cours 4

Quatrième partie
Régime permanent sinusoïdal 10/07/14
Nicolas Patin
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Signaux sinusoïdaux, dérivation et intégration
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Une par4cularité mathéma4que des sinusoïdes : La dérivée d’une sinusoïde est une sinusoïde. Remarque : l’intégra4on conduit au même résultat. … Mais avec une complica4on : sin
•  cos’(ωt) = -­‐sin(ωt) Intégrer •  -­‐sin’(ωt) = -­‐cos(ωt) •  -­‐cos’(ωt) = sin(ωt) •  sin’(ωt) = cos(ωt) 10/07/14
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Dériver cos
Exponentielles complexes, dérivation et intégration
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Une approche unifiée avec les exponen4elles complexes : Dériver une exponen4elle complexe consiste à la mul4plier par jω. Remarque : l’intégra4on conduit à diviser par jω. jω t Dériver
jω t
e
jω.e
jω t
Intégrer
e
e jωt
jω
ω = Pulsa4on du signal (en rad/s) = 2π x fréquence 10/07/14
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Indica4on : On u4lise usuellement en électricité la leHre j (tel que j2=-­‐1)au lieu de i comme en mathéma4ques pour ne pas confondre avec un courant. Liens entre signaux réels et signaux complexes
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Lien entre signaux complexes et signaux réels : On peut donc effectuer des calculs dans le domaine complexe et retrouver un signal réel en prenant la par4e réelle du signal complexe correspondant. 10/07/14
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Loi d’Ohm
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On rappelle tout d’abord la loi d’Ohm Aux bornes d’une résistance, la tension U est liée au courant I la traversant comme suit : U = R.I CeHe rela4on est vraie pour le régime con4nu et pour des régimes transitoires quelconques (et donc aussi pour le régime permanent sinusoïdal). On peut aussi noter que ceHe rela4on est valable aussi bien pour des signaux réels que complexes. 10/07/14
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Relations pour les bobines et les condensateurs (I)
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On peut établir des rela4ons complexes entre tension et courant pour les bobines et les condensateurs en régime permanent sinusoïdal. Dans ce contexte, on pose de manière générale •  La tension complexe de la forme j (ω t+ϕV )
V = V̂.e
•  Et le courant complexe j (ω t+ϕ I )
ˆ
I = I.e
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Relations pour les bobines et les condensateurs (II)
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Pour les bobines, on rappelle la rela4on réelle v(t) = L.di(t)/dt Et avec les grandeurs complexes, on en déduit V = jLω I
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Relations pour les bobines et les condensateurs (III)
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Pour les condensateurs, on rappelle la rela4on réelle i(t) = C.dv(t)/dt Et avec les grandeurs complexes, on en déduit I = jCω V
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Loi d’Ohm généralisée
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Bilan : Tous les composants linéaires (résistances, bobines, condensateurs) peuvent être décrits dans le cadre unifié de la loi d’Ohm généralisée : V = Z.I
Z est appelée impédance (en Ohm) et elle vaut •  R pour les résistances (réelle) •  jLω pour les bobines (imaginaire pure posi4ve) •  1/(jCω) pour les condensateurs (imaginaire pure néga4ve) 10/07/14
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Vocabulaire et impédances (I)
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La no4on d’impédance en régime permanent sinusoïdal est équivalente à celle de résistance dans le domaine con4nu. Il s’agit toutefois d’un nombre complexe et non d’un réel. On peut l’écrire sous forme cartésienne Z = R + jX
La par4e réelle R est appelée résistance (en Ohm) La par4e imaginaire X est appelée réactance (en Ohm) 10/07/14
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Vocabulaire et impédances (II)
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On peut aussi l’écrire sous forme polaire. Z = Z.e
jϕ
Le module Z est exprimé en Ohm. L’argument ou phase en radians pour les calculs (on peut aussi l’écrire à 4tre indica4f en degrés par commodité). Le lien entre représenta4ons cartésienne et polaire est le suivant 2
2
R = Z.cos ϕ
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X = Z.sin ϕ
Z = R +X
!X$
ϕ = arctan # &
"R%
* Uniquement si R>0 (Attention !)
*
Vocabulaire et impédances (III)
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Phase d’un nombre complexe : La défini4on de la fonc4on « arctan » se limite à l’intervalle ]-­‐π/2;+π/2[. Par conséquent, la formule donnée à la diaposi4ve précédente n’est valide que si R>0. Dans le cas contraire (R<0), il faut ajouter +/-­‐π pour obtenir une phase correcte. Remarque : Certaines calculatrices manipulent directement les nombres complexes et disposent d’une fonc4on « angle » mais pas les calculatrices « Collège ». Un pe4t dessin (et un simple raisonnement) permet d’éviter toute erreur. 10/07/14
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Utilisation des impédances
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Tous les calculs menés en régime con4nu sont applicables avec des impédances : •  Lois de Kirchhoff, loi d’Ohm Par conséquent, toutes les formules qui en découlent restent valables : •  Associa4ons série/parallèle des impédances •  Ponts diviseurs de tension/courant •  Principe de superposi4on •  Modèles de Thévenin/Norton •  Théorème de Millmann 10/07/14
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Impédances et admittances
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Parmi les formules vues pour les résistances, celles liées aux associa4ons parallèles étaient simplifiées par l’introduc4on de la no4on de conductance G = 1/R L’équivalent pour l’impédance Z existe. On parle d’admiTance Y = 1/Z. L’écriture de l’admiHance Y sous forme cartésienne fait apparaître deux composantes : Y = G + jB • G est appelée conductance (comme en con4nu) • B est appelée susceptance Les deux éléments s’expriment bien évidemment en Siemens. 10/07/14
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Principes du diagramme de Fresnel (I)
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Le calcul complexe peut être remplacé par des construc4ons graphiques équivalentes. En effet, une exponen4elle complexe de la forme j (ω t+ϕ X )
X = X̂.e
Correspond dans le plan complexe à un vecteur ayant pour origine l’origine de repère et pour extrémité un point situé se déplaçant sur un cercle de rayon X̂ à une vitesse angulaire ω. Sa phase à l’origine (i.e. à t=0) est ϕX. 10/07/14
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Principes du diagramme de Fresnel (II)
Axe imaginaire
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Vitesse
angulaire : ω
X ωt+ϕ0 10/07/14
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Axe réel
Dans un circuit linéaire en régime permanent sinusoïdal, toutes les grandeurs (courants et tensions) sont sinusoïdales de même pulsa4on (ω). Il n’est donc pas nécessaire de connaître le mouvement de chaque vecteur mais plutôt d’étudier les phases rela4ves entre ces derniers. Exemple de diagramme de Fresnel (I)
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L’étude d’un circuit RLC série permeHra d’analyser la construc4on d’un diagramme de Fresnel : jLω
R VL VR(t) E I 1/(jCω) I"
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VC Un choix possible comme grandeur de référence est le courant I car il est commun à tous les composants pour un circuit « série ». jLω.I"
R.I"
E"
I/(jCω)"
Exemple de diagramme de Fresnel (II)
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L’étude d’un circuit RLC parallèle permeHra d’analyser une autre construc4on d’un diagramme de Fresnel : IC Ici, le choix le plus logique I IR comme grandeur de 1/(jCω) référence est la tension E V
VR E V
C
L
jLω
R car elle est commune à IL tous les composants associés en parallèle. I"
IC"
IR"
IL"
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Nicolas Patin
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E"