Rapport - ENS Cachan

PSI 2016, Rapport épreuve de Physique, X, Inter-ENS
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PSI 2016, Rapport épreuve de Physique,
X, Inter-ENS
Présentation du sujet
Le sujet portait sur quelques principes d’évolution stellaire, depuis la formation par effondrement
gravitationnel (partie I) jusqu’à la possible fin cataclysmique par oscillations divergentes (parties V et VI)
en passant par l’équilibre hydrostatique (partie II), la stabilité thermodynamique (partie III) et le temps
de parcours des photons du centre vers la surface de l’étoile (partie IV).
Remarques générales
Toutes les questions ont été abordées et traitées correctement au moins une fois (et souvent plus).
Les applications numériques n’étaient pas simples et assez nombreuses. Du fait de l’absence de calculatrice à l’épreuve, elles ont été particulièreent bonifiées lorsque les candidats ont pris le temps de les
effectuer avec rigueur, certains révélant avoir des techniques de calculs approchés tout à fait efficaces pour
les mener à bien.
Remarques particulières par parties
Les statistiques placées en fin de rapport permettent de se faire une idée du degré de traitement et de
réussite question par question.
I
Critère de Jeans pour la formation stellaire
1) Aucun souci pour cette première question.
2) Les candidats plongent vers la réponse XMH +YMHe alors que les pourcentages donnés le sont en masse
et non en proportion molaire (comme on en a l’habitude avec la composition de l’air par exemple),
du coup cette question a très rarement été traitée correctement. Il est vrai que l’on aurait pu fournir
µHe µH2
pour forcer une réflexion dès cette deuxième question.
l’expression finale en
X µHe + Y µH2
3) Au repos, la répartition infinie uniforme n’est pas physique et conduit à des contradictions (normales
→
−
compte tenu du modèle). En effet avec ρ0 uniforme, on a G nul et Φ uniforme mais l’équation de
Poisson n’est plus vérifiée (le Laplacien est nul alors que ρ est normalement non nul). Cela pose des
problèmes à certaines copies qui écrivent ∆(Φ1 ) = 4πG(ρ0 + ρ1 ) et se sentent obliger de « négliger »
ρ0 devant ρ1 pour trouver le bon résultat.
Il y avait deux manières, également acceptées, de récupérer tous les points à cette question :
– soit simplifier les termes d’ordre 0 sans chercher à les calculer explicitement (c’est-à-dire affirmer
que ∆(Φ0 ) = 4π G ρ0 puisque cela devrait être valable en l’absence de perturbation), ce qui permet
de trouver l’équation recherchée ;
– soit admettre honnêtement que l’on se retrouve devant une contradiction apparente (induite par la
version simplifiée du modèle) et s’arrêter là sans chercher à « bidouiller » à tout prix pour retrouver
le résultat indiqué.
4) Les réponses revenaient souvent à paraphraser (plus ou moins) le chapeau de la question. Il s’agissait
ici d’expliquer (et donc citer) le caractère longitudinal de l’onde soit par le calcul via l’équation (10 ),
soit en faisant le parallèle avec une onde sonore.
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5, 6 et 7) Pas de souci particulier à signaler. Les questions ont été dans l’ensemble bien traitées et
interprétées.
8) L’expression de lambda faisant intervenir la masse volumique, beaucoup de candidats ont utilisée
comme valeur de départ la masse volumique actuelle du Soleil. Or si le Soleil s’est formé par effondrement gravitationnel, c’est qu’il n’était pas si dense au départ... d’où des estimations de taille
souvent inférieure à celle du système solaire pour le nuage moléculaire primordial. La bonne manière
de procéder était de dire que la masse totale du système solaire (soit la masse du Soleil qui en
constitue 99,9%) était répartie dans une sphère de diamètre lambda, ce qui réintroduit lambda dans
l’équation que l’on doit à nouveau isoler. On trouve alors une valeur de l’ordre de 1 500 unités astronomiques ou un quart d’année lumière, donc des dimensions bien plus importantes que le système
solaire actuel (et bien sûr que le Soleil actuel).
II
Équilibre hydrostatique
9) La question était essentiellement qualitative et se traitait par analyse dimensionnelle mais certains
candidats ont développé (de manière souvent assez correcte) le modèle mis en place par la suite avec
la théorie de l’hydrostatique. Un coup d’œil sur les questions suivantes leur aurait permis de chercher
plus simple pour cette première question.
10) Si la question précédente était bien traitée, celle-ci suivait naturellement.
11) Les analogies sont correctement faites par une grande partie des candidats, mais on perd parfois un
signe (pourtant important) dans la bataille et, plus rarement, un facteur 4π qui devrait pouvoir être
corrigé au vu de la question suivante et de la connaissance de l’expression usuelle de la force de
gravitation.
12) Ne pas oublier de citer (rapidement mais correctement) les arguments de symétries et d’invariances
qui permettent d’appliquer le théorème de Gauss. Ne pas non plus omettre de préciser la surface de
Gauss utilisée.
13) Question de cours souvent bien traitée
14, 15 et 16) Souvent bien réussie, même si on croise quelques expressions (surprenantes) d’atmosphères
isothermes dans le lot. Il manque tout de même l’hypothèse de constance du champ gravitationnel
dans le Soleil pour que cela fonctionne.
17) Peu d’inspiration pour cette question qui, il est vrai, dépendait assez fortement de la réussite aux
questions précédentes pour pouvoir comparer à quelque chose.
III
Une capacité thermique négative : est-ce possible ?
18) Question de cours de première année ultra-classique. Bien traitée par une grande majorité
des candi
GM
→
−
dats, mais on peut tout de même croiser des vitesses de circularisation de la forme − 2 t + v0 er
r
(heureusement fort peu !). Des erreurs de signe dans Ep peuvent aussi empêcher d’obtenir l’expression
correcte pour Em (ce qui est handicapant pour la suite).
19, 20) Ok si la précédente est bien traitée.
21) La plupart des copies voient bien le rapport entre l’augmentation de vitesse et le parallèle à faire
avec la température cinétique. Ceux qui n’ont pas vu le lien ont essayé de trouver un rapport avec
l’échauffement du satellite du fait des frottements...
22) Les justifications des candidats n’ont pas toujours été très claires. Il fallait au moins citer le caractère
additif des énergies et le fait que l’attraction gravitationnelle ne dépend que de la masse interne
(d’après le théorème de Gauss).
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23) L’expression de u est en général bien trouvée, mais l’aspect monoatomique n’est pas forcément bien
justifié. En l’occurrence, pas mal de candidats ne semblent pas savoir que l’hélium est l’archétype
du gaz monoatomique, il ne s’agit donc pas de le « négliger » au profit de l’hydrogène atomique de
l’étoile.
24) Cette question n’a quasiment jamais été traitée correctement. Pourtant, il suffit d’une simple inté3P
trouvée à la question précédente et
gration par partie pour faire le lien entre l’expression u =
2 ρ
l’équation de l’hydrostatique (gentiment rappelée pour l’occasion, ce qui permettait de vérifier le
résultat obtenu à la question 14). La plupart du temps, la dérivée partielle disparaît en ne gardant
que P ou parfois P/r, histoire de rester homogène...
dEm
25) Petite imprécision de l’énoncé qui aurait mieux fait de dire que
= −L (et non +L) puisqu’on
dt
s’attend à manipuler une grandeur positive pour la luminosité. Néanmoins, la mention explicite de
la décroissance de Em dans le texte a souvent permis de bien interpréter la question.
26, 27) Correctement traité pour ceux qui arrivent ici sans erreur précédente.
IV
Production et transport de l’énergie
28) Simple application numérique avec changement d’unité pour κ (finalement pas si évidente que cela).
29) L’énoncé aurait dû dire « en extrapolant » plutôt que « en interpolant », mais cela ne semble pas avoir
gêné outre mesure les candidats qui maîtrisent l’usage des échelles logarithmiques. Malheureusement,
cette maîtrise n’est pas partagée par tous.
30, 31) Correctes si les précédentes ont été bien traitées.
V
Étoiles variables : relation période–masse volumique
32) Même s’il y a eu de nombreuses bonnes réponses, la valeur de γ pour un gaz parfait monoatomique
n’est pas connue de (ou retrouvable par) tout le monde, on trouve notamment 3/2, 5/2 ou encore le
classique 1,4.
33) Souvent bien identifiée (RFD sur coquille sphérique par exemple).
34) Cette question est sans conteste la plus calculatoire du sujet. Peu de candidat s’y sont risqués, mais
ceux qui l’ont fait ont (contrairement à la question 24) parfaitement maîtrisé les difficultés mathématiques.
35) Laplace a souvent été cité, mais passer de P et ρ à εP et ερ n’a pas toujours été simple.
36) Il s’agissait de dire que l’étoile pulse proportionnellement partout de la même manière (toutes les
couches sont en phase et si celle de l’extérieur a une amplitude A, celle à 10% du centre a une
amplitude de 10% de A).
37) A = 0 sans souci pour ceux qui ont abordé la question.
38) L’expression de ω0 est souvent trouvée, mais pour l’application numérique, beaucoup de candidats
calculent la pulsation mais pas la période qui est pourtant la grandeur demandée !
39, 40) Réponses correctes pour ceux qui les ont abordées.
41) Le changement de masse et de rayon fait que la masse volumique change aussi. Il eût donc fallu refaire
une application numérique pour voir que la correspondance marche.
42) Réponses correctes pour ceux qui ont abordée la question.
43) Relation affine entre log(T) et log(ρ) souvent retrouvée à partir de la théorie.
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44) Peu de raisonnements construits pour cette question. Les candidats se contentent de donner des unités
probables (à leurs yeux) sans se poser la question de leur justification. Il est vrai que le vocable anglosaxon « density » mène à une confusion, d’autant que la masse volumique du Soleil est relativement
proche de celle de l’eau, mais pour les périodes, il eût fallu réfléchir à la faisabilité technique du suivi
des étoiles pour obtenir des périodes allant de 100 à 102 années (unité la plus souvent citée par les
candidats).
En , il n’était pas question d’observer des fluctuations sur quelques secondes ou quelques minutes
(il fallait prendre des photo sur plaques photographiques1 , les faire développer, etc..). Des périodes de
quelques heures sont aussi difficilement observables avec des temps de pose de l’ordre de la vingtaine
de minutes (problème d’échantillonnage). À l’inverse, des variations sur plusieurs années (jusqu’à 10
voire 100 d’après le graphique) ne sont pas compatibles avec le nombre affiché d’étoiles différentes
mesurées (et le nombre d’astronomes disponibles à l’époque...). C’est donc vraisemblablement en
jours que sont comptées les périodes.
Avec les valeurs calculées plus haut pour le Soleil, on a log T0 = −0,93 avec T0 exprimée en jour et
log ρ = 0 bien entendu en unité de ρ , ce qui est à peu de choses près le point par lequel passe le
prolongement de la droite indiquée sur l’énoncé et valide donc les hypothèses précédentes.
VI
Origine de l’oscillation, mécanisme κ
45 à 47) Question de cours sur la propagation dans un plasma qui permettait d’obtenir des points faciles
à condition de la traiter avec rigueur (sans « balancer » des expressions sans justification).
48) ok
49) L’aspect « réflexion » est souvent cité, mais l’aspect nécessairement absorbant du milieu moins.
50) Non, la pulsation plasma n’a pas à être proche de la pulsation propre de l’étoile : les ordres de grandeur
ne sont pas du tout les mêmes...
Statistiques
Sur un échantillon représentatif de 314 candidats. On donne dans l’ordre la question concernée, le
pourcentage de candidats l’ayant traitée (c’est-à-dire ayant écrit quelque chose concernant cette question)
comparé à la totalité des candidats présents, le pourcentage de ceux qui l’ont réussi mieux qu’à moitié
(comparé à la totalité des candidats présents) et finalement le pourcentage de réussite complète (là aussi
comparé à la totalité des candidats présents).
Question
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
Abordé par
100 %
95 %
99 %
98 %
96 %
93 %
70 %
27 %
87 %
81 %
95 %
Point de CCD à cette époque !
Réussi mieux que la moitié
99 %
4,1 %
72 %
32 %
81 %
65 %
42 %
1,3 %
20 %
13 %
76 %
Réussi entièrement
87 %
1,9 %
44 %
10 %
72 %
59 %
31 %
0,32 %
17 %
11 %
42 %
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Question
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Abordé par
92 %
88 %
84 %
88 %
76 %
40 %
93 %
82 %
91 %
73 %
78 %
81 %
62 %
45 %
32 %
26 %
81 %
73 %
53 %
46 %
77 %
73 %
38 %
39 %
43 %
45 %
43 %
38 %
29 %
19 %
27 %
22 %
21 %
73 %
64 %
50 %
22 %
33 %
10 %
Réussi mieux que la moitié
65 %
68 %
55 %
71 %
18 %
2,9 %
62 %
37 %
40 %
33 %
28 %
52 %
1,6 %
3,2 %
16 %
12 %
45 %
40 %
18 %
18 %
45 %
54 %
2,2 %
22 %
10 %
42 %
6%
35 %
25 %
0,32 %
24 %
13 %
0,0 %
29 %
29 %
29 %
10 %
13 %
0,96 %
Réussi entièrement
34 %
44 %
54 %
71 %
0,96 %
0,64 %
48 %
37 %
40 %
32 %
19 %
24 %
0,96 %
1,6 %
7%
6%
39 %
27 %
9%
13 %
45 %
54 %
1,3 %
5%
10 %
42 %
4,8 %
35 %
25 %
0,0 %
24 %
8%
0,0 %
15 %
16 %
27 %
10 %
13 %
0,32 %
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