Classe de 3ème ARCHIMEDE

CHAPITRE 14
BISSECTRICES ET CERCLE INSCRIT
4ème
I – BISSECTRICE ET ÉQUIDISTANCE
1 Bissectrice d’un angle
Définition : La bissectrice d’un angle 
 est la demi – droite [Ot) telle que :  .
Construction avec le rapporteur
Construction avec le compas
Remarque : La bissectrice est l’axe de symétrie de l’angle.
2 Une propriété caractéristique
Propriété : Si un point est à égale distance des
deux côtés d’un angle, alors ce point appartient à la
bissectrice de cet angle.
Propriété réciproque : Si un point appartient à
la bissectrice d’un angle, alors ce point est à
égale distance des deux côtés de l’angle.
II – BISSECTRICE ET CERCLE INSCRIT
Propriété : Les bissectrices des angles d’un triangle
sont concourantes.
Leur point d’intersection est à égale distance des trois
côtés du triangle.
Définition : Le point d’intersection des bissectrices
des angles d’un triangle est le centre du cercle
inscrit dans ce triangle.
Conséquence : Le cercle inscrit dans un triangle est tangent aux trois côtés de ce triangle (sur la figure ci –
dessus, en H, K et L).
Propriété
Propriété réciproque

MISE EN GARDE : ATTENTION !!! NE PAS CONFONDRE !!!
Cercle circonscrit à un triangle
Cercle inscrit dans un triangle
 Le cercle circonscrit passe par les trois sommets
du triangle.
 Le centre du cercle circonscrit est le point
d’intersection des médiatrices des côtés du triangle.
 Le centre du cercle circonscrit est équidistant
des trois sommets du triangle.
 Le cercle inscrit dans un triangle est tangent
aux trois côtés du triangle.
 Le centre du cercle inscrit dans un triangle est
le point d’intersection des bissectrices des angles
du triangle.
 Le centre du cercle inscrit est équidistant des
trois côtés du triangle.
Application 1 : Construire le cercle inscrit dans un triangle
 On trace les bissectrices de deux angles du
triangle ; ici [Bt) et [Cz), bissectrices des angles
 et  .
 On note I leur point d’intersection.
 On place H le pied de la hauteur issue de I du
triangle IBC.
 On trace le cercle de centre I et de rayon IH,
c’est le cercle inscrit dans le triangle ABC.
Application 2 : Démontrer que des distances sont égales
Énoncé :
Brouillon :

Rédaction :
Conséquence : Le cercle de centre O et de rayon OH est tangent aux quatre côtés de ABCD. Ce cercle est
inscrit dans ABCD.
Application 3 : Reconnaître la bissectrice d’un angle
Brouillon :

Rédaction :