Chapitre 10

EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances
Capacités
4.2 Angles
*Bissectrice d’un angle.
Commentaires
– Comparer des angles sans avoir recours à leur mesure.
– *Utiliser un rapporteur pour :
- déterminer la mesure en degré d’un angle,
- construire un angle de mesure donnée en degré.
– *Reproduire un angle.
– *Connaître et utiliser la définition de la bissectrice.
*Le rapporteur est un nouvel instrument de
mesure qu’il convient d’introduire à l’occasion
de la construction et de l’étude des figures.
*La bissectrice d’un angle est définie en
sixième comme la demi-droite qui partage
l’angle en deux angles adjacents de même
mesure. La justification de la construction de la
bissectrice à la règle et au compas est reliée à
la symétrie axiale.
Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en
italiques. Si la phrase en italiques est précédée d’un astérisque l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure.
Dire que l’exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée – bien au contraire !
mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.
Je révise
1:A 2:B 3:B 4:C
Question 1 : Vérifier que les élèves ne comparent pas
les deux angles en utilisant la longueur de leurs côtés.
c.
2.
b.
c.
3.
햴
Angles 햳 et 햹.
a. L’angle 햵 est un angle droit.
Angles aigus : 햴 et 햸.
Angles obtus : 햲 et 햶.
Dans l’ordre croissant :
–햸–햵–햶–햲–햷–햳–햹
Activités
Objectif
Connaître la notation d’un angle, puis l’utiliser dans
une figure plus complexe.
1. a. AGD ou DGA.
b. ULM ou MLU.
c. uOv ou v Ou.
d. rA s ou sAr.
2. a. 햲 : xA y ou yA x.
햳 : yA z ou zA y.
햴 : DBC ou CBD.
햵 : BCD ou DCB.
햶 : FEI ou IEF.
햷 : EID ou DIE.
3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER
I
(ANNEXE 1)
L
K
M
J
b. On marque en vert l’angle LKM.
Objectif
Visualiser des angles et connaître le vocabulaire :
droit, plat, saillant, rentrant, aigu, obtus.
1. a. L’angle 햷 est un angle plat.
b. Angles 햲, 햴, 햵, 햶 et 햸.
70
Utiliser un gabarit d’angle pour donner du sens
à la mesure d’un angle.
2. a. zAt = 2 u
c. rC s = 5 u
=3
b. mBp
u
d. 6 u < vDw < 7 u
Objectif
Apprendre à utiliser un rapporteur pour mesurer ou
construire un angle.
1. a. On peut compter au maximum 180 degrés.
= 180°.
b. xOy
= 90° • 2. a. • xOz
xOu = 30°
•
xOv = 115°
• yOv = 65°
• yOu = 150°
• yOz = 90°
b. Un angle plat mesure 180°.
Un angle droit mesure 90°.
c. Un angle saillant a une mesure comprise entre 0°
et 180°.
Un angle aigu a une mesure comprise entre 0° et 90°.
Un angle obtus a une mesure comprise entre 90° et
180°.
, .
3. a. Angles aigus : ABC
IHG et PQR
.
b. Angles obtus : DEF, JKL et MNO
≈ 20° ;
c. ABC
JKL ≈ 95° ;
DEF ≈ 130° ;
≈170° ;
MNO
IHG ≈ 65° ;
≈ 85°.
PQR
© Éditions Belin, 2009.
Objectif
À l’issue de cette question, on indiquera aux élèves
le savoir-faire 1 page 168 qui donne la méthode pour
mesurer un angle avec un rapporteur.
4. On dégagera la méthode pour construire
un angle de mesure donnée. On peut prendre appui
sur le savoir-faire 2 page 168 du manuel.
Comme le signalent les commentaires du
programme, la construction de la bissectrice
d’un angle à la règle et au compas est reliée à
la symétrie axiale et aux figures usuelles (chapitre 14).
Exercices
Objectifs
– Définir puis construire deux angles adjacents.
– Calculer la mesure d’un angle.
1. a.
1 a. xOy ou yOx : angle aigu.
x
b. EFG ou
c. HJK ou
y
30°
GFE : angle obtus.
: angle obtus.
KJH
angle aigu. En orange : PON
d. En bleu : LMO
angle aigu.
A
45°
2 a. xOu = 45°
z
:
b. Les angles xAy et yOz
• ont le même sommet : le point A,
• un côté commun qui est [A y),
• sont situés de part et d’autre de la demi-droite [A y).
c. xAy = xAy + yA z = 30° + 45° = 75°.
= 40°
b. wOy
d. yOv = 80°
c. xOv = 100°
e. yOu = 135°
= 140°
f. xOw
3 Il s’agit de construire des angles de mesure
donnée. On rappellera aux élèves qu’ils peuvent
utiliser le savoir-faire 2 page 168 du manuel.
2.
y
4 1.
50°
74°
80°
O
x
2. On utilise la méthode du savoir-faire 3
page 169 du manuel.
Objectifs
– Construire deux angles adjacents de même mesure,
puis définir la bissectrice d’un angle.
– Construire la bissectrice d’un angle à l’aide
d’un rapporteur et d’une règle non graduée.
5 Les angles xOy et yOz ont le même sommet O,
un côté commun [Oy) et sont situés de part et
d’autre de ce côté commun ;
yOz sont adjacents.
donc xOy et 1. a. et b. 80° : 2 = 40°.
D
u
6
30°
40°
70°
40°
C
B
2. 124° : 2 = 62°.
bissectrice
de l’angle x Oy
7 1. et 2. 36° : 2 = 18°.
x
62°
O
62°
O
z
18° 36°
18°
y
y
Chapitre
10
Angles
71
© Éditions Belin, 2009.
x
38°
A
F
18 1. À l’échelle 1 :
G
8
2
2. Les angles ETF,
et EVF
ont
EUF
E
38°
E
U
la même mesure
(elle dépend de
la position des points
E et F sur le cercle).
F
T
O
V
19 et 20 On utilisera le savoir-faire 2 page 168.
9 DOCUMENT À PHOTOCOPIER
1. et 2.
R
(ANNEXE 2)
noir
21 DOCUMENT À PHOTOCOPIER
22 Les angles uAw et vBw ont la même mesure.
Ils ne sont pas adjacents car ils n’ont pas
le même sommet.
rouge
S
vert
U
23
bleu
V
(ANNEXE 3)
On utilisera le savoir-faire 3 page 169.
C
T
u
et TRS
sont des angles aigus ; RUV
3. UST, SUR
est un angle obtus.
et 10 Les angles ABC
DEF ont la même mesure.
11
Angles
aigus
Angles
droits
Angles
obtus
Angles
plats
FAD
EBC
BEC
AEC
DAC
FBE
EAF
FBC
; MAP
; PAM
.
12 1. Angles aigus : ALP ; LPA ; PMA
24 1. Les côtés de l’angle rOs sont [Or) et [Os).
Les côtés de l’angle rOt sont [Or) et [Ot).
Les angles rOs et rOt ont donc en commun
le côté [Or).
2. Les angles rOs et rOt ne sont pas adjacents
car ils ne sont pas situés de part et d’autre de
leur côté commun [Or).
t
25
s
; PAM
; MAL
.
Angle obtus : APM
2. L’angle colorié en vert est un angle rentrant.
72°
≈ 30°. DEF
≈ 105°. GHI
≈ 80°. JKL
≈ 110°.
13 ABC
14 햲 : 45°. 햳 : 140°. 햴 : 80°. 햵 : 64°. 햶 : 120°.
15 Angle violet : 35°.
Angle orange : 50°.
≈ 45°
16 EGH
17 1.
r
26 1. et 2. 148° : 2 = 74°.
Angle bleu : 110°.
Angle vert : 70°.
≈ 124°
IHG
≈ 15°
FEH
≈ 53°
FIH
38°
O
t
v
148°
≈ 37°
KFE
≈ 64°
FKG
74°
74°
u
A
L
27 a.
b.
y
≈ 104°
2. LAC
72
42°
60°
A
C
≈ 47°
ALC
≈ 29°
ACL
60°
O
y
x
42°
O
© Éditions Belin, 2009.
x
c.
36 a. L’angle AIB est plat donc : AIB = 180°.
85°
85°
et b. Les angles AIC
CIB sont adjacents, donc :
AIC + CIB = AIB = 180°,
soit : CIB = 180° − 67° = 113°.
y
O
x
37 a. xOy = xOz − yOz = 90° − 34° = 56°.
pour
28 [OC) est la bissectrice de l’angle AOB
b. xOy =
c. xOy =
la figure 1.
29 et 30 Les élèves pourront s’aider du savoir-
xOy = 180° − (71° + 32°)
xOy = 180° − 103° = 77°.
faire 2 page 168 du manuel.
31 1. Les élèves pourront s’aider du savoir-faire 2
page 168 du manuel.
2. EUI = 50° et IFH = 50°.
=
38 a. NDE
SDE − SDN
= 90° − 21° = 69°
NDE
=
+
b. NDE
CDE − (CDM
MDO + ODN)
NDE = 180° − (50° + 30° + 30°)
N
32
xOt + tOy = 90° + 45° = 135°.
+
uOv − (uOx
yOv )
= 180° − 110° = 70°
NDE
4
L
cm
110°
m
3c
À l’oral
39 햲 Angle obtus xOy .
M
33 1.
S
40 IRT = RTI
41 a. 80°
e. 47°
i. 105°
m. 80°
45°
3
cm
100°
42 1. a. 38°
T
2. a. 18°
= 35°.
2. RST
RIT = LIO
= IOS
ILO
b. 122°
f. 116°
j. 100°
c. 180°
g. 144°
k. 180°
d. 43°
h. 123°
l. 30°
b. 86°
b. 32°
c. 152°
c. 89°
d. 136°
d. 58°
= 71° b. GJL
= 68°
43 a. GJL
34 1. Échelle 1 :
V
70°
P
2
50°
U
6 cm
= 71°, donc : LMN = 360° − 71° = 289°.
48 LMN
R
.
햳 Angle aigu uBv
햵 Angle aigu zAt .
햴 Angle obtus CED .
= 100°, donc : MNO = 360° − 110° = 250°.
MNO
NOP = 146°, donc : NOP = 360° – 146° = 214°.
= 60°.
2. PVU
35 1.
49 xOy = 360° − 260° = 100°.
G
zAt = 360° − 324° = 36°.
z
t
y
45°
36°
4,5 cm
2. EGF = 75°.
60°
x
100°
F
A
O
Chapitre
10
Angles
73
© Éditions Belin, 2009.
E
50 1. À l’échelle 1 :
57 Tracer un triangle ABC tel que :
2
E
(IJ) // (FG)
I
F
J
G
58 Voici les autres étapes de construction de
2. a. EIJ ≈ 46° ; IJE ≈ 30° ; IEJ ≈ 104°.
b. EFG ≈ 46° ; FGE ≈ 30° ; FEG ≈ 104°.
c. On constate que les angles des triangles EFG
et EIJ sont deux à deux de même mesure.
51 François calcule le nombre de graduations entre
les côtés [Ox ) et [Oy).
Pour cela, il fait : 125 − 30 = 95. xOy = 95°.
52 1.
2.
3.
4.
la figure :
• Tracer la bissectrice de l’angle EGF ; elle coupe
le côté [EF] en H.
• Tracer la perpendiculaire à la droite (GF)
passant par le point H ; elle coupe le côté [GF]
en I.
59 2. • Tracer un triangle VIE tel que :
VE = 6 cm, IVE = 48° et IEV = 30°.
• Tracer la bissectrice de l’angle VIE ; elle coupe
le côté [VE] en T.
60 2. • Tracer un triangle RST tel que :
= 70°.
RS = 6 cm, ST = 7 cm et SRT
• Placer le point L sur le côté [RS] tel que :
= 15°.
STL
• Tracer la parallèle à la droite (TS) passant par
le point L ; elle coupe le côté [TR] en U.
5. et 6. Impossible.
= CAE
+
53 CAP
EAP = 55° + 125° = 180°.
est un angle plat donc les points C, A et P
CAP
sont alignés.
=
54 ULM
ULC + CLD + DLM
= 40° + 83° + 56° = 179°
ULM
n’est pas un angle plat.
179° ≠ 180°, donc ULM
Ainsi, U, L et M ne sont pas alignés.
55 Un angle plein mesure 360°, ainsi :
61 • Tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm,
puis tracer un diamètre [AB] de ce cercle.
• Placer un point C sur ce cercle tel que :
= 40°.
ABC
62 1.
B
C
E
+
xOy = 360° − (xOz
yOz )
xOy = 360° − (120° + 140°)
xOy = 360° − 260° = 100°
45°
45°
I
56 1. et 2. À l’échelle 1 :
(d )
A
2
A
B
On constate que les trois bissectrices se coupent
en un même point.
3. (IC) est la bissectrice de l’angle EIB, donc elle
le partage en deux angles adjacents de même
mesure.
= EIB = 90° = 45°.
Ainsi : EIC
2
2
=
AIE + EIC = 90° + 45° = 135°.
AIC
© Éditions Belin, 2009.
2. La droite (d) est la médiatrice de [AB], donc
elle est perpendiculaire à (AB).
Comme E appartient à (d), alors :
EIB = 90°.
AIE = C
74
= 40°, AC = 6 cm et AB = 4 cm.
BAC
• Placer le point I qui est le milieu du côté [AB].
• Tracer le segment [IC].
• Tracer la bissectrice de l’angle AIC ; elle coupe
le côté [AC] en J.
63 1. a., b. et d.
66 1. a. Un pentagone a cinq côtés.
v
t
y
b. 360 : 5 = 72.
2. et 3.
x
B
72°
113°
46°
O
E
72°
O
c. xOt =
2. xOv =
xOy − tOy = 113° − 46° = 67°.
xOt + tOv = 67° + 23° = 90°.
Donc l’angle xOv est droit.
64 1., 2. et 4. À l’échelle 1 :
2
72°
72°
C
D
4. EOA = 360° − (72° × 4) = 72°.
5. b. On constate que :
AB = BC = CD = DE = EA.
6. b. On constate que :
AC = CE = EB = BD = DA.
c. [OA) est la bissectrice de l’angle BOE .
D
60°
60°
67 1. a. Un hexagone a six côtés.
4c
m
E
A
(Ꮿ)
A
23°
(d)
B
b. 360 : 6 = 60.
2. et 3.
A
C
B
3. Les points A, B et C sont alignés dans
= 180°.
cet ordre, donc : ABC
= ABC
− ABD
= 180° − 120° = 60°.
CBD
,
5. [BE) est la bissectrice de l’angle ABD
donc elle le partage en deux angles adjacents
120°
=
de même mesure : ABE
= 60°.
EBD =
2
ABC = ABD + DBC
180° = 120° + DBC
= 180° − 120° = 60°.
donc : DBC
= 60°.
Ainsi : EBC = DBC
en deux
La demi-droite [BD) partage l’angle EBC
angles adjacents de même mesure, c’est donc
la bissectrice de l’angle EBC.
(Ꮿ)
60°
60°
O
F
C
60°
60°
60°
E
D
4. FOA = 360° − (60° × 5) = 60°.
5. On constate que :
AB = BC = CD = DE = EF = FA.
68 b. 45°
65 1. • [Ou) est la bissectrice de xOz donc :
2. • [Ov) est la bissectrice de zOy donc :
zOy 110°
= 55°
=
zOv =
2
2
• [Ou) est la bissectrice de xOz donc :
=
uOz
xOu = 35°.
• uOv = uOz + zOv = 35° + 55° = 90°.
est un angle droit.
L’angle uOv
Thème de convergence
69 1. a. 180°
b. 36°
2.
Pourcentage
100
x
Angle
180
36
: 1,8
180 : 100 = 1,8
x = 36 : 1,8 = 20
Les fruits représentent 20 % de l’alimentation du
renard en hiver.
Chapitre
10
Angles
75
© Éditions Belin, 2009.
xOz = 2 × xOu = 2 × 35° = 70°.
• xOy est un angle plat donc : xOy = 180°.
• zOy = xOy − xOz = 180° − 70° = 110°.
70 1. Vrai.
2. Faux (c’est un angle nul).
3. Vrai.
= 180° − 58° − 58° = 64°).
4. Faux (EBC
5. Vrai.
≠
6. Faux (DBE
CBE).
7. Faux (ils ne sont pas situés de part et d’autre
de leur côté commun).
71 Elles ont toutes les deux raison.
Aurélie voit les angles adjacents xOy et yOz .
Sarah voit, par exemple, les angles xOy et xOz
qui ne sont pas adjacents.
72 1. Badiba doit constater que les angles des deux
triangles sont deux à deux de même mesure.
2. Les angles de chaque triangle mesurent
approximativement 42°, 55° et 83°.
76
Pour les curieux
360°
= 30° et 30° × 5 = 150°.
2
À 5 h 00, les aiguilles forment un angle de 150°.
2. a. La petite aiguille fait le tour du cadran en
12 h.
b. 360° : 12 = 30°. La petite aiguille tourne de
30° en une heure.
30° : 60 = 0,5°. La petite aiguille tourne de 0,5°
en une minute.
3. a. La grande aiguille fait le tour du cadran
en 1 h.
b. La grande aiguille tourne de 360° en
une heure.
360° : 60 = 6°. La grande aiguille tourne de 6°
en une minute.
4. À 5 h 20, la petite aiguille est entre le 5 et
le 6 alors que la grande aiguille est sur le 4.
360° : 12 = 30°. L’angle entre le 4 et 5 est de 30°.
0,5° × 20 = 10°. L’angle entre la petite aiguille et
le 5 est de 10°.
30° + 10° = 40°. Les aiguilles forment un angle
de 40° à 5 h 20.
73 1.
© Éditions Belin, 2009.
Argumenter et débattre
Annexe 1
I
3 a.
L
K
M
J
Annexe 2
9
R
S
V
U
T
Annexe 3
21
1
Chapitre
10
Angles
77
© Éditions Belin, 2009.
2