Hilali conjecture

M.I Mamouni.
m[email protected]
Professeur agr´eg´e
Classes pr´epas Med V, Casablanca.
La conjecture (H) :
.
R´esultats utiles.
Encadr´e par : M.R. Hilali
Facult´e des sciences Ain Chock
Univ´ersit´e Hassan II
Casablanca
.
La conjecture (H) : R´ esultats utiles.
1 Pr´esentation du probl`eme.
Si Xest un CW-complexe fini, 1-connexe et elliptique, on se
propose de d´emontrer le r´esultat suivant :
dim H∗(X, Q)≥dim π∗(X)⊗Qla conjecture (H)
En utilisant les mod`eles de Sullivan, la conjecture peut ˆetre
formul´ee alg´ebriquement de la fa¸con suivante : Si ∧Vest une
alg`ebre diff´erentielle gradu´ee commutative (adgc) libre telle que
dim H∗(∧V, Q)<∞et dim V < ∞, alors :
dim H∗(∧V, Q)≥dim V
On pr´esentera dans la suite quelques r´esultats d’homotopie ration-
nelle qu’on utilisera pour r´epondre `a la conjecture (H)
2 R´esultats utiles.
–χc≥0o`u χc=X
k≥0
(−1)kdim Hk(X, Q)dans le cas g´en´eral, qui
devient dans le cas particulier d’un espace elliptique
χc= dim Hpair(X, Q)−dim Himpair(X, Q)
–χc= 0 =⇒dim Hpair(X, Q) = dim Himpair(X, Q)
=⇒dim H∗(X, Q) = 2 dim Hpair(X, Q) = 2 dim Himpair(X, Q)
–πk(X)⊗Q∼
=Vk.
–χπ≤0o`u χπ=X
k≥0
(−1)kπk(X)⊗Qdans le cas g´en´eral, qui devient
dans le cas particulier d’un espace elliptique
χπ= dim Vpair −dim Vimpair
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Univ´ersit´e Hassan II
Casablanca
–dim Vpair ≤dim Vimpair.
–χc>0⇐⇒ χπ= 0
⇐⇒ Himpair(X, Q) = 0
⇐⇒ H∗(X, Q) = Hpair(X, Q)
⇐⇒ H∗(X, Q) = H∗(∧V, dσ)
|{z }
mod`ele pur
=H0(∧V, d) = ∧Vpair/V pairdV
–χc6= 0 =⇒Xpur, la conjecture (H) ´etant r´esolue dans ce cas
on s’int´eressera au cas o`u χc= 0, donc χπ6= 0 en particulier
dim H∗(X, Q) = 2 dim Hpair(X, Q)et dim Vpair <dim Vimpair.
–χπ= 0 =⇒dim H+(X, Q)≥2dim Vpair .
– Soit {x1,...,xn}base de Vpair et {y1,...,yn+p}base de Vimpair qu’on
peut choisir telles que 2|xi| − 1≤ |yi|, on a les relations suivantes :
n
X
i=1
|xi| ≤ fd(X)
n+p
X
i=1
|yi| ≤ 2fd(X)−1
n+p
X
i=1
|yi| −
n
X
i=1
|xi|=fd(X)−n
O`u fd(X) = max{k∈Ntel que Hk(X, Q)6= 0}appel´ee dimension
formelle de X.
–fd(X) = dim Vpair −X
k≥0
(−1)kkdim Vk.
– Avec ses notations on a : −χπ=p.
–dim V≤fd(X).
–πk(X)⊗Q∼
=Vk= 0,∀k≥2fd(X).
–χπ≤ −rk0(X), autrement dit rk0(x) = p−iavec i∈N.
O`u rk0(X) = max{n∈Ntel que Tn= (S1)nagit presque librement sur X},
c’est `a dire en tout point x∈X, le groupe d’isotropie
Gx={g∈Tntel que g.x =x}est fini.
–χπ= 0 =⇒rk0(X) = 0.
–χπ=−rk0(X) =⇒Xpur.
–rk0(X)≤fd(X).
–dim H∗(X, Q)≥2rk0(X)si rk0(X)≥1
2(rk0(X) + 1) si rk0(X)≥3
–χπ≤ρ0(X) = inf{α∈Rtel que lim
t−→0(1 −t)αPX(t)
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o`u PX(t) = X
k≥0
dim Hk(∧V, d)s´erie formelle de Poincar´e de X.
–PX(t) =
n+p
Y
i=1
1−t|yi|+1
n
Y
i=1
1−t|xi|
, en particulier χπ= 0 =⇒χc=
n
Y
i=1
|yi|+ 1
|xi|.
3 Espaces de Kahler.
Ce sont des espaces v´erifiant les prori´et´es particuli`eres suivantes :
–fd(X) = 2m.
–∃w∈H2(X, Q)tel que wm6= 0.
– Le cup-produit wj:Hm−j(X, Q)−→ Hm+j(X, Q)est un
isomorphisme pour tout 0≤j≤m.
Sous ces conditions on a encore les r´esultats suivants :
–Xest formel, (i.e : ∧Vest quasi-isomorphe `a (H∗(X, Q),0)).
–dim H∗(X, Q)≥2rk0(X).
–dim H1(X, Q)≥2rk0(X).
–Les nombres de Betti, bi= dim Hi(X, Q)v´erifient les relations
suivantes : b2i6= 0
b2i−1pair
bi−bi−2≥0,∀2≤i≤m
Fin.
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