Démonstrations Loi Normale Centrée Réduite

Démonstrations loi normale centrée réduite
Propriétés
1) E(X) = 0
2)       
3)         
Démonstration
Le principe
Pour la 1) , on applique la définition de l’espérance pour une variable aléatoire continue définie sur [a ;b]
Pour les 2) et 3) , on utilise les propriétés de la courbe de Gauss , en particulier sa symétrie par arpport à
l’axe des ordonnées
La démonstration
La propriété 1
La densité de probabilité est définie sur  donc on va faire tendre les bornes a et b vers l’infini et calculer la
limite du résultat
La propriété 2
Par symétrie de la courbe , le domaine sous la courbe à gauche de – a est égal au domaine sous la courbe à
droite de a donc P( X < -a ) = P( X > a )

Démonstrations loi normale centrée réduite
La propriété 3
Là encore , on utilise la courbe
P( - a < X < a ) correspond à l’aire verte . C’est aussi l’aire totale privée des parties bleues
Or l’aire totale , c’est 1
Les parties bleues sont P( X < - a ) et P( X > a )
Ensuite on utilise le 2
On sait que P( X > a ) = 1 – P( X < a ) .
On termine :                 

Démonstrations loi normale centrée réduite
Propriété
Soit X une variable aléatoire suivant (0,1) . Pour tout nombre réel a inclus dans [0 ;1] , il existe un unique
réel positif  tel que :      
Démonstration
Le principe
On utilise la définition puis on assimile l’intégrale à une fonction
On étudie les variations
On applique le CTVI
La démonstration
La définition
La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées donc :          
Par la définition de la probabilité et de l’aire sous la courbe :
On pose :
Etude des variations de H
H est une fonction continue car c’est une primitive de f donc elle est dérivable et continue
H’(x) = f(x) > 0 car f est une fonction exponentielle donc H croissante .
La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et l’aire totale vaut 1 donc P(X >0) = 0,5 ( la
moitié de l’aire totale ) 
Application du CTVI
Soit 0 < a < 1 alors 1 – a  
Par le CTVI , il existe un unique u tel que H(u) = 1 - a
Propriété
Démonstration
Le principe
On applique les premières propriétés
On utilise la calculatrice
La démonstration
Par les premières propriétés :
On utilise la calculatrice , avec la loi inverse normale centrée réduite
On obtient u = 1,96
Idem pour l’autre