Application_de_la_methode_de_galerkin_a_un_probleme_elliptique_avec_terme_non_local_singulier.pdf

The University of New South Wales
School of Electrical Engineering and
Computer Science and Engineering
The  Elan
Am386SC300
Portable Computer
John Zaitse¤ (2120715)
Bachelor of Engineering (Computer Engineering)
October 1995
Supervisor: A/Prof. Branko Celler
Assessor: Dr. Tim Hesketh

Table des Matières
0 Introduction 2
1 Préliminaires 4
1.1 Espaces ré‡exifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Espace Wm;p() .......................... 5
1.2.2 Espace Wm;p
0() .......................... 6
1.2.3 Injection compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Méthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5 Suites et condition de Palais-Smale . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.6 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Méthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Résolution d’un problème modèle par la méthode de Galerkin . 11
2 Existence et non existence de solutions pour un problème de type
Kirchho¤ 16
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Existence et unicité de la solution dans le cas M-linéaire . . . . . . . . 17
2.3 Résultat d’existence pour un problème de Kirchho¤ sous-linéaire . . . 20
2.4 Résultat de non existence pour un problème de Kirchho¤ sur-linéaire . 24
3 Existence de solutions d’un problème elliptique non local et singulier
par la méthode de Galerkin 26
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Le problème M-Linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Cas discontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Un problème sous-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Bibliographie 39
i

List of Figures
ii

List of Tables
iii

Table des Matières
1