[b0 , . . . , bn−1 ] de B, où f =
X n + bn−1 X n−1 + · · · + b0 ∈ B[X] est un polynôme ayant x pour racine. Par hypothèse, l’anneau B est entier sur A ; il s’en suit que D est un A-module finiment
engendré. Il en est alors de même pour le A-module D[x]. En effet, si m1 , . . . , mr
sont des générateurs de D sur A, alors les éléments mi xj engendrent D[x]. Le
lemme 1 permet alors de conclure.
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Lemme 4. Soit B un anneau intègre, extension entière d’un anneau A. Alors B
est un corps si et seulement s’il en est de même pour A.
Démonstration. Supposons d’abord que A est un corps et fixons un élément non
nul b ∈ B. Il existe alors un polynôme unitaire f = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ∈
A[X] ayant b comme racine. En supposant que le degré de f est minimal, on
en déduit alors que a0 est non nul, donc inversible. Si u désigne son inverse, on
obtient alors l’identité
b(−u−1 bn−1 − u−1 an−1 bn−2 − · · · − a1 ) = 1,
ce qui montre que b est inversible. Réciproquement, si B est un corps, tout élément
non nul a de A possède un inverse b ∈ B. Si f = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ∈
A[X] est un polynôme ayant b comme racine, on obtient les relations
an−1 f (b) = b + an−1 + an−2 a + · · · + a0 an−1 = 0,
et, par conséquent l’expression
b = −(an−1 + an−2 a + · · · + a0 an−1 ).
En particulier, l’élément b appartient à A.
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Le lemme de normalisation de Noether
Théorème 5 (lemme de normalisation de Noether). Soient k un corps et A une
k-algèbre de type fini. Il existe alors un entier d et un homomorphisme injectif
k[X1 , . . . , Xd ] → A tel que A soit entier sur k[X1 , . . . , Xd ].
Démonstration. On procède par récurrence sur le nombre de générateurs de A.
Pour n = 0, on a A = k et on peut donc prendre d = 0. Supposons donc que A
est engendrée par n > 0 générateurs t1 , . . . , tn et supposons le lemme vrai pour
toute k-algèbre engendrée par au plus n − 1 éléments. Indiquons par I le noyau
de l’homomorphisme surjectif
ϕ : k[T1 , . . . , Tn ] → A,
défini par ϕ(Ti ) = ti . Si I est nul, il suffit de poser d = n, la k-algèbre A
étant alors isomorphe à k[T1 , . . . , Tn ]. Supposons donc que I possède un élément f non nul. Soit m un entier strictement supérieur au plus grand exposant
Un peu de géométrie algébrique
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des T1 , . . . , Tn apparaissant dans l’expression de f . Considérons les nouvelles variables X1 , . . . , Xn définies par Xn = Tn et
i
Xi = Ti − Tnm
pour i ∈ {1, . . . , n − 1}, de telle sorte que k[X1 , . . . , Xn ] = k[T1 , . . . , Tn ]. Un
monôme T1e1 · · · Tnen est alors égal à
n−1
n−1 en−1
Xnen = Xnen +e1 m+···+en−1 m + h,
(X1 + Xnm )e1 · · · Xn−1 + Xnm
où le polynôme h ∈ k[X1 , . . . , Xn ] est de degré strictement inférieur à en + e1 m +
· · · + en−1 mn−1 . Remarquons maintenant que l’unicité de l’écriture d’un entier
en base m implique que deux monômes différents amènent à des polynômes de
degrés distincts. Posons B = k[X1 , . . . , Xn−1 ]. Il s’en suit que le coefficient directeur du polynôme f , considéré en tant qu’élément de B[Xn ], appartient à k.
On peut donc supposer que f ∈ B[X] est unitaire. En posant xi = ϕ(Xi ), on a
l’identité A = k[x1 , . . . , xn ] et xn est entier sur k[x1 , . . . , xn−1 ]. Finalement, par
hypothèse de récurrence, la k-algèbre k[x1 , . . . , xn ] est une extension entière d’un
anneau de polynômes et le corollaire 6 permet de conclure.
Corollaire 6. Soit k un corps. Si une k-algèbre de type fini est un corps, alors
c’est une extension algébrique de k.
Démonstration. D’après le lemme de normalisation de Noether, une k-algèbre
de type fini A se réalise comme extension entière d’un anneau de polynômes
k[X1 , . . . , Xd ]. Si d est non nul et A est un corps, le lemme 4 affirme alors que
l’anneau k[X1 , . . . , Xd ] est lui aussi un corps, ce qui est absurde.
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Un peu de géométrie algébrique
Dans la suite, on fixe un corps algébriquement clos k. Soit n un entier positif et posons A = k[X1 , . . . , Xn ]. Pour tout sous-ensemble S de A, considérons
l’ensemble
Z(S) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ k n | f (x1 , . . . , xn ) = 0 ∀ f ∈ S}
Définition. Un sous-ensemble V de k n est un ensemble algébrique s’il existe un
sous-ensemble S de A tel que V = Z(S).
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Exercice 1. Montrer que les ensembles algébriques vérifient les propriétés suivantes :
1. Si S ⊂ T ⊂ A alors Z(T ) ⊂ S(T ).
2. On a les relations Z(A) = ∅ et Z(0) = k n .
3. Soit a l’idéal de A engendré par S. On a alors l’identité Z(a) = Z(S).
4. Si V ⊂ k n est un ensemble algébrique alors il existe un sous-ensemble fini
S de A tel que V = Z(S) (indication, utiliser le point précédent).
5. Si a et b sont deux idéaux de A, on a les relations Z(a + b) = Z(a) ∩ Z(b)
et Z(ab) = Z(a ∩ b) = Z(a) ∪ Z(b). En particulier, l’intersection d’une
famille quelconque et l’union d’une famille finie d’ensembles algébriques
est un ensemble algébrique.
Remarque 1. Les points 2 et 5 de l’exercice précédent montrent que les ensembles algébriques vérifient
les axiomes des fermés d’une topologie sur k n appelée
topologie de Zariski. Par exemple, pour n = 1, on obtient la topologie cofinie de k : un sous-ensemble est
fermé si et seulement s’il est fini.
Nous venons de voir comment associer à une famille d’éléments de A (ou à l’idéal qu’ils engendrent)
un sous-ensemble de k n . Réciproquement, pour tout
sous-ensemble V de k n , on vérifie facilement que l’ensemble
Oscar Zariski (1899–1986).
I(V ) = {f ∈ A | f (x1 , . . . , xn ) = 0 ∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ V }
est un idéal de A.
Exercice 2. Montrer que l’idéal I(V ) vérifie les propriétés suivantes :
1. Si U ⊂ V ⊂ k n alors I(V ) ⊂ I(U ).
2. On a l’identité I(k n ) = 0.
3. Si U et V sont deux sous-ensembles de k n , on a la relation I(U ) ∩ I(V ) =
I(U ∪ V ).
4. Pour tout idéal a de A, on a une inclusion a ⊂ I(Z(a)).
5. Pour tout sous-ensemble V de k n , on a une inclusion V ⊂ Z(I(V )).
Un peu de géométrie algébrique
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6. Déduire des points précédents les identités Z ◦ I ◦ Z = Z et I ◦ Z ◦ I = I.
Le dernier point de l’exercice ci-dessus affirme que l’application I définit une
bijection entre les ensembles algébriques de k n et une classe d’idéaux de A, i.e.
ceux qui s’écrivent comme a = I(V ) pour un certain ensemble algébrique V , ce
qui revient à affirmer que a = I(Z(a)). La formulation forte du théorème des
zéros de Hilbert permettra de donner une description purement algébrique de ces
idéaux.
Définition. L’anneau des fonctions régulières d’un ensemble algébrique V ⊂ k n
est le quotient k[V ] = A/I(V ).
Étant donné un point P = (x1 , . . . , xn ) ∈ k n appartenant à un ensemble
algébrique V , on définit un homomorphisme d’évaluation eP : A → k qui associe
à un polynôme f ∈ A sa valeur en P . L’idéal I(V ) étant contenu dans le noyau, on
obtient un homomorphisme eP : k[V ] → k. On a clairement la relation eP (c) = c
pour tout c ∈ k.
Lemme 7. Avec les notations et hypothèses ci-dessus le noyau I(P ) 2 de l’homomorphisme eP est engendré par les éléments X1 − x1 , . . . , Xn − xn .
Démonstration. Il est clair que les éléments X1 − x1 , . . . , Xn − xn appartiennent
à I(P ). Réciproquement, étant donné un élément f ∈ A = k[X2 , . . . , Xn ][X1 ],
on peut considérer sa division euclidienne par le polynôme X − x1 , ce qui amène
à une expression du type f = (X − x1 )q1 + r1 avec q1 ∈ A et r1 ∈ k[X2 , ,̇sXn ].
En itérant ce procédé, on arrive finalement à l’identité
f = (X − x1 )q1 + · · · + (X − xn )qn + c,
avec c ∈ R. En évaluant en P , on obtient alors la relation f (P ) = c, ce qui permet
de conclure.
Supposons maintenant d’avoir un homomorphisme k[V ] → k dont la restriction à k est l’identité. Le théorème des zéros de Hilbert, dans sa formulation faible,
affirme que cet homomorphisme est le morphisme d’évaluation associé à un point
de V .
2. L’écriture correcte serait I({P }) ; afin de ne pas alourdir les notations, nous avons néanmoins préféré omettre les accolades.
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Le théorème des zéros de Hilbert
Définition. Le radical d’un idéal a d’un anneau R est l’ensemble
rad(a) = {a ∈ R | ∃ n ∈ N, an ∈ a}.
On dit que l’idéal a est radiciel s’il coïncide avec son radical.
Exercice 3. Montrer que pour tout idéal a d’un aneau R, l’ensemble rad(a) est
un idéal contenant a et que l’on a la relation rad(rad(a)) = rad(a).
Nous sommes finalement en mesure d’énoncer et de démontrer le théorème
des zéros de Hilbert – Nullstellensatz en allemant – dans ses diverses formulations
classiques.
Théorème 8. Les trois propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées :
1. (Nullstellensatz, forme faible). Si m est un idéal maximal de A alors il existe
un point P ∈ k n tel que m = I(P ).
2. (Existence des zéros). Pout tout idéal propre a de A, l’ensemble algébrique
Z(a) est non vide.
3. (Nullstellensatz, forme forte). Pour tout idéal a de A, on a l’identité I(Z(a)) =
rad(a).
Démonstration. Commençons par montrer l’équivalence des trois formulations,
en démontrant les implications 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1.
(1 ⇒ 2) Soit a un idéal propre de A. Par le théorème de Krull, il existe un idéal
maximal m le contenant (dans le cas présent, l’anneau A étant noethérien, il n’est
pas nécessaire d’utiliser le lemme de Zorn). D’après le point 1 de l’exercice 1, on
a l’inclusion Z(m) ⊂ Z(a). Finalement, il existe un point P tel que m = I(P ).
En particulier, Z(m) est non vide et il en est donc de même pour Z(a).
(2 ⇒ 3) On commence par remarquer que le point 2 affirme que si f1 , . . . , fm ∈
A n’ont pas de racines communes alors il existe g1 , . . . , gm ∈ A tels que
f1 g1 + · · · + fm gm = 1.
Considérons un idéal propre a de A et fixons des générateurs f1 , . . . , fm . Nous
devons montrer que si g ∈ A s’annulle sur tout Z(a) alors il existe un entier
positif n et des polynômes g1 , . . . , gm ∈ A tels que
g n = g1 f1 + · · · + gm fm .
Le théorème des zéros de Hilbert
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Pour ce faire, on considère les polynômes f1 , . . . , fm comme éléments de A[X]
par l’inclusion naturelle A ⊂ A[X] et on pose G = 1 − Xg. Par construction,
les polynômes f1 , . . . , fm et G n’ont pas de racines communes et, d’après ce qui
précède, il existe g1 , . . . , gm+1 ∈ A[X] tels que
g1 f1 + · · · + gm fm + gm+1 G = 1.
1
g
(c’est le quotient de A[X] par l’idéal engendré par l’élément G). On obtient alors
l’identité
1
1
g1
f 1 + · · · + gn
fm = 1.
g
g
Considérons finalement l’homomorphisme A[X] → A
h i
1
g
qui envoie X sur
En multipliant par une puissance adéguate de g (on prendra par exemple le maximum des degrés en X de g1 , . . . , gm ), on obtient l’identité voulue.
(3 ⇒ 1) Soit m un idéal maximal de A. On ne peut pas avoir la relation
Z(m) = ∅, qui amènerait à l’identité I(Z(m)) = A, en contradiction avec la
relation rad(m) = m. Il existe donc un point P ∈ Z(m) et le point 1 de l’exercice
2 amène aux relations
m = I(Z(m)) ⊂ I(P ).
Par maximalité de m, on obtient une égalité.
Nous terminons en démontrant la forme faible du Nullstellensatz : si m est un
idéal maximal de A, le corollaire 6 affirme que le quotient A/m est une extension
algébrique de k. Le corps k étant algébriquement clos, on obtient l’identité A/m =
k. En particulier, si x1 , . . . , xn désignent les images respectives de X1 , . . . , Xn
dans A/m, on en déduit que l’idéal engendré par les éléments X1 − x1 , . . . , Xn −
xn , qui n’est autre que I(P ), est contenu dans m. Or, le lemme 7 affirme que l’idéal
I(P ) est maximal, ce qui donne l’identité m = I(P ) et achève la démonstration.
Corollaire 9. L’application I introduite dans le paragraphe précédent définit
une bijection de l’ensemble des ensembles algébriques de k n sur l’ensemble des
idéaux radiciels de A, ayant Z comme réciproque.
Démonstration. Comme il l’a été remarqué précédemment, le point 6 de l’exrcice
2 affirme qu’il existe une bijection entre les ensembles algébriques de k n et les
idéaux a de A vérifiant la relation I(Z(a)) = a. La forme forte du Nullstellensatz
affrime que ces idéaux sont les idéaux radiciels.
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Corollaire 10. Soit V un ensemble algébrique de k n . Il existe une bijection entre
les points de V et les idéaux maximaux de k[V ].
Démonstration. On rappelle qu’il existe une bijection entre les idéaux de k[V ] et
les idéaux de A contenant I(V ). La correspondance du corollaire précédent définit
une bijection entre les idéaux maximaux de A et les point de k n . Il suffit alors de
remarquer que les exercices 1 et 2 certifient qu’un point P ∈ k n appartient à V si
et seulement si l’idéal I(P ) contient I(V ).