HEAJ- INFOGRAPHIE MATH 1 Calcul Binaire et Hexadécimal Éléments de Logique Jacques Houard 2015-2016 1 Unite D'enseignement Informatique 1 UE6 ● 1 Activité d'enseignement (AE) Math ● MATH1(M1) - > 15h de cours (1er Quadrim.) ● Autre activités en informatique... Jacques Houard 2015-2016 2 UE, UA et crédits SI la note de L'UA ≥ 10 ● → UA réussie. Un report se fait de session en session, d'année en année. ● ● UE reussie si toutes les UA sont réussies. ● UE réussie → Crédits obtenus. Jacques Houard 2015-2016 3 Math 1 ● PROGRAMME : ● Calcul binaire et hexadécimal ( 2 séances) ● Elements de logique ● Révision ( 1 séance) ● Evaluation (Janvier 2016) ● Deuxième chance (Juin 2016) ● Troisième chance (Aout 2016) (4 séances) Jacques Houard 2015-2016 4 Math 1 ● Cours « Général » - exercices en Classe ● Support de cours : Voir extranet ● Aussi : .... ● Référence : « Logic for Dummies » ● nb : pas la même chose que « Logique pour les Nuls (UCL)» Jacques Houard 2015-2016 5 Math 1 ● Titulaire ● Jacques Houard ( 4 classes sur 9) ● [email protected] ● Mail : moyen de communication par défaut ● Facebook : Jacques Houard HEAJ Jacques Houard 2015-2016 6 Calcul Binaire et Hexadécimal Systèmes de numération Numération écrite à l'aide de chiffres Notation positionelle 1306= 1 millier 3 centaines (0 dizaines) 6 unités Le rôle spécial du Zéro ( 0). Jacques Houard 2015-2016 7 Ecriture décimale positionelle ● ● Utilise 10 symboles, de 0 à 9 = Base 10 Reliquats d'autres systèmes ça et là dans notre culture, (lesquels ?) ● ● Choix de la base 10 ● Notation : ● D'autres bases sont parfois utilisées... 137 ≡ 13710 Jacques Houard 2015-2016 8 Autres Bases ● 2 autres bases seront ici considérées ● Base 2 , avec les symboles 0 et 1 ● Notation ( exemple): 1001012 ● --> Système Binaire ● Base 16, symboles 0....9, A,B,C,D,E,F ● Notation ( exemple) : 4AF216 ● -> Système Hexadécimal ● Jacques Houard 2015-2016 9 Système Binaire Un Bit ( binary digit) peut prendre 2 valeurs, 0 ou 1 Le transistor, élément fondamental du monde digital actuel Un transistor peut prendre deux états, 0 ou 1. Calcul binaire 0+0 = 0 0 +1 = 1 / 1+0 = 1 1+1 = 10 ( NB : pour pouvoir réaliser ce dernier calcul il faut 2 bits) Octet (= byte, en général) > 8 Bits (exemple code ASCII) Note 1MB= 1 megabyte et 1Mb = Un mégabit Jacques Houard 2015-2016 10 Système Binaire Jacques Houard 2015-2016 11 Système Hexadécimal Calcul en base 16 Pratique car : Conversion facile à partir du système binaire Permet d'écrire la valeur d'un octet avec deux chiffres Jacques Houard 2015-2016 12 Conversion Binaire -> Décimal Base 10 : Rappel 147310 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 3 * 100 = 1* 1000 +4* 100 + 7*10 +3*1 Base 2 : 100100112=1*27 + 0*26 + 0*25 + 1*24 +0*23 +0*22 +1*21 +1*20 = = 1*128 + 128 0*64 + 0*32 + + = 14710 Jacques Houard 1*16 + 0*8 + 0*4 + 16 1*2 + +2 + 1 *1 = 1= 2015-2016 13 Conversion Binaire -> Decimal ● Facile si on commence à l'envers ● ( et si on connait les multiples de 2...) ● 11012 = 1*20 + 0*21 +1*22 +1*23 ● ● = 1*1 = + 0*2 + 1*4 +1*8= 13 Jacques Houard 2015-2016 14 Conversion Binaire -> Decimal ● Autre méthode... ● Conversion du nombre 1110011012 ● ● 512│256│128│64│32│16│8│4│2│1│ 1 ● ● = ● = 46110 1 1 0 256 +128+64 Jacques Houard 0 1 1 0 1 + 8 +4 +1 2015-2016 15 Conversion Binaire -> Decimal Autre exemple : conversion de 10110011012 Attention ! Le tableau débute à droite avec 1(=20) et non pas 0... Jacques Houard 2015-2016 16 Conversion Décimal-> Binaire 2 Méthodes 1) Par division succesives par 2 2) Par soustraction des puissances de 2 Jacques Houard 2015-2016 17 Conversion Décimal -> Binaire Methode 1: divisions successives ( attention à l'ordre ! Jacques Houard 2015-2016 18 Conversion Décimal -> Binaire Exemple pratique de conversion décimale vers binaire : Conversion de 2410 en Binaire = 110002 Jacques Houard 2015-2016 19 Conversion Décimal -> Binaire 2ème Methode ● Soustraction des Puissances de 2 EXEMPLE 5310= 32 + 16 +4 +1 = 25 +24 +22 +20 = 1101012 Question : Combien de bits nécessaires pour écrire 5310 ? Jacques Houard 2015-2016 20 Conversion Décimal -> Binaire Nombre de bits nécessaires : Une conversion décimal-> binaire est une opération de base en informatique. Il est important de savoir si l'on dispose de la « place nécessaire » pour écrire le résultat dans la mémoire Chaque bit correspond à une position. Exemple : 3310 = 10000012 7 bits nécessaires ( le nombre comprend 7 chiffres) Jacques Houard 2015-2016 21 Conversion Binaire -> Décimal Exercices Convertir en décimal ( base 10) 101110102 = 10102 = 20102 = 110010012 = 000000112 = 111112 = Jacques Houard 2015-2016 22 Conversion Décimal -> Binaire ● Convertir en binaire ● 29410 = ● 10910 = ● 110010 = ● 22110 = ● 3410 = ● NB : Pour chaque calcul, indiquer le nombre de 23 bits nécessaires.Jacques Houard 2015-2016 Système Hexadécimal Comparaison entre système binaire, décimal et hexadécimal Jacques Houard 2015-2016 24 Conversion Hexadécimal->Décimal ● Exemple ● ● FB316 = F*162 + B*161 + 3*160 ● = 15 * 256 + 11 * 16 + 3 ● = 3840 +176 +3 = 401910 ● Jacques Houard 2015-2016 25 Conversion Décimal-> Hexadécimal Methode 1 Divisions successives par 16 ● Exemple : conversion de 91810 en base 16 Résultat = 39616 Attention à l'ordre de lecture inverse ! Jacques Houard 2015-2016 26 Conversion Décimal-> Hexadécimal Methode 2 Recherche des plus hautes puissances de 16 Exemple 91810 = 3*162 + 9 * 161 + 6 *160 = 39616 ● Jacques Houard 2015-2016 27 Conversion Hexadecimal <->Binaire Il s'agit d'une conversion « facile » - à 4 bits d'un binaire correspond un chiffre hexadécimal : 1010-0111-10012 = A -7- 9 = A7916 ● à chaque chiffre hexadécimal correspond 4 bits d'un binaire F 9 6 B16 = 1111 1001 0110 10112 ● Il est parfois plus simple de passer par le binaire pour les conversion entre décimal et hexadécimal. Jacques Houard 2015-2016 28 Exercices Convertir en binaire ou décimal ● 29410 = ● 11002 = ● 10910 = ● 1000100001102 = ● 110010 = ● 22110 = ● 3410 = Pour les conversions vers le binaire, de combien de bits doit-on29 Jacques Houard 2015-2016 disposer ? ● ● Exercices ● Conversion vers le décimal ● 120016 = ● FEE16 = ● A1C16 = ● 1BB16 = ● 2A616 = ● B0B16 = Jacques Houard 2015-2016 30 Exercices Conversion vers l'hexadécimal ● 47710 = ● 101110110012 = ● 55510 = ● 10110 = ● 99910 Jacques Houard 2015-2016 31 Exercices Convertir vers les autres bases ACDC16 = ● 11110 = ● 82016 = ● .... Jacques Houard 2015-2016 32 Eléments de Logique Introduction ● ● ● Exemple : Au moins 2 personnes ont le même nombre de cheveux sur la tête dans Bruxelles ...en effet, le nombre maximal de cheveux sur la tête est de 500 000, et Bruxelles compte au moins 1 000 000 habitants ● Jacques Houard 2015-2016 33 ● ● Eléments de Logique Introduction ● ● La logique peut être définie comme l'étude du raisonnement Le raisonnement peut être présent dans différents domaine ( parfois de manière discrète) : – Activités technico-scientifiques – Au tribunal – La publicité – La vie de tous les jours Jacques Houard ● ● ● 2015-2016 34 Eléments de Logique ● Exemple Logique et vie quotidienne ● ● ● PROF : « Marie, va au tableau et localise L'Amérique sur la carte » MARIE : « Voila, monsieur » ● ● (Marie se lève et montre l'Amérique sur la carte au mur) ● PROF : « Bien. La classe, qui a découvert l'Amérique ? » ● ● ● LA CLASSE : …. Jacques Houard 2015-2016 35 Limites de la Logique ● Exemple Logique et vie quotidienne ● LA CLASSE : Marie ! Jacques Houard 2015-2016 36 Test de Logique Question : Combien de pastèques faut-il pour construire une maison ? ● Réponse : 24, car les frites n'ont pas de cuir chevelu. ● ● Votre détecteur inné de logique devrait vous alerter.... ● Jacques Houard 2015-2016 37 Logique et langage ● Le garçon : « Fromage ou dessert ? » ● Le client : « Les deux ! » ● Le Garçon : « Euh...il faut choisir, en fait.. » ● ● ● ● Ambiguïté de la langue française La grammaire française est logique ... à quelques exceptions près. La logique nécessite un langage rigoureux. Jacques Houard 2015-2016 38 Logique et Langage ● « Un fou trouve toujours un plus fou que lui » ● Pourrait se dire aussi ainsi : ● ● ● Chaque fou trouve toujours au moins un autre encore plus fou que lui N'importe quel fou trouve toujours un autre encore plus fou que lui Pour tout fou, il en existe un encore plus fou que lui Jacques Houard 2015-2016 39 Logique et langage Intérêt d'une mathématisation ● « Traduction » mathématique ● ● Avec, ● « pour tout » ● « contenu dans » « identique à » « il existe » « tel que » Jacques Houard 2015-2016 40 Logique et Informatique ● Exemple d'exercice : Recherche de l'élément « toto » dans un tableau : ● Quand s'arrête-t-on ? ● La recherche est arrêtée SI ● ● « toto » est trouvé OU la dernière cellule du tableau est lue NB : OU exclusif ou inclusif ? ● ● Jacques Houard 2015-2016 41 Logique et causalité ● « S'il fait beau, je suis à la pêche » ● ( il fait beau, condition suffisante) ● Je ne suis pas à la pêche, donc il ne fait pas beau. ● Jacques Houard 2015-2016 42 Logique - Propositions ● La logique travaille avec des propositions (ou assertions), qui peuvent être vraie ou fausses. Il faut cependant que cette valeur (vrai ou faux), puisse être obtenue. Autre définition ● « Une proposition est un énoncé simple, susceptible d'être vrai ou faux » ● EXEMPLE : ● Les hommes sont mortels ● Sujet (êtres ou objets) : les hommes ● Copule : sont (verbe être) ● Prédicat (propriété) : mortels Jacques Houard 2015-2016 43 Logique - Propositions ● Exemples : ● B. Obama est un grand président ● « Avatar » est un mauvais film ● Il fera beau demain ● 5 est un nombre pair ● 7 est plus petit que 8 ● Les Ondes Wifi sont mauvaises pour la santé ● Un exemple paradoxal : Je mens Jacques Houard 2015-2016 44 Proposition Une proposition ne peut pas être : –optative (un souhait) –interrogative (une question) –impérative (un ordre) Jacques Houard 2015-2016 45 Propositions simples et composées ( formules) ● « Simple » -> l'énoncé ne peut être décomposé en plusieurs énoncés. ● ● ● Exemple de proposition composée ou formule : « je ne mange pas de glace, mais des carottes » NB : « Mais » est équivalent à « et » ( dans le domaine de la logique...) Jacques Houard 2015-2016 46 Exercice : trouver les propositions qui conviennent ! ● 1) Namur est la capitale de la Flandre ● 2) Génial ! ● 3) Deux plus deux font cinq ● 4) Il faut nettoyer la classe ! ● 5) les hommes sont comme des chiens ● 6) Venez-vous souvent ici ? ● 7) Astana est la capitale du Kazakhstan ● 8) Que la force soit avec vous ! Jacques Houard ● 2015-2016 47 Raisonnements-syllogismes ● ● Les raisonnement sont composées de propositions Exemple – Tous les hommes sont mortels – Je suis un homme – Donc je suis mortel – Exemple de raisonnement déductif Jacques Houard 2015-2016 48 Ce que la logique peut..et ne peut pas ● La logique peut ● Critiquer la validité d'un raisonnement ● Travailler avec des propositions vraies et fausses ● Dire si un raisonnement est valide ● Justifier par déduction ● La logique ne peut pas ● Créer un raisonnement valide ● Vous dire ce qui est réellement vrai ou faux ● Vous dire si un raisonnement est sensé ● Raisonner par induction ● ● Jacques Houard 2015-2016 49 ● LOGIQUE Principes de base ● Principe du tiers exclu ( Aristote- Russel) ● Toute proposition doit être soit vraie, soit fausse ● ● ● Principe de non contradiction Une proposition ne peut être à la fois, être vraie et fausse. Jacques Houard 2015-2016 50 Logique et mathématiques ● ● La logique est utile pour les mathématiques Les mathématiques sont aussi utiles pour la logique => Utilisation d'un formalisme mathématique Jacques Houard 2015-2016 51 Formules et propositions: les symboles utilisés 1) Les lettres propositionnelles représentent des proposi,ons simples : p, q, r, … Exemple : h représente « les hommes sont mortels » p représente « il pleut » Définition : valeur de vérité = valeur que peuvent prendre les proposi,ons et formules logiques Ces valeurs sont : VRAI = V = TRUE = T = 1 FAUX = F = FALSE = F = 0 Jacques Houard 2015-2016 52 Formules et propositions: les symboles utilisés 2) Les opérateurs (ou symboles) logiques : –L’opérateur unaire (1 argument) : • La négation = NON (p) = NOT (p) = NON(p)= p= ~p –Les opérateurs binaires (2 arguments) : • ET = AND = la conjonction = Ʌ = & = ∩ • OU inclusif = OR = la disjonction inclusive = V = U • OU exclusif = XOR = la disjonction exclusive = W Jacques Houard 2015-2016 53 Formules et propositions: les symboles utilisés Exemples : Jacques Houard 2015-2016 54 Formules et propositions: les symboles utilisés 1) les formules correspondent à des propositions composées 2) Si A est une formule, alors non(A) est une formule 3) Si A et B sont des formules, alors (A et B), (A ou B) sont des formules Exemples : A = (p ET q) = (p Ʌ q) B = non(A) v (r v q) Rem : les () servent à préciser et modifier l’ordre d’exécution des opérateurs dans une formule Jacques Houard 2015-2016 55 Réalisation d’une formule Définition 1 : une réalisation pour une formule consiste à donner une valeur (de vérité) pour CHAQUE variable de cette formule. •Définition 2 : une table de vérité consiste à envisager toutes les réalisations possibles d’une formule Jacques Houard 2015-2016 56 Table de vérité à une variable Toutes les réalisations de p sont présentées Jacques Houard 2015-2016 57 Table de vérité à une variable Application: Table de la négation Exemple : p = « la fleur est jaune » non(p) = « la fleur n’est pas jaune » = p Jacques Houard 2015-2016 58 Exercices Nier : Ce Chien possède 4 pattes. Jacques Houard 2015-2016 59 Solutions Nier : Ce Chien possède 4 pattes => Ce chien NE possède PAS 4 pattes Jacques Houard 2015-2016 60 Table de vérité à deux variables Jacques Houard 2015-2016 61 Table de la conjonction (ET, Ʌ) Exemple : Si p = « la Terre est une planète » est VRAIE q = « Le Soleil est une étoile » est VRAIE Alors la formule (pɅq) est VRAIE Jacques Houard 2015-2016 62 Table de la disjonction inclusive OU inclusif - V Exemple : Si p = « la Terre est une étoile » est FAUSSE q = « Le Soleil est une planète » est FAUSSE Alors la formule (pVq) est FAUSSE Jacques Houard 2015-2016 63 Table de la disjonction exclusive OU exclusif - W Exemple : Si p = « la Terre est une étoile » est FAUSSE q = « La Terre est une planète » est VRAIE Alors la formule (pWq) est VRAIE Jacques Houard 2015-2016 64 Table de vérité ● ● ● ● Il s'agit d'un tableau qui permet d'évaluer une formule Formule, ou proposition composée: proposition construite à partir de propostions simples, reliées par des connecteurs logiques Permet d'évaluer le résultat d'opérations logiques Tous les cas de figures doivent être évalués Jacques Houard 2015-2016 65 Table de vérité à trois variables Jacques Houard 2015-2016 66 Importance de l'ordre des parenthèses ● ● Faire la table de vérité de 1) (A et B) ou C ● ● 2) A et (B ou C) ● ● 3) A et B ou C est impossible ( par quelle expression devrait-on commencer ?) ● Exemple : Je possède une auto et une moto ou un cheval... ● Jacques Houard 2015-2016 67 Exercice ● Obtenir la table de vérité de l'expression Examen 2013 Jacques Houard 2015-2016 68 ... Solution non C B ou excl C A et C non(A et C) (B ou excl C) ou non(A et C) A B C ~C Bw~C (A∩C) ~(A∩C) (Bw~C)U(~(A∩C)) 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 Jacques Houard 2015-2016 69 Types de formules Définition : une formule A est une loi logique ou une tautologie si toutes les réalisations de A sont VRAIES (= 1) Définition : une formule A est une contradic/on si A est fausse dans toutes ses réalisations Définition : une formule A est dite con/ngente si A est VRAIE dans certaines réalisations et FAUSSE dans d’autres Jacques Houard 2015-2016 70 Equivalence Logique Définition : deux formules A et B sont équivalentes SSI toutes leurs réalisations ont la même valeur de vérité ( = même table de vérité) Notation : A≡B aussi A ~ B Exemple : p≡p Jacques Houard 2015-2016 71 Exercice Montrer que Jacques Houard 2015-2016 72 Solution 1) Application de la loi de Morgan 2) Table de vérité Solution Non A Non A U Non B Non B A comparer... A B AUB ∩ ~(A) U ~B AwB 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Jacques Houard 2015-2016 73 Lois de Morgan ● Exemple : ● Nier ● « Je n'ai ni chat ni chien » ● ● Nier : ● Je possède une Porsche ou une Ferrari Jacques Houard 2015-2016 74 Lois de Morgan ● Loi 1 Loi 2 Jacques Houard 2015-2016 75 Lois de Morgan 1) ● Non (A ou B) ↔ (Non A) et (Non B) ● (NB : ↔ ≡ « est équivalent à » ) ● ● 2) Non (A et B) ↔ (Non A) ou (Non B) ● ● ● Exercice : vérification des équivalences par la table de vérité Jacques Houard 2015-2016 76 Lois de Morgan Jacques Houard 2015-2016 77 Exercices ● Nier, et vérifier avec une table de vérité : 1) 2) 3) Jacques Houard 2015-2016 78 Exercices ● Montrer que 1) Par les lois de Morgan 2) Avec une table de vérité Jacques Houard 2015-2016 79 Exercices 1) Par les lois de Morgan Jacques Houard 2015-2016 80 Exercices 2) Avec une table de vérité Jacques Houard 2015-2016 81 Implication « Si je ne vous vois pas au cours, vous pouvez revenir en deuxième session » Se lit « Si p alors q » « Si p , on a q » Avec p = « je ne vous vois pas au cours » q= « vous pouvez revenir en deuxième session » ... p est une condition suffisante pour q NOTATION : p→q Jacques Houard 2015-2016 82 Implication Table de vérité Exemple : si p = « il pleut » est VRAI, q = « j’étudie mes maths » est FAUX ALORS la formule (p -> q) = « s’il pleut, alors j’étudie mes maths » est FAUSSE Jacques Houard 2015-2016 83 Implication Exercice : démontrer avec une table de vérité que Si p est vrai, on peut en déduire que q est vrai ...si p est faux, on ne peut rien en déduire sur q « Venez au cours OU revenez en deuxième Session... » Jacques Houard 2015-2016 84 Implication Remarque : - Si (p -> q) ALORS p est une condition suffisante pour q q est une condition nécessaire pour p - implication ≠ déduction Exemple : la formule « la lune est verte donc la Meuse n’est pas un fleuve» est VRAIE (0 -> 1 = 1) Si p ALORS q mais si p = 0 ALORS il s’ensuit ce que l’on veut. Jacques Houard 2015-2016 85 Négation de l'implication « Je ne vous vois pas au cours ET vous ne revenez pas en deuxième session... Jacques Houard 2015-2016 86 Réciproque Exemple Proposition : « S'il pleut, alors il y a des nuages » Réciproque : « S'il y a des nuages, alors il pleut » Ecriture formelle : La proposition La réciproque NB : l'implication et sa réciproque Ne sont PAS équivalents.. Donner des exemples.... Jacques Houard 2015-2016 87 Contraposée Exemple Proposition : « S'il pleut, c'est qu'il y a des nuages » Contraposée : « S'il n'y a pas de nuages, c'est qu'il ne pleut pas » Ecriture formelle : La proposition La contraposée Exercice : dresser la table de vérité de la contraposée Jacques Houard 2015-2016 88 Contraposée La contraposée est équivalente à la proposition Or ....CQFD ! Jacques Houard 2015-2016 89 Implication exercices Donner la négation, la réciproque et la contraposée de : « Si mon train a un retard de 50', alors j'arrive en retard au cours mais les étudiants attendent » « Si mon chien a une laisse, alors il peut se pendre ou faire des maths » « Si j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 %, alors Je réussis mon année. » « Si une perruque pend dans la garderobe, c'est que tante Doris nous rend visite » Remarque: Il est parfois plus facile de raisonner par contraposée Jacques Houard 2015-2016 90 Implication - exercices « Si mon train a un retard de 50', alors j'arrive en retard au cours mais les étudiants attendent » p = « train en retard de 50' » q = « j'arrive en retard » r = « les étudiants m'attendent » p → (q Ʌ r) ≡ p V (qɅr) Négation : p V (qɅr) = p Ʌ(qVr) =>« Mon train a un retard de 50' et je n'arrive pas en retard ou les étudiants ne m'attendent pas Réciproque : (q Ʌ r) → p =>«J'arrive en retard et les étudiants m'attendent donc mon train a un retard de 50'» Contraposée : (qɅr) -> p ≡ (q Vr) → p => «je n'arrive pas en retard ou les étudiants ne m'attendent pas, donc mon train n'a pas un retard de 50' » Jacques Houard 2015-2016 91 Implication - exercices « Si mon chien a une laisse, alors il peut se pendre ou faire des maths » p = « mon chien a une laisse » q = « il peut se pendre » r = « il fait des maths » p → (q V r) ≡ p V (qVr) Négation : p V (qVr) = p Ʌ(q Ʌr) =>« Mon chien a une laisse et il ne peut pas se pendre et ne fait pas des maths Réciproque : (q V r) → p =>«mon chien peut se pendre ou il fait des maths donc il a une laisse» Contraposée: (qVr) -> p ≡ (q Ʌr) → p => «mon chien ne peut pas se pendre et il ne fait pas de math, donc il n'a pas de laisse » Jacques Houard 2015-2016 92 Implication - exercices « Si j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 %, alors Je réussis mon année. » p = « plus de 60 % de moyenne » q = « pas de note en dessous de 50 %» r = « je réussis mon année » (pɅq) → r ≡ (pɅq)V r ≡ (pVq)Vr Négation : (p Vq)Vr) = (p Ʌq)Ʌr) =>« j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 % et je ne réussis pas... Réciproque : r → (pɅq) => «je réussis mon année donc j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 % » ≡ r→ pVq Contraposée: r -> p^q => je ne réussis pas mon année donc je n'ai pas 60 % de moyenne ou des notes en dessous de 50 % » Jacques Houard 2015-2016 93 La bi-implication Exemple : « Un nombre est pair si sa division par deux ne laisse pas de reste » « Je prends le train le matin si et seulement s'il y a des embouteillages » (ATTENTION : différent de « Je prends le train s'il y a des embouteillages ») Notation Jacques Houard 2015-2016 94 La bi-implication .. p est une condition nécessaire et suffisante pour q Exercice : Construire la table de vérité de l'expression (p→q) Ʌ (q →p) Jacques Houard 2015-2016 95 La bi-implication Jacques Houard 2015-2016 96 Quantificateurs « Les hommes savent pourquoi ! » => « Tous les hommes savent pourquoi » ou « Chaque Homme sait pourquoi Le symbole du quantificateur universel « Chaque Homme est amateur de Jupiler » Jacques Houard 2015-2016 97 Jacques Houard 2015-2016 98 Jacques Houard 2015-2016 99 Quantificateurs Négation de la proposition « les hommes savent pourquoi « Il existe au moins un homme qui n'est pas amateur de Jupiler » Jacques Houard 2015-2016 100 Quantificateurs Exemple : Il y a au moins un étudiant absent La négation du quantificateur existentiel : Aucun étudiant n'est absent Ce qui équivaut à « Tous les étudiants sont présents » (NB : Eviter « tous les étudiants ne sont pas absents » ! Jacques Houard 2015-2016 101 Quantificateurs Notation : La variable minuscule x représente un sujet P est le prédicat , ou la propriété Exemple P(x) equivaut à « x est P » « Tous les x sont P « Il existe un x qui est P » Jacques Houard 2015-2016 102 Quantificateurs Importance de l'ordre Exemple : A)Pour tout pois s on, il y a un appât pe rm e ttant de le capture r. Il y a un appât qui pe rm e t de capture r tout pois s on. Le s de ux é noncé s ne s ont pas é quivale nts Che rche z e n la né gation ! Jacques Houard 2015-2016 103 Exercices Nier : 1) Tous les profs de maths sont fous ou débiles 2) Certaines femmes ne font pas bien la cuisine et ne sont pas des fées du logis 3) Aucune blague du prof n'est drôle 4) Certains étudiants sont sans le sou et saouls 5) A chaque jour suffit sa peine Jacques Houard 2015-2016 104 Exercices - Corrigés 1) Tous les profs de maths sont fous ou débiles Négation Ce qui donne Finalement « Certains profs de maths ne sont ni fous ni débiles » ( ni ...ni <-> pas ...et pas Jacques Houard 2015-2016 105 Exercices - Corrigés 2) Certaines femmes ne font pas bien la cuisine et ne sont pas des fées du logis La négation : Avec les lois de Morgan Toutes les femmes font bien la cuisine ou sont des fées du logis Jacques Houard 2015-2016 106 Exercices - Corrigés 3) Aucune blague du prof n'est drôle La négation « Certaines blagues du prof sont drôles Jacques Houard 2015-2016 107 Exercices - Corrigés 4) Certains étudiants sont sans le sou et saouls Négation : Aucun étudiant n'est ni sans le sou ni saoul ( en d'autres termes : Tous les étudiants sont fortunés ou sobres) Jacques Houard 2015-2016 108 Exercices - Corrigés 5) A chaque jour suffit sa peine La négation Il existe un jour où une peine ne suffit pas ( il peut y en avoir un peu plus...) Jacques Houard 2015-2016 109 Jacques Houard 2015-2016 110 Carré logique Il représente les oppositions logiques entre différentes propositions Exemple : A Tous les professeurs de mathématiques sortent des blagues douteuses ( Universelle affirmative) I Certains professeurs de mathématiques sortent des blagues douteuses ( Particulière affirmative) E Aucun professeur de mathématique ne sort de blague douteuse (Universelle négative) O Certains professeurs de mathématiques ne sortent pas des blagues douteuses (Particulière négative) Procédé mnémotechnique « AffIrmo et nEgO » Jacques Houard 2015-2016 111 Jacques Houard 2015-2016 112 Jacques Houard 2015-2016 114 Carré logique- Contradictoires 5- Relations entre A ( universelle affirmative) et O (particulière négative) Quantité et qualité différente : A et O prennent toujours des valeurs opposées. O est la négation de A et vice versa. Si A est vrai Si O est vrai SI A est faux SI O est faux -> -> -> -> O est faux A est faux O est vrai A est vrai Exemple : A: « Tous les professeurs de mathématiques possèdent un humour douteux » NB : RELATION IDENTIQUE ENTRE E ET I !!! Jacques Houard 2015-2016 115 Jacques Houard 2015-2016 116 Carré logique- Contraires 4- Relations entre A ( universelle affirmative) et E (universelle négative) Même quantité, mais qualité différente : A et E ne peuvent être vraies en même temps Si A est vrai Si E est vrai -> -> SI A est faux SI E est faux -> --> E est faux A est faux E ? ( on ne peut rien dire) A ? ( on ne peut rien dire) Exemple : A: « Tous les professeurs de mathématiques possèdent un humour douteux » E :? Jacques Houard 2015-2016 117 Jacques Houard 2015-2016 118 Carré logique- Souscontraires 3- Relations entre I ( particulière affirmative) et O ( particulière négative) Les relations opposent deux propositions de même quantité ( particulière), mais de qualité différente : relation de subcontrariété ( I et O ne peuvent être fausses en même temps) Si I est faux Si O est faux -> -> O est vrai I est vrai SI I est vrai SI O est vrai -> -> O ? ( on ne peut rien dire) I ? ( on ne peut rien dire) Exemple : I: « certains professeurs de mathématiques possèdent un humour douteux » O :? Jacques Houard 2015-2016 119 Jacques Houard 2015-2016 120 Carré logique- Subalternes Il existe des relations entre les 4 coins du Carré Logique 1- Relations entre A ( universelle affirmative) et I ( particulière affirmative) Les relations opposent deux propositions de même qualité, mais de quantité différente : relation de subalternité ( la vérité de I suit celle de A) Si A est vrai Si I est faux -> -> SI I est vrai SI A est faux -> --> I est vrai A est faux A ? ( on ne peut rien dire) I ? ( on ne peut rien dire) Exemple : A: « Tous les professeurs de mathématiques possèdent un humour douteux » I :? Jacques Houard 2015-2016 121 Carré logique - subalternes ( encore) 2- Relations entre E ( universelle negative) et O ( particulière négative) NB : relation identique à la précédente Les relations opposent deux propositions de même qualité, mais de quantité différente : relation de subalternité ( la vérité de O suit celle de E) Si E est vrai Si O est faux -> -> SI O est vrai SI E est faux -> --> O est vrai E est faux E ? ( on ne peut rien dire) O ? ( on ne peut rien dire) Exemple : E: « Aucun professeur de mathématiques ne possède un humour douteux » O :? Jacques Houard 2015-2016 122 Jacques Houard 2015-2016 123 Jacques Houard 2015-2016 124 Carré Logique Exemples Soit une proposition du carré logique et sa valeur- énoncer son type, les autres propositions du carré logique et leur valeur éventuelle. 1 - Toutes les chaises ont un dossier ou un accoudoir (VRAI) 2 - Certains vélos ont des freins ou pas de pédales (VRAI) 3 - Aucun avocat n'est pur et mûr (FAUX) 4 – Certains Cariocas vivent à la plage et à la Montagne (VRAI) 5 – Tous les infographistes chantent et dansent (FAUX) Jacques Houard 2015-2016 125 Carré logique -Correction exemples 1- Toutes les chaises ont un dossier ou un accoudoir (VRAI) (Universelle affirmative) Particulière affirmative : Certaines chaises ont un dossier ou un accoudoir (VRAI) Particulière négative : Certaines chaises n'ont ni de dossier ni accoudoir (FAUX) Universelle négative : Toutes les chaises sont sans dossier et sans accoudoir (FAUX) (Aucune chaise n'a de dossier ou d'accoudoir) Jacques Houard 2015-2016 126 Jacques Houard 2015-2016 127 Carré logique -Correction exemples 2 - Certains vélos ont des freins ou pas de pédales (VRAI) Particulière affirmative Universelle affirmative Tous les vélos ont des frein ou pas de pédales (?) Particulière négative Certains vélos n'ont pas de freins et ont des pédales (?) Universelle négative Tous les vélos n'ont pas de freins et ont des pédales (FAUX) Ou Aucun vélo n'a de freins ou pas de pédales (FAUX) Jacques Houard 2015-2016 128 Jacques Houard 2015-2016 129 Carré logique -Correction exemples 3 - Aucun avocat n'est pur et mûr (FAUX) ( tous les avocats sont non purs ou non mûrs) Universelle négative Universelle affirmative : Tous les avocats sont purs et mûrs (?) Particulière affirmative Certains avocats sont purs et mûrs (Vrai) Particulière négative Certains avocats sont non purs ou non mûrs (?) Jacques Houard 2015-2016 130 Carré logique -Correction exemples 4 – Certains Cariocas vivent à la plage et à la montagne (VRAI) Particulière affirmative Universelle affirmative : Tous les Cariocas vivent à la plage et à la montagne (?) Particulière négative : Certains Cariocas ne vivent pas à la plage ou à la montagne(?) Universelle négative : Aucun Carioca ne vit et à la plage et à la montagne (FAUX) Jacques Houard 2015-2016 131 Carré logique -Correction exemples 5 – Tous les infographistes chantent et dansent (FAUX) Universelle affirmative Particulière affirmative Certains infographistes chantent et dansent (?) Particulière négative Certains infographistes ne chantent ou ne dansent pas ( VRAI) Universelle négative Aucun infographiste ne chante et danse (?) Jacques Houard 2015-2016 132 Révision ( Examen 2012-2013) Jacques Houard 2015-2016 133 Révision ( Examen 2012-2013) Jacques Houard 2015-2016 134 Révision ( Examen 2012-2013) Jacques Houard 2015-2016 135 Révision ( Examen 2012-2013) Jacques Houard 2015-2016 136 Révision ( Examen 2012-2013) Jacques Houard 2015-2016 137 Révision ( Examen 2012-2013) Jacques Houard 2015-2016 138 Révision ( Examen 2012-2013) Jacques Houard 2015-2016 139 Révision ( Examen 2012-2013) Jacques Houard 2015-2016 140 Révision ( Examen 2012-2013) Jacques Houard 2015-2016 141 Jacques Houard 2015-2016 142