Eléments de mécanique des fluides

Eléments de mécanique des fluides
Notes de cours de l’année 2011-2012
M. PIROTTON – P. ARCHAMBEAU
Ces notes consistent en une explication structurée des développements présentés lors du cours
oral. L’ensemble des développements réalisés lors des séances est repris dans ces pages avec des
explications complémentaires permettant une meilleure assimilation de la matière et une prise de
recul suffisante pour établir les liens nécessaires entre les différentes parties de matière.
Malgré tout, cet ensemble ne constitue pas une approche exhaustive de la mécanique des fluides
et ne doit pas être considéré en l’état comme un livre de référence au même titre que les sources
éditées référencées. Le lecteur prendra donc soin, le cas échéant, de recourir à de la littérature
plus spécialisée pour les éléments supplémentaires qu’il souhaiterait aborder.
La bonne compréhension des développements mathématiques demande au lecteur de solides
bases en analyse, algèbre et physique. Même si une grande partie des théorèmes ou formules est
rappelé lors des développements, il sera utile de se référer aux documents pédagogiques de ces
matières, notamment pour se rappeler les hypothèses et conditions d’emploi des différentes
formules.

Cours d’éléments de Mécanique des Fluides
Chapitre 1 : Notions générales sur les fluides i
Chapitre 1 : Notions générales sur les fluides ................................................................................ 1
1.Généralités .................................................................................................................. 3
2.Particularités d’un fluide ............................................................................................ 3
3.Loi de comportement .................................................................................................. 5
4.Domaines d’application ............................................................................................... 7
5.Propriétés d’un fluide .................................................................................................. 7
6.Niveaux d’idéalisation possibles ................................................................................ 12
Chapitre 2 : Statique des fluides .................................................................................................. 13
1.La pression ................................................................................................................ 15
2.Equation fondamentale ............................................................................................. 17
3.Applications .............................................................................................................. 19
4.Stabilité des corps ..................................................................................................... 27
Chapitre 3 : Etablissement des équations .................................................................................... 31
1Notion de base : dérivée particulaire ......................................................................... 35
2Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire ....................................... 35
3Principes de conservation .......................................................................................... 41
4Loi de Bernoulli selon une ligne de courant .............................................................. 47
5Conservation de l’énergie .......................................................................................... 54
6Expression de la rotation d’une particule fluide ........................................................ 56
7Expressions des tensions visqueuses .......................................................................... 63
8Équations de Navier-Stokes ...................................................................................... 69
9Equations d’Euler ..................................................................................................... 70
Chapitre 4 : Similitudes ............................................................................................................... 75
1.Introduction .............................................................................................................. 79
2.Dimensions d’une grandeur ....................................................................................... 79

Cours d’éléments de Mécanique des Fluides
Chapitre 1 : Notions générales sur les fluides ii
3.Dimensions des grandeurs et équations .................................................................... 81
4.La similitude ............................................................................................................. 82
5.Détermination des lois de similitude par méthode directe ........................................ 84
6.Détermination des lois de similitude par analyse dimensionnelle .............................. 87
7.Utilisation pratique des similitudes .......................................................................... 92
8.Lois de similitudes classiques .................................................................................... 98
9.Exemples concrets ................................................................................................... 101
Chapitre 5 : Stabilité des écoulements et turbulence ................................................................ 109
1.Expérience de Reynolds .......................................................................................... 113
2.Unicité de la solution .............................................................................................. 114
3.Exemples d’instabilité ............................................................................................. 119
4.Etude de stabilité linéaire ....................................................................................... 122
5.Turbulence .............................................................................................................. 133
Chapitre 6 : Ecoulements externes ............................................................................................ 143
1.Principes de « trainée » et « portance » ............................................................... 147
2.Vecteur potentiel et Fonction de courant ............................................................... 147
3.Notions de « fluide parfait » ou « fluide idéal » ................................................... 150
4.Ecoulement irrotationnel ........................................................................................ 154
5.Solutions analytiques d’écoulements irrotationnels ................................................. 159
6.Ecoulement idéalisé autour d’une aile..................................................................... 180
7.Ecoulement irrotationnel à surface libre d’un fluide incompressible ....................... 183
8.Ecoulement irrotationnel entre deux cylindres coaxiaux ........................................ 189
Chapitre 7 : Ecoulements internes ............................................................................................ 193
1.Introduction ............................................................................................................ 199
2.Couche limite laminaire .......................................................................................... 202
3.Couche limite turbulente ........................................................................................ 216
4.Comparaison de la couche limite laminaire et turbulente ....................................... 226

Cours d’éléments de Mécanique des Fluides
Chapitre 1 : Notions générales sur les fluides iii
5.Notion de régime non établi et établi ...................................................................... 230
6.Ecoulement de Stokes ............................................................................................. 231
7.Solutions analytiques d’écoulements laminaires plans ............................................. 239
8.Ecoulements en films minces ................................................................................... 242
9.Ecoulements en conduite ......................................................................................... 245
10.Ecoulement laminaire en conduite – Ecoulement de Poiseuille ............................... 257
11.Ecoulement turbulent en conduite .......................................................................... 262
12.Coefficient d’inégale répartition de vitesse dans Bernoulli intégré .......................... 269
13.Récapitulatif des pertes de charge........................................................................... 270
Annexe 1 : Calcul vectoriel et tensoriel ..................................................................................... 275
1.Définition ................................................................................................................ 277
2.Représentation dans un espace 3D .......................................................................... 277
3.Opérations sur les tenseurs ..................................................................................... 280
4.Opérations sur des champs tensoriel ....................................................................... 281
5.Intégrales sur volumes et surfaces ........................................................................... 284
Annexe 2 : Notions cinématiques ............................................................................................... 287
1.Référentiel d’inertie ................................................................................................. 289
2.Stationnaire vs instationnaire ................................................................................. 289
3.Description cinématique d’un écoulement ............................................................... 289
4.Descriptions Lagrangienne et Eulérienne ................................................................ 296
Annexe 3 : Equations de Navier-Stokes en coordonnées cylindriques ........................................ 299
1.Expressions des équations de N-S dans les deux systèmes de coordonnées ............. 301
2.Démonstration ........................................................................................................ 302