exos corriges chap 9

EXERCICES RESOLUS 4-5-6-7-8-9-10-11.
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.
DERIVEES PARTIELLES, DIFFERIENTIABILITE
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corriges-premiere-annee-maths-et-informatique/
PROFESSEUR BENZINE RACHID
Mai 2016
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FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. DERIVEES
PARTIELLES, DIFFERIENTIABILITE
Exercice 4
Considérons la fonction f:R2!Rdé…nie par
f(x,y) = 2x2xy +y2
et (x0,y0)2R2quelconque. Calculez en utilisant la dé…nition ∂f
∂x(x0,y0)
et ∂f
∂y(x0,y0).
Solution Exercice 4
Par dé…nition
∂f
∂x(x0,y0) = lim
h!0
f(x0+h,y0)f(x0,y0)
h.
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On
f(x0+h,y0)f(x0,y0)
=2(x0+h)2(x0+h)y0+y2
02x2 0x0y0+y2 0
=2x2
0+2h2+4x0hx0y0hy0+y2 02x2 0+x0y0y2 0
=h(2h+4x0y0).
Donc
f(x0+h,y0)f(x0,y0)
h=(2h+4x0y0),
et
lim
h!0
f(x0+h,y0)f(x0,y0)
h
=lim
h!0(2h+4x0y0)=(4x0y0).
Donc
∂f
∂x(x0,y0) = (4x0y0).
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De même, par dé…nition
∂f
∂y(x0,y0) = lim
k!0
f(x0,y0+k)f(x0,y0)
k.
On
f(x0,y0+k)f(x0,y0)
=2x02x0(y0+k) + (y0+k)22x2
0x0y0+y2 0
=2x2
0x0y0x0k+y2 0+k2+2y0k2x2 0+x0y0y2 0
=k(x0+k+2y0)
Donc f(x0,y0+k)f(x0,y0)
k= (x0+k+2y0),
et
lim
h!0
f(x0,y0+k)f(x0,y0)
k=lim
k!0(x0+k+2y0) = (x0+2y0).
Donc ∂f
∂y(x0,y0) = (x0+2y0).
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Exercice 5
Considérons la fonction f:R2!Rdé…nie par:
f(x,y) = x3y+exy 2
Calculez 1)f0
x,2)f0 y,3)f00 xx ,4)f00 yy ,5)f00 xy ,6)f00 yx
Solution Exercice 5
1)
f0
x=∂f
∂x=3x2y+y2exy 2
2)
f0
y=∂f
∂y=x3+2yxexy 2
3)
f00
xx =∂2f
∂x2=∂ ∂x∂f ∂x=∂ ∂x3x2y+y2exy 2=6xy +y4exy 2
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