Corrigé

UNIVERSIT´ E DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2014/2015
Facult´e des Sciences Pr´eparation `a l’agr´egation
D´epartement de Math´ematiques UE 7. Examen. Dur´ee 2 h.
Corrig´e.
Exercice 1. On pose A=Z[√2] = {a+b√2; a, b ∈Z}.
a) Montrer que Aest un sous-anneau de Risomorphe `a Z[X]/(X2−2).
Consid´erons l’homomorphisme d’anneaux ϕ:Z[X]→R,ϕ(P) = P(√2). Le noyau de ϕest ´egal `a
l’id´eal X2−2 (pour le montrer on peut utiliser la division euclidienne par X2−2) est l’image de
ϕest A. Nous concluons alors par le th´eor`eme d’isomorphisme.
b) Soit Nune application de Z(√2) dans Rqui `a z=a+b√2 associe N(z) = |a2−2b2|. Montrer que
pour tous zet z0de Aon a : N(zz0) = N(z)N(z0), N(z)=0⇔z= 0.
Bien entendu on peut le calculer directement. On peut aussi consid´erer l’homorphisme d’anneaux
¯ : A→A, (a+b√2) = a−b√2. Alors N(z) = zz,N(zz0) = zzz0z0=N(z)N(z0) et N(z) = zz =
0⇐⇒ z= 0 ou z= 0 ⇐⇒ z= 0.
c) Montrer que pour tout x∈Aet tout y∈A\ {0}il existe q, r ∈Atels que
x=yq +ravec N(r)< N(y).
(Indice : d´eterminer q∈Atel que N(x/y −q)<1.)
Notons que le point pr´ec´edent est ´egalement valable pour Q(√2). Soit x/y =α+β√2∈Q(√2). Il
existe a, b ∈Ztels que |a−α| ≤ 1/2, |b−β| ≤ 1/2. On choisit q=a+b√2. Alors N(x/y −q)≤
|1/4−1/2| ≤ 1/2<1 et pour r=x=yq,N(r)<1
d) L’anneau A, est-il euclidien ?, principal ?, factoriel ?
Aest euclidien par le point pr´ecedent, et donc principal et factoriel.
Exercice 2. Soit A=Z[√−3] ⊂Cet Kson corps de fractions. Montrer que x2−x+ 1 est irr´eductible
dans A[x] sans pour autant ˆetre irr´eductible dans K[X].
En d´eduire que An’est pas factoriel (citer pr´ecis´ement les r´esultats utilis´es).
Les racines de P(x) = x2−x+1 sont x1=1+i√3
2,x21−i√3 2. Le polynˆome P(x) = x2−x+1 est unitaire et
n’a pas de racines dans A. Alors il est irr´eductible dans A. (Attention : Il existe dans A[X] de polynˆomes
r´eductibles de degr´e deux et sans racines dans A, par exemple 5(x2−x+ 1).)
Pest r´eductible dans K[X] : P(x) = (x−x1)(x−x2).
An’est pas factoriel. Sinon Psoit un contreexemple au th´eor`eme suivant :
Theor`eme : Soit Aun anneau factoriel de corps des fractions K. Alors les irr´eductibles de A[X]sont de
deux types :
i) Les polyno ˆmes P=pconstants avec pirr´eductible dans A.
ii) Les polyno ˆmes primitifs de degr´e ≥1qui sont irr´eductibles dans K[X].
Exercice 3. (Entiers alg´ebriques de C.)
On dit que α∈Cest un entier alg´ebrique s’il est racine d’un polynˆome unitaire `a coefficients entiers.
a) Soient α∈Cet β∈Cdeux entiers alg´ebriques. Montrer que α+βet αβ sont aussi des entiers
alg´ebriques. (indice : utiliser les polynˆomes sym´etriques ou les r´esultants).
- Solution 1 : Soit P(X) le polynˆome minimal de αet Q(X) celui de β. Soient α1, ..., αmles
racines de P, et β1, ..., βmles racines de Q. Soient σ1, ..., σmles polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires
en α1, ..., αmet τ1, ..., τnles polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires en β1, ..., βn. Supposons que ρ
est un polynˆome sym´etrique en αi+βj,i= 1, ..., m,j= 1, ..., n, `a coefficients entiers. Alors
1

il est sym´etrique en α1, ..., αm, d’o`u, par le th´eor`eme fondamental des polynˆomes sym´etriques,
ρ∈Z[β1, ..., βn][σ1, ..., σm], sym´etrique en β1, ..., βn. Alors, encore par le th´eor`eme fondamental des
polynˆomes sym´etriques, ρ∈Z[σ1, ..., σm][τ1, ..., τn]. Si on applique ce raisonement aux polynˆomes
sym´etriques ´el´ementaire en αi+βjon obtient le r´esultat pour α+β. On proc`ede de mˆeme mani`ere
pour αβ.
- Solution 2 : resY(P(X), Q(Y−X)) ∈Z[Y] a comme racines αi+βj,i= 1, ..., m,j= 1, ..., n. Il
faut pourtant montrer qu’il est unitaire (on le voit de la forme de la matrice de Sylvester).
De mˆeme resX(P(X), XdQ(Y
X)) ∈Z[Y], d= deg P, qui a comme racines αi·βj,i= 1, ..., m,
j= 1, ..., n, est unitaire.
- Solution 3 : On peut utiliser les Z-modules de type fini, voir [Samuel, Section 2.1].
b) Soit d > 1 un entier sans facteur carr´e.
(1) Montrer que (1 + √d)/2 est un entier alg´ebrique ssi d≡1 (mod 4).
Si (1 + √d)/2 est un entier alg´ebrique alors son polynˆome minimal (unitaire) dans Z[X] doit
ˆetre irr´eductible dans Q[X]. (voir le th´eor`eme cit´e dans l’exercice pr´ecedent). Le polynˆome
minimal de (1 + √d)/2 sur Qest (X−(1 + √d)/2)(X−(1 −√d)/2) = X2−X+ (1 −d)/4.
Il est `a coefficients entiers ssi d≡1 (mod 4).
(2) Soit Al’anneau des entiers alg´ebriques de Q(√d). Montrer que
(i) A=Z[√d] si d≡2,3 (mod 4)
(ii) A=Z[(1 + √d)/2] si d≡1 (mod 4)
Si b6= 0 alors le polynˆome minimal (unitaire) de a+b√dsur Qest X2−2aX + (a2−db2). Il est `a
coefficients entiers ssi 2a∈Z, (a2−db2)∈Z.
Premi`ere observation : (a2−db2)∈Zimplique l’´equivalence a∈Z⇐⇒ b∈Z(dest sans facteur
carr´e)
Deuxi`eme observation : 2b∈Z.
Conclusion : Si a+b√d /∈Z[√d] est un entier alg´ebrique alors a−1/2∈Zet b−1/2∈Zet
1 + √d)/2 est un entier alg´ebrique.
(i) Soit d≡2,3 (mod 4). Clairement A⊃Z[√d] (√dest racine de X2−d). Par Conclusion on a
l’inclusion inverse.
(ii) Soit d≡1 (mod 4). Par (1), A⊃Z[(1 + √d)/2]. Par Conclusion on a l’inclusion inverse.
Exercice 4.(La fonction scalaire de Leibniz)
Consid´erons de points pond´er´es (A1, α1), ..., (Ak, αk) d’un espace affine euclidien E. Soit F:E → Rune
fonction d´efinie par
F(M) =
k
X
i=1
αi(dist(M,Ai))2
a) On suppose que la somme Piαin’est pas nulle. Soit Gle barycentre du syst`eme {(Ai, αi)}. Montrer
que pour tout M∈ E,
F(M) = F(G)+(X
i
αi)(dist(M,G))2
Rappelons que le barycentre Gest caract´eris´e par l’identit´e Pk
i=1 αi−−→
GAi=~ 0. Alors
F(M) =
k
X
i=1
αi<−−→ MG +−−→ GAi,−−→ MG +−−→ GAi>
= (X
i
αi)<−−→ MG, −−→ MG > +2 <−−→ MG,
k
X
i=1
αi−−→ GAi>+
k
X
i=1
αi<−−→ GAi,−−→ GAi>
= (X
i
αi)(dist(M,G))2+ F(G).
2

b) Que peut-on dire si Piαiest nulle ?
Rappelons que dans ce cas le vecteur ~v =Pk
i=1 αi−−−→
MAine d´epend pas de M. On fixe un point
O∈ E. Alors
F(M) =
k
X
i=1
αi<−−→ MO +−−→ OAi,−−→ MO +−−→ OAi>
= (X
i
αi)<−−→ MO, −−→ MO > +2 <−−→ MO,
k
X
i=1
αi−−→ OAi>+
k
X
i=1
αi<−−→ OAi,−−→ OAi>
= 2 <−−→ M O, ~v > +F(O).
c) On se donne un nombre r´eel t. D´et´erminer, selons les valeurs de t,
- l’ensemble des points M∈ E v´erifiants l’´equation (dist(M,A))2+ (dist(M,B))2= t.
Soit Gl’orthocentre de A, B. Alors
(dist(M,A))2+ (dist(M,B))2= 2(dist(M,G))2+ 1/2(dist(B,A))2= t.
Soit r=t−1/2(dist(B,A))2. Alors cet ensemble est vide si r < 0, est ´egale `a {G}si r= 0 et est
une sph`ere centr´ee en Gsi r > 0.
- l’ensemble des points M∈ E v´erifiants l’´equation (dist(M,A))2−(dist(M,B))2= t.
On choisit O=Bet calcule ~v =−−→ BA. Alors
(dist(M,A))2−(dist(M,B))2= 2 <−−→ MB, ˜v >+(dist(B,A))2= t
d´ecrit un hyperplan affine orthogonal au vecteur ~v (si B6=A).
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