Les triangles I- Inégalité triangulaire Propriété : Dans un triangle, la

Classe de 5ème
Les triangles
I- Inégalité triangulaire
Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs
des deux autres côtés.
Exemple1
Dans ce triangle ABC, on a :
●
ABACCB
●
AC ABBC
●
BCBAAC
Conséquences : On considère a, b et c trois longueurs données, a étant la plus grande de ces trois
longueurs.
●Si
bca
, alors on peut construire un triangle dont les côtés mesurent
a, b et c.
●Si
bca
, alors il est impossible de construire un triangle dont les
côtés mesurent a, b et c.
Exemple 2
Peut-on construire un triangle ABC tel que :
AB=7
cm,
AC =9
cm et
BC=18
cm ?
Réponse : la plus grande longueur est 18 cm. Je calcule donc la somme des 2 autres longueurs.
79=1618
La construction est donc impossible à réaliser.
Exemple 3
Peut-on construire un triangle
EFG tel que :
EF =7
cm,
FG=10
cm et
EG=9
cm ?
Réponse
La plus grande longueur est 10
cm. Je calcule donc la somme
des 2 autres longueurs.
79=1610
Il est donc possible de
construire le triangle EFG.
Remarque
Si il y a égalité entre le côté le plus grand et la somme des longueurs des 2 autres côtés, alors cela
signifie que les trois points sont alignés. On peut dire que le triangle construit est un triangle
aplati.
B
A
C
F
G
10,00 cm
E
7,00 cm
9,00 cm

Classe de 5ème
Exemple 4
Construire si possible un triangle ABC tel que :
AB=5cm
,
AC =7cm
,
BC=12 cm
.
Réponse : on a
57=12
, donc la figure peut être construite ; le point A appartient au segment
[BC].
II- Somme des angles d'un triangle
Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des 3 angles est toujours égale à 180°.
Exemple 5
On considère un triangle ABC tel que :
ABC =55 °
et
ACB=80 °
Calculer la mesure de l'angle
BAC
Réponse :
BAC =180−55−80=45 °
III- Application aux triangles particuliers
1- Triangle rectangle
Propriété : Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des 2 angles aigus est toujours égale
à 90°.
2- Triangle isocèle
Propriété : Dans un triangle isocèle, les angles portés par la base ont la même mesure.
3- Triangle équilatéral
Propriété : Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure toujours 60°.
F G
10,00 cm
E
7,00 cm 9,00 cm
B
C
A
A
C
B
70,0 °
20,0 °
A
C
B
70,0 °
20,0 °
E
G
F
base

Classe de 5ème
IV- Droites remarquables d'un triangle
1- Médiatrices dans un triangle
Définition :On appelle médiatrice d'un segment la droite qui passe par le milieu du segment et qui
est perpendiculaire au segment.
Propriété : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce
segment.
Dans un triangle, on peut construire les médiatrices de chacun des 3 côtés du triangle.
Propriété : Les 3 médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point.
Ce point est le centre du cercle qui passe par les 3 sommets du triangle.
Ce cercle s'appelle le cercle circonscrit au triangle.
AC
B
70,0 ° 20,0 °
EG
F
base
S
R
T
60,0 °
60,0 °
60,0 °
AC
B
70,0 ° 20,0 °
EG
F
base
S
R
T
60,0 °
60,0 °
60,0 °
C
A
B

Classe de 5ème
2- Médiane
Définition :On appelle médiane d'un triangle une droite qui passe par un sommet et le milieu du
côté opposé.
Dans ce triangle, la droite (TI) est la médiane issue de T .
3- Hauteur
Définition :On appelle hauteur d'un triangle, une droite qui passe par un sommet du triangle et
qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Dans ce triangle, la droite (AH) est la hauteur
issue de A.
Dans ce triangle, la droite (EK) est la hauteur
issue de E.
Remarque : dans le cas où le triangle possède un angle obtus (triangle EFG par exemple), les
hauteurs peuvent se situer « en dehors » du triangle.
4- Bissectrice
Définition :On appelle bissectrice (intérieure) d'un angle, la droite qui partage cet angle en deux
angles de même mesure.
Un triangle possédant trois angles, on peut tracer 3 bissectrices dans un triangle.
AC
B
70,0 ° 20,0 °
EG
F
base
SR
T
60,0 °
60,0 ° 60,0 °
C
A
B
T
A
S
I
B
A
C
H
E
FG
K
B
A
C
H
E
F
G
K