Td1 - LMPT

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦1
M1, Algèbre Semestre 2
Exercice 1 (Questions issues du cours) Soit (A, +,·)un anneau et soient I, I1, I2des idéaux de A.
1) Montrer que le centre Z(A)de Aest un sous-anneau de A.
2) Montrer que si Aest abélien alors I1+I2=A=⇒I1I2=I1∩I2.
3) Soit Bun anneau et f:A−→ Bun morphisme d’anneau.
(a) Montrer que ker(f)est idéal de A. On a
(b) Montrer que Im(f)est un sous-anneau de B.
(c) Montrer que A/ ker(f)'Im(f).
4) Soit Iun idéal de Aet soit A/I le groupe quotient de (A, +) par (I, +). On désigne par pla projection
canonique p:A−→ A/I définie par p(x) = x+I.
(a) Montrer que l’opération (x+I)·(y+I) = xy +Isur A/I est bien définie.
(b) Soit fun morphsime d’anneau tel que I⊂ker(f). Montrer que l’application ¯ f:A/I −→ B
définie par ¯ f(¯x) = f(x)est un morphisme d’anneau.
5) Soit fun morphisme d’anneau bijectif. Montrer que f−1est aussi un morphisme d’anneau.
6) Montrer que l’image réciproque d’un idéal premier par un morphisme d’anneau est un idéal premier.
7) Soient I1, . . . , Indes idéaux de Atel que I1+I2+. . . +In=A. Montrer que
∀(ν1, . . . , νn)∈(N∗)n, Iν1
1+Iν2 2+. . . +Iνn
n=A
Exercice 2 Soit Aun anneau, Sun sous-anneau de Aet Iun idéal de A.
1) Montrer que S+I={s+a|s∈S, a ∈A}est un sous-anneau de A.
2) Montrer que Iest un idéal de S+I.
3) Montrer que S∩Iest un idéal de S.
4) Montrer qu’il existe un homomorphisme non-nul Φ : S−→ (S+I)/I.
5) Montrer que (S+I)/I 'S/(S∩I).
Exercice 3 (Caractéristique d’un anneau) Soit Aun anneau unitaire. La caractéristique de Aest
le plus petit entier n > 0tel que
1A+ 1A+· · · + 1A
| {z }
ntermes
= 0.
S’il n’existe pas de tel entier, on dit que Aest de caractéristique 0.
1) Déterminer la caractéristique des anneaux suivants Z,Zn,Q[x],Zn[x],Z2×Z3,Z2×Z,Z2×Z2.
2) Montrer que si Aest de caractéristique n > 0alors
a+a+· · · +a
| {z }
ntermes
= 0 pour tout a∈A.
3) On suppose que Aest de caractéristique n > 0. Soit Bun anneau unitaire et soit ϕ:A→Bun
morphisme d’anneau tel que ϕ(1A) = 1B. Montrer que la caractéristique de Bdivise n.
4) Montrer qu’il n’existe pas de morphisme de Z7[x]dans Z5[x]qui envoie 1sur 1.
Exercice 4 Soit Kun corps fini.
1) Montrer que la caractéristique pde Kest un nombre premier.
2) Soit ψ:Zp−→ Kdéfini par ψ(m) = 1 + 1 + . . . + 1 (mtermes). Montrer que ψest un morphisme
injectif.
3) Expliquer comment Kpeut-être considéré comme un Z/pZ-espace vectoriel.
4) En déduire que Kpossède pnéléments pour n∈N.
Exercice 5
1

1) Soit Aet Bdeux anneaux commutatifs unitaires intègres et soit ϕ:A−→ Bun morphisme d’anneau.
Montrer que ϕ= 0 ou ϕ(1A) = 1B.
2) Trouver tous les morphismes ϕ:Q−→ Q.
Exercice 6 (Corps des quaternions) Soit Hun R-espace vectoriel de dimension 4. On notera 1, i, j, k
une base de Hde telle sorte tout élément de Hs’écrit sous la forme a+bi +cj +dk avec a, b, c, d ∈R. On
définit une multiplication sur Hpar
(a+bi +cj +dk)(a0+b0i+c0j+d0k)=(aa0−bb0−cc0−dd0)+(ab0+ba0+cd0−dc0)i
+ (ac0−bd0+ca0+db0)j+ (ad0+bc0−cb0+da0)k.
Un moyen simple de calculer le produit est de multiplier formellement les expressions et d’utiliser les
relations i2=j2=k2=ijk =−1. On peut alors montrer que Hest un anneau. On définit le conjugué et
le module d’un élément par
z=a−bi −cj −dk and |z|=pa2+b2+c2+d2.
1) Calculer (1 + 4i−2j+k)(3 −i+j−2k).
2) Montrer que pour tout (z, z1, z2)∈Hon a
z1z2=z2z1,|z|2=zz =zz, et |z1z2|=|z1||z2|.
3) Montrer que Hest un anneau non commutatif dans lequel tous les éléments non-nuls sont inversibles.
Exercice 7 Résoudre les systèmes suivants :
x≡1 mod 6
x≡2 mod 7 et 3x≡2 mod 5 5x≡1 mod 6
Exercice 8 (Anneaux noethériens)
1) Soit I1⊂I2⊂I3. . . une suite croissante d’idéaux de Z. Montrer qu’il existe N≥1tel que Im=IN
pour tout m≥N.
2) Soit kun corps et soit A=k[X, Y ]. On pose
B:= {P∈k[X, Y ]|P=X
i>j
aij XiYi}.
(a) Montrer que Best engendré par {X, X2Y, X3Y2, . . .}.
(b) Construire dans Bune suite croissante d’idéaux non stationnaire.
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