Interface entre les deux fluides
Figure 3 : Schéma de l'écoulement unidirectionnel
Les deux fluides notés respectivement « fluide 1 » et « fluide 2 » sur la figure 3 sont non miscibles, ils
s’écoulent dans la même direction « x ». L’épaisseur de la couche de fluide 1 est notée « h1 »,
l’épaisseur de la couche de fluide 2 est noté « h2 ». Les deux fluides sont en contact au niveau de
l’interface située en z=0 (cf. figure 3).
Au niveau de l’interface entre les deux fluides, la condition de contact impose que la vitesse soit la
même dans les deux fluides de part et d’autre de l’interface, cette vitesse à l’interface est notée « U0 ».
De plus la contrainte de cisaillement xy devant se transmettre du fluide 1 vers le fluide 2 on doit
également vérifier la condition d’équilibre suivante au niveau de l’interface :
Dans ce problème on négligera l’influence de la gravité : (
).
Travail demandé :
1 – Posez les équations de Navier Stockes et simplifiez les en prenant en compte le caractère
unidirectionnel et permanent de l’écoulement, montrez que l’on obtient alors deux équations
différentielles scalaires (une dans chacun des deux fluides).
2 – Ecrire les conditions aux limites à utiliser pour chacun des deux fluides (condition sur les parois et
conditions à l’interface décrites précédemment).
3 – Calculer les champs de vitesse U1(z) et U2(z) en partant des équations différentielles et conditions
aux limites obtenues aux questions 1 et 2.
4 – On suppose maintenant que le fluide 1 est de l’eau et le fluide 2 de l’air. On suppose également
que la perte de charge dans l’écoulement du fluide 1 est de 1 mm/m.
Calculer U0 et les débits Q1 et Q2 pour les données suivantes :
h1=1m, h2=2m
1=1.10-3Poiseuille,
2=17.10-6 Poiseuille,
1=1000kg/m3,
2=1,2kg/m3.
5 – Tracez le profil des vitesses avec les données de la question 4.
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