Hilali conjecture

M.I Mamouni.
La conjecture (H) :
Encadré par : M.R. Hilali
[email protected]
.
Faculté des sciences Ain Chock
Professeur agrégé
Résultats utiles.
Univérsité Hassan II
.
Classes
prépas Med V, Casablanca.
Casablanca
La conjecture (H) : Résultats utiles.
1
Présentation du problème.
Si X est un CW-complexe fini, 1-connexe et elliptique, on se
propose de démontrer le résultat suivant :
dim H ∗ (X, Q) ≥ dim π∗ (X) ⊗ Q
la conjecture (H)
En utilisant les modèles de Sullivan, la conjecture peut être
formulée algébriquement de la façon suivante : Si ∧V est une
algèbre différentielle graduée commutative (adgc) libre telle que
dim H ∗ (∧V, Q) < ∞ et dim V < ∞, alors :
dim H ∗ (∧V, Q) ≥ dim V
On présentera dans la suite quelques résultats d’homotopie rationnelle qu’on utilisera pour répondre à la conjecture (H)
2
Résultats utiles.
– χc ≥ 0 où χc =
X
(−1)k dim H k (X, Q) dans le cas général, qui
k≥0
devient dans le cas particulier d’un espace elliptique
χc = dim H pair (X, Q) − dim H impair (X, Q)
– χc = 0 =⇒ dim H pair (X, Q) = dim H impair(X, Q)
=⇒ dim H ∗ (X, Q) = 2 dim H pair (X, Q) = 2 dim H impair (X, Q)
– πk (X) ⊗ Q ∼
= V k .X
– χπ ≤ 0 où χπ =
(−1)k πk (X) ⊗ Q dans le cas général, qui devient
k≥0
dans le cas particulier d’un espace elliptique
χπ = dim V pair − dim V impair
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M.I Mamouni.
La conjecture (H) :
Encadré par : M.R. Hilali
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Faculté des sciences Ain Chock
Professeur agrégé
Résultats utiles.
Univérsité Hassan II
Classes prépas Med V, Casablanca.
Casablanca
– dim V pair ≤ dim V impair.
– χc > 0 ⇐⇒ χπ = 0
⇐⇒ H impair (X, Q) = 0
⇐⇒ H ∗ (X, Q) = H pair (X, Q)
⇐⇒ H ∗ (X, Q) = H ∗ (∧V, dσ ) = H0 (∧V, d) = ∧V pair /V pair dV
| {z }
modèle pur
– χc 6= 0 =⇒ X pur, la conjecture (H) étant résolue dans ce cas
on s’intéressera au cas où χc = 0, donc χπ 6= 0 en particulier
dim H ∗ (X, Q) = 2 dim H pair (X, Q) et dim V pair < dim V impair.
pair
– χπ = 0 =⇒ dim H + (X, Q) ≥ 2dim V .
– Soit {x1, . . . , xn} base de V pair et {y1 , . . . , yn+p} base de V impair qu’on
peut choisir telles que 2|xi| − 1 ≤ |yi |, on a les relations suivantes :
n
X
|xi| ≤ f d(X)
i=1
n+p
X
|yi | ≤ 2f d(X) − 1
i=1
n+p
X
i=1
|yi | −
n
X
|xi| = f d(X) − n
i=1
Où f d(X) = max{k ∈ N tel que H k (X, Q) 6= 0} appelée dimension
formelle de X.
X
– f d(X) = dim V pair −
(−1)k k dim V k .
k≥0
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Avec ses notations on a : −χπ = p.
dim V ≤ f d(X).
πk (X) ⊗ Q ∼
= V k = 0, ∀k ≥ 2f d(X).
χπ ≤ −rk0 (X), autrement dit rk0 (x) = p − i avec i ∈ N.
Où rk0(X) = max{n ∈ N tel que Tn = (S1 )n agit presque librement sur X},
c’est à dire en tout point x ∈ X, le groupe d’isotropie
Gx = {g ∈ Tn tel que g.x = x} est fini.
χπ = 0 =⇒ rk0 (X) = 0.
χπ = −rk0 (X) =⇒ X pur.
rk0 (X) ≤ f d(X).
dim H ∗ (X, Q) ≥ 2rk0(X)
si rk0 (X) ≥ 1
2(rk0(X) + 1) si rk0 (X) ≥ 3
χπ ≤ ρ0 (X) = inf{α ∈ R tel que lim (1 − t)α PX (t)
t−→0
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où PX (t) =
X
dim H k (∧V, d) série formelle de Poincaré de X.
k≥0
n+p
Y
– PX (t) =
1 − t|yi |+1
i=1
n
Y
, en particulier χπ = 0 =⇒ χc =
1 − t|xi |
n
Y
|yi | + 1
i=1
|xi|
.
i=1
3
Espaces de Kahler.
Ce sont des espaces vérifiant les proriétés particulières suivantes :
– f d(X) = 2m.
– ∃w ∈ H 2(X, Q) tel que w m 6= 0.
– Le cup-produit w j : H m−j (X, Q) −→ H m+j (X, Q) est un
isomorphisme pour tout 0 ≤ j ≤ m.
Sous ces conditions on a encore les résultats suivants :
– X est formel, (i.e : ∧V est quasi-isomorphe à (H ∗ (X, Q), 0)).
– dim H ∗ (X, Q) ≥ 2rk0 (X) .
– dim H 1 (X, Q) ≥ 2rk0(X).
– Les nombres de Betti, bi = dim H i (X, Q) vérifient les relations
suivantes :
b2i 6= 0
b2i−1 pair
bi − bi−2 ≥ 0, ∀ 2 ≤ i ≤ m
Fin.
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