Corrigé - Normalesup.org

Int´ egration et probabilit´ es ENS Paris, 2013-2014
Exercices additionels : Radon–Nikodym et mesures – Corrig´ e
1 – Th´ eor` eme de Radon–Nikodym
Exercice 1. (Contre-Exemple ` a R-N) Soit mla mesure de comptage sur (R,P(R)) c’e-` a-dire que m(A) =
#Apour toute partie Ade R. On note mla reriion de m` a la tribu bor´ elienne de R.
. Montrer que la mesure de Lebesgue eabsolument continue par rapport ` am.
. Montrer qu’il n’exie pas de fonion mesurable f:R→R+telle que λ=f·m, o ` uλd´ esigne la
mesure de Lebesgue.
. Conclure quelque chose d’intelligent et intelligible.
Corrig´ e :
. Soit A∈ B(R) telle que m(A) = . Alors A=∅et donc λ(A) = .
. Supposons qu’il exie une telle fonion f. Alors pour tout x∈R, on a
=λ({x}) = Z{x} f dm=f(x).
Ainsi f=puis λ=. Contradiion.
. La mesure µn’epas σ-finie et le th´ eor` eme de Radon-Nikodym ne s’applique pas.
Exercice 2. (Quantification de l’absolue continuit´ e) Soient µet νdeux mesures sur un espace mesu-
rable (E,A).
. On suppose que pour tout ε > , il exieη > tel que pour tout A∈ A,
µ(A)≤η⇒ν(A)≤ε.
Montrer que νeabsolument continue par rapport ` aµ.
. Montrer que la r´ eciproque evraie dans le cas o ` u la mesure νefinie. Que se passe-t-il si νe
infinie ?
Corrig´ e :
. Soit A∈ A tel que µ(A) = . Alors pour tout ε > on a ν(A)≤εc’e-` a-dire ν(A) = .
Pour des queions, demande de pr´ ecisions ou explications, n’h´ esitez pas ` a m’envoyer un mail ` a
igor[email protected] , ou bien ` a venir me voir au bureau V.

. On suppose que l’assertion n’epas v´ erifi´ ee. Soient ε > et une suite (An)n≥tels que, pour
tout n≥,µ(An)≤−net ν(An)≥ε. Notons Bn=∪k≥nAkpour tout n≥et B=∩n≥Bn. Alors
d’apr` es le lemme de Borel-Cantelli, on a µ(B) = , puis ν(B) = . Par ailleurs, pour tout n≥, on a
ν(Bn)≥ν(An)≥ε. Et la suite (Bn)n≥ed´ ecroissante pour l’inclusion. La mesure ν´ etant finie, on
en d´ eduit que
ν(B) = lim
n→∞ ν(Bn)≥ε,
ce qui econtradioire.
ATTENTION : on ne peut pas dire que µa une densit´ e par rapport ` aν: les mesures n’´ etant pas
n´ ecessairement sigma-finies, on ne peut pas utiliser le th´ eor` eme de Radon-Nikodym.
Lorsque ν=∞, il efacile de conruire un contre-exemple (par exemple prendre µet νsur R,
µabsolument continue par rapport ` aνavec une densit´ e non int´ egrable, par exemple x→ex).
2 – Mesures
Exercice 3. (Le retour du diable) On conruit r´ ecursivement une suite (fn)n≥de fonions continues
sur [,] telles que f() = et f() = comme suit. On pose f(x) = xpour x∈[,]. On conruit fn+
`
a partir de fnen remplac¸ant fn, sur chaque intervalle maximal [u,v] o ` u elle n’epas conante, par la
fonion lin´ eaire par morceaux qui vaut (fn(u) + fn(v))/sur hu
+v ,v +u i.
. Verifier que |fn+(x)−fn(x)| ≤ −npour tout n≥et x∈[,]. En d´ eduire que fnconverge uni-
form´ ement sur [,] vers une fonion continue not´ ee fdiable.
. Soit µdiable la mesure sur [,] d´ efinie comme ´ etant la mesure de Stieljes associ´ ee ` afdiable. Mon-
trer que µdiable e´ etrang` ere par rapport ` a la mesure de Lebesgue. La mesure µdiable a-t-elle des
atomes ?
Corrig´ e :
. On prouve ais´ ement que |fn+(x)−fn(x)| ≤ −npour tout n≥et x∈[,] en utilisant la d´ efinition
de fn. Il s’ensuit que la s´ erie de fonions Pn≥(fn+−fn) converge uniform´ ement sur [,] vers
une fonion continue, et le r´ esultat en d´ ecoule. On appelle fl’escalier du diable (cf TD ) :
. Rappelons la conruion de l’ensemble triadique de Cantor. On pose K= [,]. On d´ efinit une
suite (Kn,n ≥) de la fac¸on suivante : connaissant Kn, qui eune r´ eunion d’intervalles ferm´ es
disjoints, on d´ efinit Kn+en retirant dans chacun des intervalles de Knun intervalle ouvert centr´ e

au centre de chaque intervalle, de longueur /fois celle de l’intervalle. On pose K=Tn≥Kn,
appel´ e ensemble triadique de Cantor. Par conruion, le support de la mesure µdiable el’en-
semble de Cantor triadique, qui ede mesure de Lebesgue nulle (voir exercice du TD ). Ainsi
µdiable et la mesure de Lebesgue sont ´ etrang` eres. Cependant, µdiable n’a pas d’atomes, car la fonc-
tion croissante fdiable econtinue.
Exercice 4. (L’espace M(R))
(i) Montrer que M(R) l’espace des mesures bor´ eliennes sign´ ees sur Reun espace de Banach pour
la norme
µ7→ kµk,
o` ukµk=|µ|(R).
(ii) Soit (X,A,µ) un espace mesur´ e fini. Montrer que pour tout f∈L(X,A,µ) :
kfk=kf·µk,
o` u (f·µ) ela mesure absolument continue par rapport ` aµde densit´ ef.
Corrig´ e :
(i) Soit (µn)n≥une suite de Cauchy pour la norme k · k.
´
Etape :pour tout bor´ elien Ade Ret n,p ≥, on a |µn(A)−µp(A)|≤kµn−µpk, ce qui implique que
la suite (µn(A))n≥ede Cauchy dans R, et converge donc vers une limite not´ ee µ(A).
´
Etape :montrons que µeune mesure. Prouvons tout d’abord que :
lim
n→∞ sup{|µ(A)−µn(A)|;A∈ B(R)}=.()
`
A cet effet, soient  > et n>tels que kµn−µkk ≤ pour n, k ≥n. Soit A∈ B(R). On choisit
k > ntel que |µ(A)−µk(A)|< . Alors pour n>n:
|µ(A)−µn(A)|≤|µ(A)−µk(A)|+|µk(A)−µn(A)| ≤ +kµn−µkk ≤ ,
ce qui prouve ().
Ensuite, les mesures µnsont en particulier finiment additives, ce qui implique ais´ ement que µ
efiniment additive. Montrons maintenant que µeσ-finie. Soient (Ai)i≥des bor´ eliens disjoints
et  > . D’apr` es (), il exien>tel que pour n≥n:
sup{|µ(A)−µn(A)|;A∈ B(R)} ≤ .
On choisit ensuite k>tel que pour tout k≥k:
µn
[
i≥k+
Ai ≤.
En particulier, ceci implique que pour k≥k:
µ
[
i≥k+
Ai ≤.

Par additivit´ e (finie) de µ, on obtient finalement pour tout k≥k:
µ
[
i≥
Ai −
k
X
i=
µ(Ai) =µ
[
i≥k+
Ai ≤.
Ceci ´ etant vrai pour tout  > , la σ-additivit´ e de µen d´ ecoule, ce qui prouve que µeune
mesure.
´
Etape :on v´ erifie que |µn−µ| → . Ceci d´ ecoule imm´ ediatement de () et de l’in´ egalit´ e
kνk=ν(X+) + |ν(X−)| ≤ sup{|ν(A)|;A∈ B(R)}
v´ erifi´ ee pour une mesure sign´ ee νsur R(o ` u on a not´ eX±les supports de ν±).
(ii) Il suffit de remarquer que l’´ ecriture f·µ=f+·µ−f−·µela d´ ecomposition de Hahn de f·µ, ce
qui implique :
kf·µk=Zf+dµ +Zf−dµ =kfk.
3 – Dualit´ eLp−Lq
On rappelle le r´ esultat suivant, appel´ edualit´ eLp−Lq. Soit νune mesure σ-finie sur (E, A), soit
p∈[,∞[ et soit ql’exposant conjug´ e de p. Alors, si Φeune forme lin´ eaire continue sur Lp(E,A,ν), il
exie une unique application g∈Lq(E,A,ν) telle que pour tout f∈Lp(E, A,ν), Φ(f) = Rf gdν. De plus
la norme d’op´ erateur de ΦekΦk=kgkq.
Exercice 5. (S´ equentielle compacit´ e faible) Soit p∈],∞[ et qson exposant conjugu´ e, Ω⊂Run ouvert
de Ret µla mesure de Lebesgue. Soit (fn) une suite born´ ee de Lp(Ω) ( c-` a-d que la suite (kfnkp)n≥e
born´ ee).
. Montrer que Lq(Ω) es´ eparable (c’e` a dire qu’il contient une partie d´ enombrable dense).
. Soit Dune partie d´ enombrable dense de Lq(Ω). Montrer qu’il exie une sous-suite (fϕ(n)) telle
que pour tout h∈D,
lim
n→∞ ZΩ
fϕ(n)hdµ exie dans R.
. Montrer que pour tout g∈Lq(Ω),
φ(g) = lim
n→∞ ZΩ
fϕ(n)gdµ exie dans R.
. En d´ eduire qu’il exief∈Lp(Ω) telle que l’on ait convergence faible dans Lp(Ω) de la suite (fϕ(n))
vers f, c’e-` a-dire :
∀g∈Lq(Ω),lim
n→∞ ZΩ
fϕ(n)gdµ =ZΩ f gdµ.
. Le r´ esultat pr´ ec´ edent subsie-t-il pour p=?
Corrig´ e :
. On sait d´ eja que les fonions en escalier sont denses dans Lq, il suffit donc d’en trouver une
sous famille d´ enombrable qui soit dense dans les fonions en escalier. Par exemple, celles qui
v´ erifient : ”les intervalles ]xi, xi+[ sur lesquelles la fonion econantes sont ` a bornes ration-
nelles, et les valeurs αide la fonion sur ces intervalles sont aussi rationnelles” conituent bien
une famille d´ enombrable.

. Il s’agit d’un simple proc´ ed´ e diagonal : on commence par num´ eroter tous les fonions de D:
h,h,.... Consid´ erons h, par H¨ older, la suite Rfnhdµneborn´ ee par khkqsupnkfnkp, donc
comme il s’agit d’une suite de r´ eels, on peut trouver une extrarice ψtelle que Rfψ(n)hdµ
converge. Ensuite en consid´ erant la suite Rfψ(n)hdµnon conruit une extrarice ψtelle que
Rfψ◦ψ(n)hdµ converge, et par r´
ecurrence on conruit une suite d’extrarice (ψk)kqui v´ erifie
que pour tout kZfψ◦···◦ψk(n)hkdµ converge quand n→ ∞.
Si la famille (hk)´ etait finie, il suffirait de prendre ψ◦ ··· ◦ ψNet on aurait ce qu’il faut, mais avec
une famille infinie il faut ruser. On d´ efinit ϕ(n) = ψ◦ ·· · ◦ ψn(n). Je laisse au leeur le soin de
v´ erifier que pour tout n>k, il exieM≥ntel que ϕ(m) = ψ◦ · ·· ◦ ψk(M) et d’en d´ eduire que
Rfϕ(n)hkdµ converge quand n→ ∞ pour tout k.
. Le plus simple pour montrer que la suite Rfϕ(n)gdµ converge ede montrer qu’elle ede Cauchy.
Soit ε > , et soit hune fonion de Dqui v´ erifie kg−hkq< ε. Soient n,m ≥,
Zfϕ(n)gdµ −Zfϕ(m)gdµ
<Zfϕ(n)(g−h)dµ +Zfϕ(m)(g−h)dµ
+Zfϕ(n)hdµ −Zfϕ(m)hdµ .
Par H¨ older les deux premiers termes sont inf´ erieurs ` a (supkfnkp)εet comme la suite Rfϕ(n)hdµ
converge (par la queion pr´ ec´ edente) elle ede Cauchy, donc il exientel que si n,m > n,
Zfϕ(n)gdµ −Zfϕ(m)gdµ
<(supkfnkp+)ε,
ce qui montre que la suite ede Cauchy.
.` A la queion pr´ ec´ edente on a d´ efinie une fonion de Lqdans R:
φ(g) = lim
n→∞ Zfϕ(n)gdµ.
Ici on veut utiliser le th´ eor` eme de dualit´ e entre Lpet Lq: si µeσ-finie et p < ∞alors il y a
bijeion entre Lq(µ) et les formes lin´ eaires continues sur Lp(µ) et cette bijeion ef7→ ψf:g7→
Rf gdµ. Donc pour r´
epondre ` a la queion il suffit de montrer que φeune forme lin´ eaire conti-
nue. La lin´ earit´ e efacile ` a montrer et la continuit´ e d´ ecoule de H¨ older : φ(g)≤(supkfnkp)kgkq. Et
voila !
. Non, le r´ esultat n’eplus vrai pour p=: prenons la suite de fonion fn=[n,n+]qui ebien
born´ ee dans L, et supposons qu’il exie une extrarice ϕet une fonion f∈Ltelle que pour
toute fonion g∈L∞, limRfϕ(n)gdµ =Rf gdµ. Regardons des fonions particuli` eres :
— la fonions g=Rmontre que RRf dµ =
— la suite de fonion gk=[k,k+]montre que Rk+
kf dµ =pour tout k
Ces deux r´ esultats sont contradioires, ce qui conclut la preuve par l’absurde.
Exercice 6. (Petit contre-exemple) Soient E={a, b}et µla mesure d´ efinie sur P(E) par µ({a}) = et
µ({b}) = µ(E)=+∞. Cara´ eriser L∞(µ) et le dual topologique de L(µ). Conclure.
Corrig´ e :