cours sur les triangles

Les triangles
Classe de 5ème
THÈMES ABORDÉS :
L’INÉGALITÉ TRIANGULAIRE
LA SOMME DES ANGLES DANS UN TRIANGLE
LES DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
PROPRIÉTÉS À CONNAÎTRE ABSOLUMENT :
1. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°
2. Dans un triangle la longueur du plus grand côté est inférieure ou égale à la somme des deux
autres côtés.
Par exemple :
Peut-on construire un triangle de dimensions 4 cm, 6 cm, et 12 cm ?
Non car 12 > 4 + 6
Peut-on construire un triangle de dimensions 3 cm, 5 cm, et 7 cm ?
Oui car 7 < 3 + 5
3. Si la longueur du plus grand côté est égale à la somme des deux autres alors les trois sommets
sont alignés et on dit que le triangle est aplati.
Exemple :
AB = 3 cm, AC = 7 cm et BC = 4 cm.
Les points A, B et C sont alignés et le point B est entre A et C.
EXERCICES À FAIRE.
Exercice 1.
1. Peut-on construire le triangle DOG avec DOG  82 ; OGD  27 ; GDO  70 ? Justifier la
réponse.
2. Dans le triangle ABC, l’angle BAC mesure 44° et l’angle ACB mesure 33°.
Quelle est la mesure de l’angle CBA ?
3. Le triangle DEF avec DE = 4,4 cm ; EF = 7,5 cm et DF = 3,5 cm est-il constructible ? Justifier la
réponse.
4. Le triangle GHI est –il constructible, avec GH = 12 cm ; HI = 5 cm et GI = 6 cm ? Justifier la
réponse.
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Cas particuliers.
Le triangle isocèle : il possède deux côtés égaux car le sommet est sur la médiatrice de la base.
De plus les angles à la base sont égaux.
Exemple :
ABC est isocèle avec AB = AC, donc B  C
Le triangle équilatéral.
C’est un triangle qui possède :
a. Trois côtés égaux
b. Trois angles égaux à 60°
c. 3 axes de symétrie.
Le triangle rectangle.
C’est un triangle qui possède :
a. Deux côtés perpendiculaires, donc un angle droit.
b. Deux angles aigus dont la somme égale 90°.
Preuve :
On sait que A  B  C  180 , or C  90
Donc : 90  (A  B)  180
d'où : A  B  180  90  90
On dit que deux ces angles dont la somme est égale à 90° sont complémentaires.
EXERCICES À FAIRE.
Exercice 2.
1. Répondre sans faire de figure.
a. ABC est un triangle tel que BAC  50 et ACB  54 . Calculer la mesure de l’angle ABC .
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b. DEF est un triangle tel que EDF  13 et DEF  152 . Calculer la mesure de l’angle DFE .
2. Dans chacun des cas suivants, quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.
BAC  32 et ABC  116
a.
b. BAC  27 et ABC  63
ACB  60 et BA  BC
c.
3. En observant la figure ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, Jules affirme que les points D,
E et A sont alignés.
Penses-tu que c’est vrai ? Justifie ta réponse.
LES DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE.
1. Les médiatrices.
Dans un triangle, la médiatrice d’un côté est la perpendiculaire qui passe
par le milieu de ce côté.
Propriété :
Dans un triangle, les trois médiatrices se coupent en un point appelé le
centre du cercle circonscrit au triangle.
Donc pour trouver le centre du cercle circonscrit, il suffit de tracer deux médiatrices.
EXERCICES À FAIRE.
Exercice 3.
Dans chaque cas, construit le triangle ABC puis son cercle circonscrit. Tu appelleras O son centre.
a. BC = 9 cm, ABC  55 et ACB  35
b. BC = 5 cm, AB = 6 cm et ABC  100
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2. Les médianes.
Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé.
Propriétés :
Dans un triangle, une médiane partage ce triangle en
deux triangles d’aires égales.
Dans un triangle les trois médianes sont concourantes en
un point appelé centre de gravité du triangle.
3. Les hauteurs.
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté
opposé.
Propriété :
Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes en un point
appelé orthocentre du triangle.
4. Les bissectrices.
La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
Elle partage donc cet angle en deux angles égaux.
Propriété :
Dans un triangle les trois bissectrices sont concourantes.
EXERCICES À FAIRE.
Exercice 4.
Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.
1.
2.
3.
4.
Si AM + MB = AB, alors le point M appartient au segment [AB].
Dans un triangle, une hauteur passe toujours par le milieu d’un côté.
Les segments de longueur 7 cm, 4 cm et 2 cm peuvent être les côtés d’un triangle.
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours des médiatrices de ce
triangle.
5. ABC étant un triangle, on a : AB > AC + BC
6. Dans un triangle, la médiane relative à un côté coupe ce côté en son milieu.
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7. Pour construire le cercle circonscrit à un triangle, il suffit de construire les médiatrices de
deux côtés de ce triangle.
8. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point qui est toujours situé à
l’intérieur du triangle.
9. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le sommet de l’angle droit de ce
triangle.
10. Si un triangle MNP est tel que l’angle MPN est obtus, alors le point d’intersection des
médiatrices est situé à l’extérieur du triangle.
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