Vingt règles algébriques de base à connaître - Démonstations - 2024-10-21

2nde - programme 2019 - 21-10-2024 - Vingt règles algébriques de base à connaître - Démonstrations - 1 / 2
Vingt règles algébriques de base sur les fractions , les puissances , les racines carrées
Démonstrations
I ) Six règles de base sur les fractions :
1) Somme de deux fractions ( de même dénominateur ) : a
b + c b = a + c b admis
2) Produit de deux fractions : a
b  c d = a c b d admis
3) Simplification de fraction : a c
b c = a b
démonstration : a c
a b = a a  c b = 1  c b = c b
4) Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse : a
b = a  1 b
démonstration : a
b = a  1 1  b = a 1  1 b = a  1 b
5) Inverse d’une fraction : 1
a
b
= b
a
démonstration : 1
a
b
= 1  b
a
b  b
= b
a
b  b 1
= b
a  b
b  1
= b
b  a
b  1
= b
a
1
= b
a
6) Réduction de deux fractions au même dénominateur : a
b + c d = a d + c b b d .
démonstration : a
b + c d = a  d b  d + c  b d  b = a  d + c  b b  d = a d + c b b d
II ) Sept règles de base sur les puissances :
1) Puissance d'exposant 0 : x0 = 1 admis
2) Produit de deux puissances ... : xn  xp = xn + p
démonstration : xn  xp = ( x  x  ...  x )  ( x  x  ...  x ) = ( x  x  ...  x ) = xn + p
3) Inverse d'une puissance : 1
xn = x – n
démonstration : 1
xn = 1  x – n xn  x – n = x – n xn + (– n) = x – n xn – n = x – n x0 = x – n
1 = x – n
4) Quotient de deux puissances : xn
xp = x n – p
démonstration : xn
xp = xn  1 xp = xn  x – p = xn + (– p) = xn – p
2 f
2 f
3 f
2 f
3 f
3 f
1 f
p facteurs
n facteurs
n + p facteurs
3 f
2 p
1 p
4 f
3 p
2 p

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5) Puissance d'une puissance : ( ) xn
()
p = x n  p
démonstration : ( ) xn
()
p = xn  xn  ...  xn = x n + n + ... + n = x p  n = x n  p
6) Puissance d'un produit : ( x y )n = xn yn
démonstration : ( x y )n = ( x y )  ( x y )  ...  ( x y ) = ( x  ...  x )  ( y  ...  y ) = xn yn
7) Puissance d'un quotient :  x
y ()
n
= xn
yn
démonstration :  x
y ()
n
= x
y  x y  ...  x y = x  x  ...  x y  y  ....  y = xn
yn
III ) Quatre règles de base sur les racines carrées :
1) Carré d'une racine ( carrée ) : ( ) x 2 = x par définition
en effet, x est le nombre, positif, dont le carré vaut x !
2) Racine ( carrée ) d'un produit : x y = x y
démonstration : Tout d'abord x y est, par définition, un nombre positif et x y
étant le produit de deux nombres positifs est aussi un nombre positif. Reste à montrer
que ces deux nombres sont égaux en montrant qu'ils ont le même carré :
d'une part ( ) x y ()
2 = x y et, d'autre part, ( )
x y ()
2 = ( )
x ()
2( )
y ()
2 = x y
x y et x y étant donc deux nombres positifs ayant le même carré, ils sont égaux.
3) Racine ( carrée ) d'un carré : x2 =  x si x 0
– x si x 0
démonstration : Quel que soit x , x2 = x  x et deux cas se présentent alors :
si x 0 alors x  x = x  x = ( ) x ()
2 = x
si x 0 alors x  x = (– x) ( )  () (– x) = (– x)  (– x) = ( ) (– x) ()
2 = – x
4) Racine ( carrée ) d'un quotient : x
y = x
y
démonstration similaire à la 2).
4) Trois identités remarquables :
(1) (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 ; (2) (a – b)2 = a2 – 2 ab + b2
(3) ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
2 p
p facteurs
p termes
n facteurs
n facteurs
n facteurs
n facteurs
n facteurs
n facteurs
2 f
1 r
6 p
1 r
2 r
1 r
2 r
1 r