Exercice 1

Niveau : Seconde
Lycée Joubert/Ancenis
2016/2017
Géométrie plane - Repérage
Exercices entrainement - correction
GR1
Exercice 1.
a) Donner les coordonnées des points 𝐴1 , 𝐵1, 𝐶1 , 𝐷1 dans le repère (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽).
On a : 𝐴1 (1; −1), 𝐵1 (0; 3), 𝐶1 (2; 1), 𝐷1 (3; 0)
b) Donner les coordonnées des points 𝐴2 , 𝐵2, 𝐶2 , 𝐷2 dans le repère (𝑍 ; 𝐸 ; 𝑅).
1
1
On a : 𝐴2 (2 ; − 2), 𝐵2 (0; 3,5), 𝐶2 (1; 0,5), 𝐷2 (1,5; 0)
c) Donner les coordonnées des points 𝐴3 , 𝐵3, 𝐶3 , 𝐷3 dans le repère (𝑇 ; 𝐷3 ; 𝐵3 ).
1
1
2 1
On a : 𝐴3 (3 ; − 3), 𝐵3 (0; 1), 𝐶3 (3 ; 3), 𝐷3 (1; 0)
Exercice 2 :
a) Donner les coordonnées des points 𝐴1 , 𝐵1, 𝐶1 , 𝐷1 dans le repère (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽).
On a : 𝐴1 (−2; −3), 𝐵1 (0; 3), 𝐶1 (−3; 0), 𝐷1 (1; 4).
b) Donner les coordonnées des points 𝐴2 , 𝐵2, 𝐶2 , 𝐷2 dans le repère (𝑍 ; 𝐸 ; 𝐵2 ).
2
1 4
On a : 𝐴2 (− 3 ; −1), 𝐵2 (0; 1), 𝐶2 (−1; 0), 𝐷2 (3 ; 3)
c) Donner les coordonnées des points 𝐴3 , 𝐵3, 𝐶3 , 𝐷3 dans le repère (𝑇 ; 𝑌 ; 𝑈).
2
3
3
1
On a : 𝐴3 (− ; − ), 𝐵3 (0; ), 𝐶3 (−1; 0), 𝐷3 ( ; 2)
3
2
2
Géométrie plane - Repérage Exercices entrainement correction
3
1
Exercice 3 :
On considère la figure ci-contre.
𝐴𝐵𝑀𝐿, 𝐴𝐵𝐺𝐻, 𝐴𝐶𝐹𝐻, etc., sont des rectangles.
𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚 et 𝐴𝐻 = 6 𝑐𝑚,
𝐴𝐿 = 𝐿𝐾 = 𝐾𝐻 = 2 𝑐𝑚.
Les points 𝐵 et 𝐺 sont les milieux respectifs des côtés
[𝐴𝐶] et [𝐹𝐻].
H
1. Reproduire la figure.
L
G
N
K
2. Tracer en couleur par-dessus cette figure le repère
(𝑴, 𝑫, 𝑮).
F
E
D
M
A
B
C
1G
F
3. Donner les coordonnées des points 𝐸 ; 𝐺 ; 𝐿 et 𝐵.
ATTENTION à bien placer les points unité
(chiffres 1) sur chacun des axes.
1
H
1
𝐸 (1; 2) ; 𝐺(0; 1) ; 𝐿(−1; 0) et 𝐵 (0; − 2).
N
K
1
L
M
A
B
E
D
C
Exercice 4 :
Dans la figure ci-contre, 𝐴𝐸𝐺 est un triangle rectangle, les
points 𝐶 et 𝐻 sont les milieux des côtés [𝐴𝐸] et [𝐴𝐺].
𝐴𝐶𝐹𝐻 est un rectangle, le point 𝐵 est le milieu de [𝐴𝐶].
On a 𝐴𝐸 = 12 𝑐𝑚 ; 𝐴𝐺 = 7 𝑐𝑚 et 𝐸𝐷 = 3 𝑐𝑚.
G
F
H
1. Reproduire approximativement la figure.
2. Tracer en couleur par-dessus cette figure le repère
(𝑪, 𝑬, 𝑭).
3. Donner les coordonnées des points 𝑫 ; 𝑮 et 𝑯.
Géométrie plane - Repérage Exercices entrainement correction
2
A
×
B
C
×
D
E
ATTENTION à bien placer les points unité
(chiffres 1) sur chacun des axes.
D ( Error! ; 0)
G (−1 ; 2)
G
H (−1; 1).
1
H
A
F
×
B
C
×
1
E
D
GR2
Exercice 1
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on a les points R (–3 ; –5) ; S (0 ; –6) ; T (1 ; 4) et U (–2 ; 7)
1) Calculer les longueurs RS, TU et IT. Donner la valeur exacte la plus simplifiée possible.
RS = (xS – xR)² + (yS – yR)²
TU = (–2 – 1)² + (7 – 4)²
IT = (1 – 1)² + (4 – 0)²
RS = (0 – (–3))² + (–6 – (–5))²
TU = (–3)² + (3)²
IT = 0² + 4²
RS = 3² + (–1)²
TU = 9 + 9 =
RS = 9 + 1 =
18 = 3 2
IT = 16 = 4
10
2) Calculer le rayon du cercle de centre T et passant par R.
On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au dixième près.
r = TR = (−3 −1)² + (−5 −4)² = (−4)² + (−9)² = 16 + 81 = 97
Le rayon du cercle de centre T et passant par R est d’environ 9,8.
Exercice 2 :
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on a les points A (–1 ; 2) ; B (6 ; –3) ; C (–5 ; –1) et D (–3 ; 0)
1) Calculer les longueurs CA, BD et JC. Donner la valeur exacte la plus simplifiée possible.
CA = (xA – xC)² + (yA – yC)²
BD = (–3 – 6)² + (0 – (–3))²
JC = (–5 – 0)² + (–1 – 1)²
CA = (–1 – (–5))² + (2 – (–1))²
BD = (–9)² + 3²
JC = (–5)² + (–2)²
CA = 4² + 3²
BD = 81 + 9 =
CA = 16 + 9 =
90 = 3 10
25 = 5
2) Le point M est le milieu de [AB]. Calculer la longueur AM.
On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au centième près.
AM = Error! = Error! = Error! = Error! = Error!
La longueur AM mesure environ 4,30.
Géométrie plane - Repérage Exercices entrainement correction
3
JC = 25 + 4 =
29
Exercice 3
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on a les points M (–4 ; –7) ; A (2 ; 3) ; T (–1 ; 4) et H (–3 ; 6)
1) Calculer les longueurs HM, AT et MO. Donner la valeur exacte la plus simplifiée possible.
HM = (xM – xH)² + (yM – yH)²
AT = (–1 – 2)² + (4 – 3)²
MO = (0 – (–4))² + (0 – (–7))²
HM = (–4 – (–3))² + (–7 – 6)²
AT = (–3)² + 1²
MO = 4² + 7²
HM = (–1)² + (–13)²
AT = 9 + 1 =
HM = 1 + 169 =
10
MO = 16 + 49 =
65
170
2) On construit le point B, symétrique du point A par rapport au point M. Calculer la longueur AB.
On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au millième près
M est le milieu de [AB]
donc AB = 2×AM = 2× (−4 −2)² + (−7 −3)² = 2× (−6)² +(−10)² = 2× 36 + 100 = 2× 136 = 4 34
La longueur AB est d’environ 23,324
GR3
Exercice 1
1) Dans un repère (O, I, J), on a les points
A(4 ; –2)
B(–1 ; 6)
et C(–3 ; – 4)
On appelle M et N les milieux respectifs de [AB] et de [IC].
 Calculer les coordonnées des points M et N.
xM = Error! = Error! = Error! = 1,5 et yM = Error! = Error! = Error! = 2  M (Error! ; 2)
xN = Error! = Error! = Error! = –1 et yN = Error! = Error! = Error! = –2  N (–1 ; –2)
2) Dans un repère (O, I, J), le quadrilatère DEFG est un parallélogramme.
On donne
D(–7 ; 2) ; E(0 ; – 4) ; F(5 ; –2) et G(–2 ; 4)
Le point H est l’intersection des diagonales du parallélogramme.
 Calculer les coordonnées du point H.
Le point H est l’intersection des diagonales du parallélogramme, c’est donc le milieu de [DF] et de [EG]. Pour calculer
les coordonnées de H, on peut choisir une diagonale ou l’autre (d’où les deux corrections proposées, évidemment, une
seule suffit…)
xH = Error! = Error! = –1 et yH = Error! = Error! = 0  H (–1 ; 0)
ou xH = Error! = Error! = –1 et yH = Error! = Error! = 0  H (–1 ; 0)
Exercice 2
Géométrie plane - Repérage Exercices entrainement correction
4
1) Dans un repère (O, I, J), on a les points
L(2 ; –7)
M(–1 ; –5)
et N(–2 ; 1)
On appelle R et S les milieux respectifs de [LN] et de [MJ].
 Calculer les coordonnées des points R et S.
xR = Error! = Error! = 0 et yR = Error! = Error! = –3  R (0 ; –3)
xS = Error! = – Error! et yS = Error! = –2  S (– Error! ; –2)
2) Dans un repère (O, I, J), on trace le cercle de centre T et de diamètre [UV].
On donne les points U(–3 ; 7) et V(7 ; 1)
 Calculer les coordonnées du point T.
Le centre T est le milieu du diamètre [UV]
xT = Error! = Error! = 2 et yT = Error! = Error! = 4  T (2 ; 4)
Exercice 3
1) Dans un repère (O, I, J), on a les points
X(–3 ; 0)
Y(5 ; –8)
et Z(–5 ; –6)
On appelle A et B les milieux respectifs de [YZ] et de [XO].
 Calculer les coordonnées des points A et B.
xA = Error! = Error! = 0 et yA = Error! = Error! = –7  A (0 ; –7)
xB = Error! = – Error! et yB = Error! = 0  B (– Error! ; 0)
2) Dans un repère (O, I, J), on donne C(7 ; –1)
D(–5 ; 5)
et E(–2 ; – 4)
Le triangle CDE est isocèle en E. H est le pied de la hauteur issue de E.
 Calculer les coordonnées du point H.
Dans un triangle isocèle, hauteur, médiane, médiatrice et bissectrice du sommet principal sont confondues. En
particulier, le pied de la hauteur relative à un côté est aussi le milieu du côté.
Ici, H est le milieu de [CD]
xH = Error! = Error! = 1 et yH = Error! = Error! = 2  H (1 ; 2)
GR4
Exercice 1 :
Dans un repère orthonormé (𝑂, 𝐼, 𝐽), on donne les points 𝐴(−2; 3), 𝐵(2; 5), 𝐶(3; 3) et 𝐸(−1; 1).
a) Quelle est la nature du triangle 𝐴𝐵𝐶 ? Justifier.
b) Quelle est la nature du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐸 ? Justifier.
Géométrie plane - Repérage Exercices entrainement correction
5
y
a) On calcule 𝐴𝐵 = √20, 𝐵𝐶 = √5 et 𝐴𝐶 = 5.
B
5
On constate que 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = 20 + 5 = 25 = 𝐴𝐶 2 .
Donc le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵.
b) On appelle 𝐾 le milieu de [𝐴𝐶].
1
On calcule 𝑥𝐾 = 2 et 𝑦𝐾 = 3.
On appelle 𝐿 le milieu de [𝐵𝐸].
1
On calcule 𝑥𝐿 = 2 et 𝑦𝐿 = 3.
Les diagonales [𝐴𝐶] et [𝐵𝐸] ont donc le même milieu.
𝐴𝐵𝐶𝐸 est donc un parallélogramme.
̂ est un
De plus, d’après la question 1, on sait que 𝐴𝐵𝐶
angle droit.
On en déduit que le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐸 est un rectangle.
4
3
A
C
2
1
E
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
Exercice 2 : .
Dans un repère orthonormé (𝑂, 𝐼, 𝐽), on donne les points 𝑅(−2; 3), 𝐷(0; 1), 𝑀(2; 5) et 𝐾(−4; −1).
a) Quelle est la nature du triangle 𝐷𝑀𝑅 ? Justifier.
b) Quelle est la nature du quadrilatère 𝐷𝑀𝑅𝐾 ? Justifier.
y
a) On calcule : 𝑀𝑅 = √20, 𝑀𝐷 = √20.
𝑀𝑅 = 𝑀𝐷 donc le triangle DMR est isocèle en M.
b) On va montrer que les quatre côtés du quadrilatère
DMRK ont la même longueur.
On calcule 𝑅𝐾 = √20 et 𝐷𝐾 = √20.
𝑀𝑅 = 𝑀𝐷 = 𝑅𝐾 = 𝐷𝐾 donc 𝐷𝑀𝑅𝐾 est un losange.
Autre méthode : démontrer que les diagonales du
quadrilatère DMRK se coupent en leur milieu, ce qui permet
d’en déduire que DMRK est un parallélogramme. En sachant,
de plus, que ce parallélogramme DMRK a deux côtés
consécutifs de même longueur (MR=MD), on en déduit que
DMRK est un losange.
M
5
4
R
3
2
1 D
-4
K
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
Exercice 3 :
Dans un repère orthonormé (𝑂, 𝐼, 𝐽), on donne les points 𝑅(1; −1), 𝐷(−3; 2), 𝑆(−2; −5), 𝑈(5; −4) et
𝐹(4; 3).
a) Quelle est la nature du triangle 𝑅𝐷𝑆 ? Justifier.
b) Quelle est la nature du quadrilatère 𝑆𝐷𝐹𝑈 ? Justifier.
Géométrie plane - Repérage Exercices entrainement correction
6
x
y
a) On calcule : 𝐷𝑅 = 5, 𝑅𝑆 = 5 et 𝐷𝑆 = √50.
On constate que 𝑀𝑅 = 𝑀𝐷 et que 𝐷𝑆 2 = 𝐷𝑅 2 +
𝑅𝑆 2
Le triangle 𝑅𝐷𝑆 est donc isocèle rectangle en 𝑅.
b) Les coordonnées du milieu de [𝐷𝑈] sont :
𝑥𝐷 +𝑥𝑈
𝑦 +𝑦
= 1 et 𝐷 2 𝑈 = −1.
2
Les coordonnées du milieu de [𝑆𝐹] sont :
𝑥𝑆 +𝑥𝐹
𝑦 +𝑦
= 1 et 𝑆 2 𝐹 = −1.
2
Ces deux milieux sont donc confondus avec le
point 𝑅(1; −1).
Les diagonales [𝐷𝑈] et [𝑆𝐹] se coupent en leur
milieu donc 𝑆𝐷𝐹𝑈 est un parallélogramme.
De plus, on a vu que 𝑅𝐷𝑆 était isocèle rectangle.
Donc 𝑆𝐷𝐹𝑈 est un carré.
F
3
D
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1
R
-2
-3
-4
S
U
-5
Autre méthode : calculer les longueurs DF, FU et US pour démontrer que les quatre côtés du quadrilatère SDFU ont la
même longueur, ce qui permet d’en déduire que SDFU est un losange. En sachant, de plus, que les diagonales [DU] et
[SF] sont de même longueur, on en déduit que SDFU est un carré.
Géométrie plane - Repérage Exercices entrainement correction
7