Mathématiques discrètes (2)

MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (2)
Michel Rigo
http://www.discmath.ulg.ac.be/
Année 2007–2008

EXTENSION PAR UN ÉLÉMENT ALGÉBRIQUE
HYPOTHÈSE DE TRAVAIL
K,Ldeux champs, Lextension de K.
DÉFINITION
α∈Lest algébrique sur Ksi ∃P∈K[X]t.q. P(α) = 0.
Idéal annulateur
Pα={P∈K[X]|P(α) = 0}
K[X]est principal, il existe un polynôme Mα(monique) t.q.
Pα={P∈K[X]|P(α) = 0}=hMαi.
On appelle Mαle polynôme minimum de α.
Si α′∈L:Mα(α′) = 0, alors α′est un conjugué de αsur K.

EXTENSION PAR UN ÉLÉMENT ALGÉBRIQUE
LEMME
Soit α∈Lun élément algébrique sur Kayant Mαcomme
polynôme minimum.
I)Le polynôme Mαest irréductible sur K.
II)Pour tout P∈K[X],P(α) = 0 SSI Mαdivise P.
III)Mαest l’unique polynôme monique de degré minimum
dans K[X]annulé par α.
IV)Si Pest un polynôme monique irréductible sur Kannulé
par α, alors P=Mα.

EXTENSION PAR UN ÉLÉMENT ALGÉBRIQUE
i) P.A. Si Mα=P.Qavec 0 <degP,degQ<degMα.
Alors, Mα(α) = P(α).Q(α) = 0 et Pou Q∈ Pα.
Donc, Mαdoit diviser Pou Q.Impossible vu les degrés.
ii) Immédiat.
iii) Tout polynôme monique de K[X]annulé par αappartient à
Pαet est donc un multiple de Mα. Par conséquent, il est soit
égal à Mαsoit de degré strictement supérieur.

EXTENSION PAR UN ÉLÉMENT ALGÉBRIQUE
iv) Immédiat, Pα=hMαi
OU...
Soit Ppolynôme monique irréductible sur Kannulé par α.
Division euclidienne : P=Q.Mα+Ravec degR<degMα.
a) R=0. Puisque Pest irréductible, Q=1 et P=Mα.
b) R6=0. Alors P(α) = R(α) = 0
vu iii), impossible car degR<degMα.