Les Algorithmes Arithmétiques I. Introduction

LesAlgorithmesArithmétiques Classe:3
ième SI
MouradBahri&NaimaBayoudh&LeilaBenNjimaIkramNasrallah&MedAliFarhat Page1
ChapitreVI
LesAlgorithmesArithmétiques
I.Introduction
Danscechapitre,onprésenteralesalgorithmesarithmétiqueslesplusconnus:calculsduPGCDe
duPPCM,recherchedesnombrespremiersetdécompositionenproduitsdesfacteurspremiers,la
conversiond’unnombreenbase10verslebinaireetenhexadécimal.Alafin,ondévelopperale
problèmequiconvertitunnombreenbaseb1ensonéquivalentenbaseb2.
II.LecalculduPGCD
1.Définition
PGCD:PlusGrandCommunDiviseur
LePGCDdedeuxentiersmetnnotéPGCD(m,n)estlegrandentierpermettantdedivisermetn.
2.Application
Analyserpuisdéduirel’algorithmed’unefonctionquipermetdedéterminerlePGCDdedeuxentiers
metnselonlesdeuxméthodes:différenceetEuclide.
Méthodededifférence
a.Principe
Leprincipedecetteméthodeest:
Chercherledifférencededeuxvaleursetlarangerdanslavaleurlaplusgrandejusqu’àobtenirla
mêmevaleur.
· Estcequelenombrederépétitionsestconnu?
· Aumoinségalecombien?
b.Exemples
c.SpécificationdelafonctionPGCD_Diff
Résultat=PGCD_diff
Traitement=
Encasd’égalitélePGCD_Diff=m
TantqueM<>Nchercherlavaleurlaplusgrande
Cettevaleurreçoitladifférence
Paramètresdalafonction:m etn

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d.Algorithme
0) DébutfonctionPGCD_Diff(m,n:entier):entier
1) Tantquem<>nFaire
Sim>nAlorsm ßmn
Sinonnßnm
Finsi
Fintantque
2) PGCD_Diffßm
3) FinPGCD_Diff
Méthoded’Euclide
a.Principe
Leprincipedecetteméthodeest:
Chercherledifférencededeuxvaleursetlarangerdanslavaleurlaplusgrandejusqu’àobtenirla
mêmevaleur.
· Estcequelenombrederépétitionsestconnu?
· Aumoinségalecombien?
b.Exemples
c.SpécificationdelafonctionPGCD_Euc
Résultat=PGCD_Euc
Traitement=
Encasd’égalitélePGCD_Euc=m
Tantque(m<>n)et(n<>0)
mprendlavaleurden;nprendlerestedeladivisiondemetn
Paramètresdalafonction:metn
d.Algorithme
0) DébutfonctionPGCD_Euc(m,n:entier):entier
1) Tantque(m<>n)et(n<>0)Faire
auxßm ;m ßn;nßnmodaux
Fintantque
2) PGCD_Eucßm
3) FinPGCD_Euc

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e.TDO
Objet TypeNature Rôle
aux Entier Variableauxiliaire
3.Exercice
EcrireunprogrammepascalquicalculelePGCDdetroisentiersstrictementpositifsa,betc.
N.B.PGCD(a,b,c)=PGCD(PGCD(a,b),c)
II.LecalculduPPCM
1.Définition
PPCM:PlusPetitCommunMultiple
LePPCMdedeuxentiersmetnnotéPPCM(m,n)estlepluspetitentiermultipleàlafoisdemetn.
2.Application
Analyserpuisdéduirel’algorithmed’unefonctionquipermetdedéterminerlePPCMdedeuxentiers
metn.
a.Principe
LeprincipederecherchedePPCMest:
· Chercherleplusmultipledemquiestaussimultipleden
· estcequelenombrederépétitionsestconnuetaumoinségalecombien?
b.Exemples
c.SpécificationdelafonctionPPCM
Résultat=PPCM
Traitement=
Afindeminimiserlesitérationsilutiledechercherlemaximumdemetn
LePPCMcommenceà0,onrépètel’ajoutdemauPPCMjusqu’àavoirPPCMmultipleden(PPCM
modn=0)
Paramètresdalafonction:metn

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d.Algorithme
0) DébutfonctionPPCM(m,n:entier):entier
1) PPCMß0
Répéter
PPCMßPPCM+m
Jusqu’àPPCMmodn=0
2) FinPPCM3.Exercice
EcrireunprogrammepascalquicherchelePPCMdedeuxentiersmetnenutilisantlaformule
suivante:
PPCM(m,n)=m*nDIVPGCD(m,n)
III.Lesnombrespremiers
1.Définition
Unnombre>1estditpremiers’ilestdivisibleseulementpar1etparluimême.
2.Application
Analyserpuisdéduirel’algorithmed’unefonctionquipermetvérifiersiunentier>1estpremierou
non.
a.Principe
pourtestersiunnombre>1estpremier,ilsuffitde:
· Chercherlenombredesesdiviseurs
· Testersicenombre=2 b.Exemples
n=10
lesdiviseursde10,autresque1et10,sontcomprisentre2et5(10div2):
àutilisationdelabouclePour
nbcommenceà2
siontrouveundiviseurlenbaugmentede1
c.Algorithme
0) Débutpremier(n:entier):booléen
1) nbß2
Pouride2àndiv2faire
SinMODi=0Alorsnbßnb+1
Finsi
Finpour
2) premierßFaux
Sinb=2AlorspremierßVrai
Finsi
3) Finpremier
d.TDO
Objet TypeNature Rôle
nb Entier Nombredediviseursden
i Entier Compteur

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3.Exercices
1)Ecrireunprogrammepascalquidéterminesideuxentiersnonnulssontpremiersentreeuxen
suivantlapropriétésuivante:;deuxentiersnonnulssontpremiersentreeuxsietseulementsileurs
PGCD=1
2)Unnombreestditprimaires’ilestunnombrepremierous’ilunnombrequiaunseuldiviseur
premierautreque1.
Unnombreestditpremiers’ilestdivisiblepar1etparluimêmeseulement.
SoitleproblèmePrimairequilitunnombrestrictementpositifetvérifies’ilestprimaire.
Pourvérifierquelenombreestprimaireilsuffitdevérifier:
 Qu’ilestpremier.
 Ous’ilpossèdeunseuldiviseurpremier.
NB:
Sixestnonpremieralorscherchertousdiviseursdex(autreque1etx)etlesmettredansun
tableauet
vérifiersiparmisesdiviseursexisteunseulnombrepremier.
Exemples:
TravailàFaire
1)Décomposerleproblèmeenmodules;
2)Analyserleproblèmeprincipaletchacundesmodulesenvisagés.
3)Endéduirelesalgorithmesrelatifsauxmodulesetauprogrammeprincipal.
IV.Décompositionenfacteurspremiers
1.Définition
Décomposerunentierenfacteurspremiersconsisteàécrirecetentiersouslaformed’unproduitde
cesdiviseurspremiers.
2.Application
Analyserpuisdéduirel’algorithmequipermetdechercheretd’afficherladécompositionenproduit
decesdiviseurspremiers.