MP*1-2016/2017 DM5 facultatif Purification par décantation en bassin X-MP-2001-Extrait

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MP*1-2016/2017
DM5 facultatif
X-MP-2001-Extrait
Purification par décantation en bassin
Constantes physiques :
Charge élémentaire 𝑒 = 1,6.10−19 𝐶
Constante de Bolzmann 𝑘𝐵 = 1,38.10−23 𝐽. 𝐾 −1
Nombre d’Avogadro 𝑁𝐴 = 6,02.1023 𝑚𝑜𝑙 −1
1-a) Représenter l’orientation du champ électrique 𝐸⃗ (𝑥) en justifiant votre réponse.
1-b) Quelle est la relation liant le potentiel 𝑉(𝑥) et la charge volumique 𝜌(𝑥) dans la
solution ?
1-c) La solution contient des ions positifs et négatifs de charges +𝑍𝑒 et – 𝑍𝑒. On suppose que
le nombre volumique d’ions de charge 𝑞 = +𝑍𝑒 est 𝑛+ = 𝑛𝑒𝑥𝑝 (−
volumique d’ions de charge 𝑞 = −𝑍𝑒 est 𝑛− = 𝑛𝑒𝑥𝑝 (+
𝑍𝑒𝑉(𝑥)
𝑘𝐵 𝑇
) et le nombre
𝑍𝑒𝑉(𝑥)
𝑘𝐵 𝑇
) ; 𝑘𝐵 est la constante de
Bolzmann et T la température de la solution. Montrer que la charge volumique s’exprime par
𝑍𝑒𝑉(𝑥)
𝜌(𝑥) = −2𝑛𝑍𝑒. 𝑠ℎ (
𝑘𝐵 𝑇
). En déduire l’équation différentielle vérifiée par le potentiel 𝑉(𝑥).
2-a) On appelle 𝑉𝑜 le potentiel à la surface de la particule, considérée comme le plan 𝑥 = 0 et
on pose 𝑉(∞) = 0. Estimer un ordre de grandeur de
𝑘𝐵 𝑇
𝑍𝑒
pour une eau à 300 𝐾 et 𝑍 = 1. A
l’aide d’une argumentation judicieuse, commenter l’ordre de grandeur du résultat obtenu.
2
On se placera dans la suite du problème dans le cas
𝑘𝐵 𝑇
𝑍𝑒
≫ 𝑉𝑜 .
2-b) Simplifier puis résoudre l’équation différentielle vérifiée par 𝑉(𝑥).
𝜀𝑘 𝑇
On posera 𝛼 = √2𝑛𝑍𝐵2𝑒 2. Comment interpréter physiquement cette quantité ?
2-c) Le champ électrique 𝐸⃗𝑜 dans la solution au voisinage de la surface dépend de la densité
𝜎
surfacique de charges 𝜎 sur la surface et de 𝜀. On prendra ‖𝐸⃗𝑜 ‖ = . Relier 𝜎 à 𝑉𝑜 et montrer
𝜀
que cette relation est la même que pour un condensateur plan dont on précisera l’épaisseur.
2-d) Calculer 𝛼 à la température de 300 𝐾 pour une solution d’ions monovalents de
concentrations 0,01 𝑚𝑜𝑙. 𝐿−1 . Conclure sur la modélisation plane proposée par l’énoncé pour
des particules de 0,5 𝜇𝑚 de rayon.
3-a) On peut, toujours dans la modélisation plane mais sans supposer
𝑘𝐵 𝑇
𝑍𝑒
≫ 𝑉𝑜 , calculer
l’énergie potentielle par unité de surface entre d’une particule dans le champ d’une autre
𝐵
l
particule distante de l ; elle est donnée, après calculs, par : 𝑤𝑅 (l) = 𝛼2 exp(− 𝛼) avec 𝐵 =
𝑍𝑒𝑉
64𝑛𝑘𝐵 𝑇𝛼 3 . 𝑡ℎ2 (4𝑘 𝑜𝑇).
𝐵
Donner la dimension de 𝐵 et interpréter physiquement sa dépendance en l.
3-b) Les deux particules interagissent aussi par l’intermédiaire de la force de Van der Waals.
L’énergie potentielle correspondante par unité de surface entre les colloïdes est donnée par
𝐴
𝑤𝐴 (l) = − l2 où A est une constante positive. Il s’agit d’étudier les variations de l’énergie
potentielle totale entre deux colloïdes : 𝑊(l) = 𝑤𝑅 (l) + 𝑤𝐴 (l).
A quelle condition sur 𝐴/𝐵 existe-t-il des extrema de 𝑊(l) ? On précise que la fonction
𝑓(𝑥) =
𝑥3
2
exp(−𝑥) présente un maximum pour 𝑥 = 3 avec 𝑓(𝑥 = 3) = 0,67.
3-c) Déterminer la plus petite valeur (𝐴/𝐵)𝑐 pour laquelle la valeur du maximum est nulle.
3-d) On suppose que le colloïde est stable pour 𝐴/𝐵 < (𝐴/𝐵)𝑐 . On définit 𝑛𝑐 la valeur
critique de 𝑛 pour laquelle la valeur du maximum est nulle. En utilisant l’expression de 𝐵
donnée par l’énoncé, indiquer pour quelles valeurs de 𝑛 le colloïde est stable ou instable.
3-e) Dire simplement pourquoi l’eau de mer est limpide.