Les filtres fermés des espaces compacte

GAZEÎA
DE
MATEMÂTICA
N , * SO — D e z e m b r o de
l?il
Les filtres fermés
des espaces
par A. A
compacte
Monteiro
Univ. NflCEonfll de Cuyo — Sen Juon — ArgenHna
La famille
de tous les filtres (') d'un réticulé R
a des propriétés qui dépendent des propriétés de U .
ATUO KOMATU [1] a déterminé les propriétés caractéristiques de l'ensemble
dans le cas où R est un
réticulé quelconque. D'autres résultats analogues
ont
été
indiqués
par
(«ARREÎT
BIKKHOFF
et
OBBW
Frimr [2] .
LEOPOLOQ NACHUIN [3] a généralisé et complété les
résultats précédents en indiquant, en particulier, les
propriétés caractéristiques de la famille de tous les
filtres d'une algèbre de PJOOI.K (') et d'une algèbre de
BOOLE généralisée.
Soit 9- la famille de tous les ensembles fermés
d'un espace compact 1 (nous supposons dans cette
note, qu'un espace compact vérifie l'axiome d'HiusDOKFF). Les filtres de SF seront appellés des filtres
fermés de l'espace topologique / (PIERRE SAMUEL [4])_
Nous nous proposons d'indiquer dans eette note, des
propriétés caractéristiques du réticulé
l'our
cela rapellons les définitions suivantes:
A ) Un élément d'un rétieulé R sera dit inférieurement compact (ou plus simplement compact) (L, NACHbin [3]) si étant donnée une famille, non vide,
d'éléments de R telle que
n
x„ Œ x
il existe une partie finie, non vide, Aq de A telle
que
n
C œ
ieAt '—
B ) Un réticulé R ayant un premier élément (0)
sera dit compact si 0 est dit compact.
{ ) Ur, filiru d'au r&tJculâ il elt un« partie, non vld<n. / (le
R lall« que : 1.*) i l I , j 6 f al lors x ( ] y g F ;
2.') 31 I Ç J et
x ç y alors , t /- . Un Furo - ' est propre si
R •
('I ou, ce quo revient au luûme. do lu famille de tous les
systhèmef deductlfs d'uno A I g : r.) d e B o o l e .
C) Un atome d'un réticulé R (ayant un premier
élément) est un élément a e R tel que: 1.*)
0,
2.°) si x c : o , alors ou x => 0 ou x = a ,
D) Un élément x de li sera dit
existe une famille, non vide,
H telle que
Ua
atomique s'il
d'atomes de
= x .
E) Nous dirons qu'un réticulé R, ayant un premier et un dernier élément 1 , vérifie l'axiome de la
normalité, si étant donnés a ,be II tels que a H b *•* 0,
il existe des éléments d j , i i e J i tels que a n l>i =
= 0| n b —
il) u
= 1 ( Voir H. WALLUAN [5]) .
Si nous exigeons, en outre, que les éléments a i ,
vérifient la condition « j f| b) = 0 , nous dirons que
R vérifie i'axiome de la disconnexioh normale.
Nous pouvons maintenant énoncer le résultat suivant :
THÎÎORKMK — Pour qu'un réticulé <>
l soit isomorphe
à la famille
de tous les filtres fermés d'un espace
compact il faut et il suffit que
I) <t> soit distributif
complet et compact.
II) Tout, élément de '!> s oit
compacte, (i)
le produit
d'éléments
III) Des éléments compacts de '1', distincts de
coïncident avec les éléments atomiques de 4>.
IV) * vérifie l'axiome de la normalité.
0
Si nous voulons caractériser la famille de tous les
filtres fermés d'un espace métrisable compact \, il
suffit de remplacer l'axiome II par:
II') Il existe une famille dénombrable li , d'éléments
compacts de <Ii, telle que tout élément de "I" soit le produit d'élémen ts de K .
•
(1) Nous disons que x est le produit des éléments •*, si
- n^i •
96
GAZETA DE MATEMÁTICA .
11 est intéressant de remarquer que
ne peut
vérifier
I'AXIOME
Si
a, be
DE LA
DISJONCTION DE
[1]
IioHATU (ATUO) — On a characterisation of join
bomomorphic transformation-lattice. Proc. Imp.
[2J
RIRKHOFF (GARRETT) a n d FRINK JR. (ORBIN) — R e -
W ALI, M AN, [ 5 ] ,
R sont tels que a f| b=j=a il existe
un élément tei que a n
BIBLIOGRAPHIC
Acad.
I V ) <!• vérifie l'axiome de ta disconnexion normale.
19
(1943),
pp.
119-124.
presentation of lattices by sets. Trans.
j hj f) 6 = 0
à moins que l'espace compact donné I soit formé
par un nombre fini de points.
Four obtenir une caractérisai on de la famille <t>;7
de tous les filtres fermés d'un espace compact totalement disconnexe il suffit de remplacer dans l'énoncé du théorème précédent la condition IV par
Tokyo.
Math.
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*