Mécanique des fluides

Mécanique des fluides
Sujet à traiter sur une feuille séparée
1re partie : statique des fluides
Une paroi plane trapézoïdale sépare deux réservoirs d’eau de niveaux différents. La paroi est présentée
sur la figure 1. Les niveaux d’eau dans les deux réservoirs sur la figure 2.
12 m
4m
4m
Figure 1 : paroi de séparation des deux
réservoirs
Paroi de séparation
4m
2m
Figure 2 : niveaux d'eau dans les deux
réservoirs
Travail demandé : Calculer l’intensité de la résultante des forces de pression
2ème partie : Cinématique des fluides
On se propose d’étudier un écoulement laminaire unidirectionnel en régime permanent établi entre
deux plaques parallèles semi infinies. Les deux plaques sont immobiles, l’écoulement est constitué de
deux fluides de masses volumiques et de viscosités différentes, l’écoulement est schématisé sur la
figure 3.
Paroi immobile
z
h2
Fluide 2 : 2, 2
Interface entre les deux fluides
U2
U0
h1
Fluide 1 : 1, 1
x
Sens de
l’écoulement
U1
Paroi immobile
Figure 3 : Schéma de l'écoulement unidirectionnel
Les deux fluides notés respectivement « fluide 1 » et « fluide 2 » sur la figure 3 sont non miscibles, ils
s’écoulent dans la même direction « x ». L’épaisseur de la couche de fluide 1 est notée « h1 »,
l’épaisseur de la couche de fluide 2 est noté « h2 ». Les deux fluides sont en contact au niveau de
l’interface située en z=0 (cf. figure 3).
Au niveau de l’interface entre les deux fluides, la condition de contact impose que la vitesse soit la
même dans les deux fluides de part et d’autre de l’interface, cette vitesse à l’interface est notée « U0 ».
De plus la contrainte de cisaillement xy devant se transmettre du fluide 1 vers le fluide 2 on doit
également vérifier la condition d’équilibre suivante au niveau de l’interface :
 xy  1
dU1
dU 2
 2
dz
dz


Dans ce problème on négligera l’influence de la gravité : ( g  0 ).
Travail demandé :
1 – Posez les équations de Navier Stockes et simplifiez les en prenant en compte le caractère
unidirectionnel et permanent de l’écoulement, montrez que l’on obtient alors deux équations
différentielles scalaires (une dans chacun des deux fluides).
2 – Ecrire les conditions aux limites à utiliser pour chacun des deux fluides (condition sur les parois et
conditions à l’interface décrites précédemment).
3 – Calculer les champs de vitesse U1(z) et U2(z) en partant des équations différentielles et conditions
aux limites obtenues aux questions 1 et 2.
4 – On suppose maintenant que le fluide 1 est de l’eau et le fluide 2 de l’air. On suppose également
que la perte de charge dans l’écoulement du fluide 1 est de 1 mm/m.
Calculer U0 et les débits Q1 et Q2 pour les données suivantes :
h1=1m, h2=2m
1=1.10-3Poiseuille, 2=17.10-6 Poiseuille, 1=1000kg/m3, 2=1,2kg/m3.
5 – Tracez le profil des vitesses avec les données de la question 4.
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