Une interprétation cohomologique de la condition de

Une interpr´etation cohomologique de la
condition de Radon-Cavalieri
Andrea D’Agnolo
R´esum´e : Dans cette Note, nous appliquons les m´ethodes des transformations
int´egrales pour les faisceaux et les D-modules `a l’´etude de la transform´ee de Radon
affine r´eelle. Classiquement, on obtient la “condition de Cavalieri” en utilisant la
formule d’inversion pour la transform´ee de Fourier. Notre approche est diff´erente,
et montre comment cette condition, li´ee `a la transform´ee de Radon projective
complexe, est de nature g´eom´etrique (ou cohomologique).
A cohomological interpretation of Radon-Cavalieri condition
Abstract: In this note, we apply the methods of integral transforms for sheaves
and D-modules to the study of the real affine Radon transform. Classically, “Cav-
alieri condition” is obtained using the inversion formula for the Fourier transform.
Our approach is different, and shows how this condition, related to the complex
projective Radon transform, is of a geometrical (or cohomological) nature.
1991 AMS Mathematics Subject Classification: 44A12, 32L25, 35C15
Abridged English Version
Let Pbe a complex n-dimensional projective space, P∗the dual projective
space, and denote by [z], [ζ] dual systems of homogeneous coordinates. As-
sume n > 2 for simplicity. Let A⊂P×P∗be the incidence relation defined
by the equation hz, ζi= 0. Let L=C(P×P∗)\Abe the sheaf on P×P∗which
is constant with fiber Con (P×P∗)\Aand zero elsewhere. Denote by
Db
R−c(CP) the (bounded) derived category of sheaves of C-vector spaces on
Pwith R-constructible cohomology groups. For F∈Db
R−c(CP), set
F◦L=Rq2!(q−1
1F⊗L),
where X←−
q1
X×Y−→
q2
Yare the natural projections, and Rq2!,q−1
1denote
the operations of proper direct image and inverse image for sheaves. For
Appeared in: C. R. Acad. Sci. Paris S´er. I Math. 324 (1997), no. 1, 19–24.
1

k∈Z, set k∗=−n−1−k, and denote by OP(k) the −k-th tensor power of
the tautological line bundle on P. By [3, Corollary 4.5], for −n−1<k<0
there is a natural isomorphism:
RΓ(P;Fw ⊗ OP(k)) ∼ −→ RΓ(P∗; (F◦L)w ⊗ OP∗(k∗))[n],(1)
where w ⊗denotes the functor of formal cohomology introduced in [10].
Let Pand P∗be real n-dimensional projective spaces of which Pand
P∗are linear complexifications. There are essentially two locally constant
sheaves of rank one on P, here denoted by CP(ε) for ε∈Z/2Z(with CP(0)
being the constant sheaf). For k∈Z, the complex CP(ε)w ⊗OP(k) is identified
to C∞
P(ε|k). This is the C∞-line bundle on Pwhose sections, written in
homogeneous coordinates, satisfy the relation:
f(λx) = (sgn λ)ελkf(x)∀λ∈R\ {0}.
As it is well-known (cf e.g., [4, page 73]) the real projective Radon transform
R(ε|k)
Pof Definition 1.1 is an isomorphism for −n−1<k<0. In [3], we
recovered this result as a corollary of formula (1) for F=CP(ε), by checking
that CP(ε)◦Lis isomorphic to CP∗(ε∗)[−n], up to constant sheaves on P∗.
Let E=P\Hbe an affine chart. The Schwartz space S(E) of rapidly
decreasing C∞-functions is naturally identified to Γ(P;CE
w
⊗ OP(k)). Denote
by ξ◦∈P∗the point corresponding to H⊂P. For −n−1<k<0 and
ε∗≡1, the image of S(E) by R(ε|k)
Pis the set of sections of C∞
P∗(ε∗|k∗), which
are flat at ξ◦, and which satisfy the Cavalieri condition: for any non-negative
integer mand for any ξ0, the integral:
c(0|m)
ξ◦ϕ(ξ0) = Z+∞
−∞
ϕ(sξ◦+ξ0)smds
is a homogeneous polynomial of degree m+k∗+ 1 in ξ0.
Classically (cf e.g., [4, page 86]), the proof of this statement makes use
of the inversion formula for the Fourier transform. Here, we recover this
result, in a projectively invariant manner, as a corollary of formula (1) for
F=CE. More precisely, the embedding H →Pinduces by duality a
projection P∗\{ξ◦} −→ H∗, where H∗is an (n−1)-dimensional real projective
space. Denote by q:P∗\ {ξ◦} −→ H∗a complexification of this projection,
and set Q∗=q−1(H∗). An explicit computation shows that, modulo constant
sheaves on P∗, there is a distinguished triangle:
CE◦L−→ CP∗\{ξ◦}(1)[−n]−→ CQ∗[1 −n]−→
+1 .
2

Using this distinguished triangle to compute the r.h.s. of (1), we see in par-
ticular how Cavalieri condition is of a geometrical nature, the integrals being
taken along lines whose complexifications are the fibers of q. By the Legen-
dre contact transformation, these lines correspond to the complex conormal
directions to Hin P.
1´ Enonc´e des r´esultats
Soit Pun espace projectif r´eel de dimension n,P∗l’espace projectif dual,
et [x] = [x0,...,xn], [ξ] des syst`emes de coordonn´ees homog`enes duaux sur
Pet P∗respectivement. Pour k∈Z,ε∈Z/2Z, notons C∞
P(ε|k) le fibr´e en
droites de classe C∞dont les sections satisfont la relation :
f(λx) = (sgn λ)ελkf(x)∀λ∈R\ {0}.(2)
Consid´erons la distribution sur R:
δ(ε|k)(t) = 1
2πi
dk
dtk1 t−i0−(−1)ε t+i0.
D´efinition 1.1. Pour k∗=−n−1−k,ε∗≡ −n−1−ε, on consid`ere la
transformation int´egrale :
R(ε|k)
P: Γ(P;C∞
P(ε|k)) −→ Γ(P∗;C∞
P∗(ε∗|k∗))
f(x)7→ Zf(x)δ(n+ε|n+k)(hx, ξi)ω(x),
o`u ω(x) = Pn
j=0(−1)jxjdx0∧· · ·∧ c
dxj∧· · ·∧dxnd´esigne la n-forme de Leray.
Le r´esultat suivant est bien connu (cf e.g., [4, page 73]) :
Th´eor`eme 1.2. Pour −n−1<k<0,R(ε|k)
Pest un isomorphisme, l’inverse
´etant donn´ee par R(ε∗|k∗)
P∗.
Remarquons que R(−n|−n)
Pco¨ıncide avec la transform´ee de Radon projec-
tive. Pour U⊂Pouvert sous-analytique, on note par Γw(U;C∞
P(ε|k)) le
sous-espace de Γ(P;C∞
P(ε|k)) des fonctions nulles `a l’ordre infini dans P\U.
L’espace de Schwartz S(E) des fonctions rapidement d´ecroissantes dans une
carte affine E⊂P, s’identifie `a Γw(E;C∞
P(ε|k)). Il est donc naturel de d´ecrire
l’image par R(ε|k)
Pde Γw(E;C∞
P(ε|k)).
3

Th´eor`eme 1.3. Soit H=P\El’hyperplan `a l’infini de E, notons ξ◦∈P∗
le point correspondant, et identifions l’espace tangent projectif `a P∗en ξ◦`a
un hyperplan H∗⊂P∗, avec ξ◦/∈H∗. Soit ϕ∈Γ(P∗;C∞
P∗(ε∗|k∗)). Supposons
−n−1< k < 0. Alors il existe f∈Γw(E;C∞
P(ε|k)) telle que ϕ=R(ε|k)
Pfsi
et seulement si :
(i) (le cas ε∗≡0) pour tout entier non n´egatif met pour tout ξ0∈H∗les
diff´erentielles non-locales de ϕen ξ◦au sens de [5] :
d(1|k∗+m+1)
ξ◦ϕ(ξ0) = Z+∞
−∞
ϕ(ξ◦+tξ0)δ(1|k∗+m+1)(t)dt (3)
s’annulent.
(ii) (le cas ε∗≡1)ϕappartient `a Γw(P∗\ {ξ◦};C∞
P∗(1|k∗)), et satisfait la
“condition de Cavalieri” : pour tout entier non n´egatif met pour tout
ξ0∈H∗, l’int´egrale :
c(0|m)
ξ◦ϕ(ξ0) = Z+∞
−∞
ϕ(sξ◦+ξ0)smds (4)
est un polynˆome homog`ene de degr´e m+k∗+ 1 en ξ0.
La partie (ii) de l’´enonc´e a ´et´e d´emontr´e e.g. dans [4, page 86] pour
k=−n. La partie (i) pourrait aussi ˆetre d´emontr´ee par la mˆeme m´ethode,
qui consiste `a utiliser la formule d’inversion pour la transform´ee de Fourier.
Ici notre approche est diff´erente, et utilise la th´eorie des transformations
int´egrales pour les faisceaux et les D-modules de [2], [3], [10] (cf aussi [6]
pour une approche voisine). En particulier, on verra que les conditions (3),
(4) sont de nature g´eom´etrique (ou cohomologique), li´ee `a la transform´ee de
Radon projective complexe.
2 Transformations int´egrales pour les faisceaux
et les D-modules
Soit Xune vari´et´e analytique complexe, OXson faisceau structural, ΩX
le faisceau des formes de degr´e maximal, et DXle faisceau d’anneaux des
op´erateurs diff´erentiels lin´eaires `a coefficients holomorphes. Si A⊂Xest
un sous-ensemble localement ferm´e, on note CAle faisceau sur X, constant
de fibre Csur Aet z´ero ailleurs. On note par Db(CX) (resp., Db(DX)) la
cat´egorie d´eriv´ee de la cat´egories des complexes born´es de faisceaux de C-
vectoriels (resp., de DX-modules) sur X. Soit Yune autre vari´et´e analytique
4

complexe. Pour G∈Db(CY), M ∈ Db(DX), L∈Db(CX×Y), et L ∈
Db(DX×Y), on pose :
(L◦G=Rq1!(L⊗q−1
2G),
M ◦ L =q2!(q1−1M ⊗L
OX×YL),(5)
o`u X←−
q1
X×Y−→
q2
Yd´esignent les projections naturelles, et Rq1!,q−1
2(resp.,
q2!,q1−1) d´esignent les op´erations d’image directe propre et d’image inverse
pour les faisceaux (resp., pour les D-modules). On d´efinit de la mˆeme fa¸con
F◦Lpour F∈Db(CX).
On note Db
R−c(CX) la sous-cat´egorie triangul´ee pleine de Db(CX) dont
les objets sont `a cohomologie R-constructible. On dit qu’un DX-module
Mest quasi-good si, pour tout sous-ensemble relativement compact de X, il
admet une filtration {Mk}par des DX-sous-modules coh´erents, telle que tout
quotient Mk/Mk−1admette une bonne filtration, et Mk= 0 pour k0.
On note Db
q−good(DX) la sous-cat´egorie triangul´ee pleine de Db(DX) dont les
objets sont `a cohomologie quasi-good. Pour F∈Db
R−c(CX), les complexes
Fw ⊗OXet THom (F, OX) de cohomologie formelle et temp´er´ee ont ´et´e d´efinis
dans [8], [10]. Le th´eor`eme suivant est l’analogue en cohomologie formelle
d’une formule d’adjonction de [2]
Th´eor`eme 2.1. ([10, Theorem 10.8]) Soient G∈Db
R−c(CY)et M ∈ Db
q−good(DX).
Soit L ∈ Db(DX×Y)holonome r´egulier, et posons L=RHom DX×Y(L,OX×Y).
Supposons que :
(supp(M)×Y)∩supp(L)soit propre sur Y,
(X×supp(G)) ∩supp(L)soit propre sur X.
Alors, on a un isomorphisme :
RHomDX(M,(L◦G)w ⊗ OX)[dX]∼ −→ RHomDY(M ◦ L, G w
⊗ OY).(6)
3 Transformation de Radon projective com-
plexe
Soit Pun espace projectif complexe de dimension n,P∗son espace projectif
dual, et [z], [ζ] des syst`emes duaux de coordonn´ees homog`enes. Soit A⊂
P×P∗la vari´et´e d’incidence d´efinie par l’´equation hz, ζi= 0. Posons :
L=C(P×P∗)\A,L=THom (L, OP×P∗).(7)
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