Corrigé

UNIVERSITÉ DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
2014/2015
Préparation à l’agrégation
UE 7. Examen. Durée 2 h.
Corrigé.
√
√
Exercice 1. On pose A = Z[ 2] = {a + b 2; a, b ∈ Z}.
a) Montrer que A est un sous-anneau de R isomorphe à Z[X]/(X 2 − 2).√
Considérons l’homomorphisme d’anneaux ϕ : Z[X] → R, ϕ(P ) = P ( 2). Le noyau de ϕ est égal à
l’idéal X 2 − 2 (pour le montrer on peut utiliser la division euclidienne par X 2 − 2) est l’image de
ϕ est A. Nous concluons alors par le théorème d’isomorphisme.
√
√
b) Soit N une application de Z( 2) dans R qui à z = a + b 2 associe N (z) = |a2 − 2b2 |. Montrer que
pour tous z et z 0 de A on a : N (zz 0 ) = N (z)N (z 0 ), N (z) = 0 ⇔ z = 0.
Bien entendu on peut le calculer directement. On peut aussi considérer l’homorphisme d’anneaux
√
√
¯ : A → A, (a + b 2) = a − b 2. Alors N (z) = zz, N (zz 0 ) = zzz 0 z 0 = N (z)N (z 0 ) et N (z) = zz =
0 ⇐⇒ z = 0 ou z = 0 ⇐⇒ z = 0.
c) Montrer que pour tout x ∈ A et tout y ∈ A \ {0} il existe q, r ∈ A tels que
x = yq + r
avec N (r) < N (y).
(Indice : déterminer q ∈ A tel que N (x/y − q) < 1.)
√
√
√
Notons que le point précédent est également valable pour Q( 2). Soit x/y√= α + β 2 ∈ Q( 2). Il
existe a, b ∈ Z tels que |a − α| ≤ 1/2, |b − β| ≤ 1/2. On choisit q = a + b 2. Alors N (x/y − q) ≤
|1/4 − 1/2| ≤ 1/2 < 1 et pour r = x = yq, N (r) < 1
d) L’anneau A, est-il euclidien ?, principal ?, factoriel ?
A est euclidien par le point précedent, et donc principal et factoriel.
√
Exercice 2. Soit A = Z[ −3] ⊂ C et K son corps de fractions. Montrer que x2 − x + 1 est irréductible
dans A[x] sans pour autant être irréductible dans K[X].
En déduire que A n’est pas factoriel (citer précisément
les résultats utilisés).
√
√
1+i 3
1−i 3
2
Les racines de P (x) = x − x + 1 sont x1 = 2 , x2 2 . Le polynôme P (x) = x2 − x + 1 est unitaire et
n’a pas de racines dans A. Alors il est irréductible dans A. (Attention : Il existe dans A[X] de polynômes
réductibles de degré deux et sans racines dans A, par exemple 5(x2 − x + 1).)
P est réductible dans K[X] : P (x) = (x − x1 )(x − x2 ).
A n’est pas factoriel. Sinon P soit un contreexemple au théorème suivant :
Theorème : Soit A un anneau factoriel de corps des fractions K. Alors les irréductibles de A[X] sont de
deux types :
i) Les polynom̂es P = p constants avec p irréductible dans A.
ii) Les polynom̂es primitifs de degré ≥ 1 qui sont irréductibles dans K[X].
Exercice 3. (Entiers algébriques de C.)
On dit que α ∈ C est un entier algébrique s’il est racine d’un polynôme unitaire à coefficients entiers.
a) Soient α ∈ C et β ∈ C deux entiers algébriques. Montrer que α + β et αβ sont aussi des entiers
algébriques. (indice : utiliser les polynômes symétriques ou les résultants).
- Solution 1 : Soit P (X) le polynôme minimal de α et Q(X) celui de β. Soient α1 , ..., αm les
racines de P , et β1 , ..., βm les racines de Q. Soient σ1 , ..., σm les polynômes symétriques élémentaires
en α1 , ..., αm et τ1 , ..., τn les polynômes symétriques élémentaires en β1 , ..., βn . Supposons que ρ
est un polynôme symétrique en αi + βj , i = 1, ..., m, j = 1, ..., n, à coefficients entiers. Alors
1
il est symétrique en α1 , ..., αm , d’où, par le théorème fondamental des polynômes symétriques,
ρ ∈ Z[β1 , ..., βn ][σ1 , ..., σm ], symétrique en β1 , ..., βn . Alors, encore par le théorème fondamental des
polynômes symétriques, ρ ∈ Z[σ1 , ..., σm ][τ1 , ..., τn ]. Si on applique ce raisonement aux polynômes
symétriques élémentaire en αi + βj on obtient le résultat pour α + β. On procède de même manière
pour αβ.
- Solution 2 : resY (P (X), Q(Y − X)) ∈ Z[Y ] a comme racines αi + βj , i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. Il
faut pourtant montrer qu’il est unitaire (on le voit de la forme de la matrice de Sylvester).
Y
De même resX (P (X), X d Q( X
)) ∈ Z[Y ], d = deg P , qui a comme racines αi · βj , i = 1, ..., m,
j = 1, ..., n, est unitaire.
- Solution 3 : On peut utiliser les Z-modules de type fini, voir [Samuel, Section 2.1].
b) Soit d > 1 un entier sans
√ facteur carré.
(1) Montrer√que (1 + d)/2 est un entier algébrique ssi d ≡ 1 (mod 4).
Si (1 + d)/2 est un entier algébrique alors son polynôme minimal (unitaire) dans Z[X] doit
être irréductible √
dans Q[X]. (voir le théorème
précedent). Le polynôme
√ cité dans l’exercice
√
minimal de (1 + d)/2 sur Q est (X − (1 + d)/2)(X − (1 − d)/2) = X 2 − X + (1 − d)/4.
Il est à coefficients entiers ssi d ≡ 1 (mod 4).
√
d). Montrer que
(2) Soit A l’anneau
des
entiers
algébriques
de
Q(
√
(i) A = Z[ d] si d ≡ 2, 3 (mod 4)
√
(ii) A = Z[(1 + d)/2] si d ≡ 1 (mod 4)
√
Si b 6= 0 alors le polynôme minimal (unitaire) de a + b d sur Q est X 2 − 2aX + (a2 − db2 ). Il est à
coefficients entiers ssi 2a ∈ Z, (a2 − db2 ) ∈ Z.
Première observation : (a2 − db2 ) ∈ Z implique l’équivalence a ∈ Z ⇐⇒ b ∈ Z (d est sans facteur
carré)
Deuxième observation√: 2b ∈ Z.√
Conclusion
: Si a + b d ∈
/ Z[ d] est un entier algébrique alors a − 1/2 ∈ Z et b − 1/2 ∈ Z et
√
1 + d)/2 est un entier algébrique.
√
√
(i) Soit d ≡ 2, 3 (mod 4). Clairement A ⊃ Z[ d] ( d est racine de X 2 − d). Par Conclusion on a
l’inclusion inverse.
√
(ii) Soit d ≡ 1 (mod 4). Par (1), A ⊃ Z[(1 + d)/2]. Par Conclusion on a l’inclusion inverse.
Exercice 4.(La fonction scalaire de Leibniz)
Considérons de points pondérés (A1 , α1 ), ..., (Ak , αk ) d’un espace affine euclidien E. Soit F : E → R une
fonction définie par
k
X
F (M ) =
αi (dist(M, Ai ))2
i=1
a) On suppose que la somme
que pour tout M ∈ E,
P
i αi n’est pas nulle. Soit G le barycentre du système {(Ai , αi )}. Montrer
F (M ) = F (G) + (
X
αi )(dist(M, G))2
i
Rappelons que le barycentre G est caractérisé par l’identité
F (M ) =
k
X
Pk
−−→
i=1 αi GAi
= ~0. Alors
−−→ −−→ −−→ −−→
αi < M G + GAi , M G + GAi >
i=1
k
k
X
X
−−→ −−→
−−→ X −−→
−−→ −−→
=(
αi ) < M G, M G > +2 < M G,
αi GAi > +
αi < GAi , GAi >
i
i=1
X
=(
αi )(dist(M, G))2 + F(G).
i
2
i=1
P
b) Que peut-on dire si i αi est nulle ?
P
−−−→
Rappelons que dans ce cas le vecteur ~v = ki=1 αi M Ai ne dépend pas de M . On fixe un point
O ∈ E. Alors
F (M ) =
k
X
−−→ −−→ −−→ −−→
αi < M O + OAi , M O + OAi >
i=1
k
k
X
X
−−→ −−→
−−→ X −−→
−−→ −−→
=(
αi ) < M O, M O > +2 < M O,
αi OAi > +
αi < OAi , OAi >
i
i=1
−−→
= 2 < M O, ~v > +F (O).
i=1
c) On se donne un nombre réel t. Détérminer, selons les valeurs de t,
- l’ensemble des points M ∈ E vérifiants l’équation (dist(M, A))2 + (dist(M, B))2 = t.
Soit G l’orthocentre de A, B. Alors
(dist(M, A))2 + (dist(M, B))2 = 2(dist(M, G))2 + 1/2(dist(B, A))2 = t.
Soit r = t − 1/2(dist(B, A))2 . Alors cet ensemble est vide si r < 0, est égale à {G} si r = 0 et est
une sphère centrée en G si r > 0.
- l’ensemble des points M ∈ E vérifiants l’équation (dist(M, A))2 − (dist(M, B))2 = t.
−−→
On choisit O = B et calcule ~v = BA. Alors
−−→
(dist(M, A))2 − (dist(M, B))2 = 2 < M B, ṽ > +(dist(B, A))2 = t
décrit un hyperplan affine orthogonal au vecteur ~v (si B 6= A).
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