1 MP*1-2016/2017 DM5 facultatif X-MP-2001-Extrait Purification par décantation en bassin Constantes physiques : Charge élémentaire 𝑒 = 1,6.10−19 𝐶 Constante de Bolzmann 𝑘𝐵 = 1,38.10−23 𝐽. 𝐾 −1 Nombre d’Avogadro 𝑁𝐴 = 6,02.1023 𝑚𝑜𝑙 −1 1-a) Représenter l’orientation du champ électrique 𝐸⃗ (𝑥) en justifiant votre réponse. 1-b) Quelle est la relation liant le potentiel 𝑉(𝑥) et la charge volumique 𝜌(𝑥) dans la solution ? 1-c) La solution contient des ions positifs et négatifs de charges +𝑍𝑒 et – 𝑍𝑒. On suppose que le nombre volumique d’ions de charge 𝑞 = +𝑍𝑒 est 𝑛+ = 𝑛𝑒𝑥𝑝 (− volumique d’ions de charge 𝑞 = −𝑍𝑒 est 𝑛− = 𝑛𝑒𝑥𝑝 (+ 𝑍𝑒𝑉(𝑥) 𝑘𝐵 𝑇 ) et le nombre 𝑍𝑒𝑉(𝑥) 𝑘𝐵 𝑇 ) ; 𝑘𝐵 est la constante de Bolzmann et T la température de la solution. Montrer que la charge volumique s’exprime par 𝑍𝑒𝑉(𝑥) 𝜌(𝑥) = −2𝑛𝑍𝑒. 𝑠ℎ ( 𝑘𝐵 𝑇 ). En déduire l’équation différentielle vérifiée par le potentiel 𝑉(𝑥). 2-a) On appelle 𝑉𝑜 le potentiel à la surface de la particule, considérée comme le plan 𝑥 = 0 et on pose 𝑉(∞) = 0. Estimer un ordre de grandeur de 𝑘𝐵 𝑇 𝑍𝑒 pour une eau à 300 𝐾 et 𝑍 = 1. A l’aide d’une argumentation judicieuse, commenter l’ordre de grandeur du résultat obtenu. 2 On se placera dans la suite du problème dans le cas 𝑘𝐵 𝑇 𝑍𝑒 ≫ 𝑉𝑜 . 2-b) Simplifier puis résoudre l’équation différentielle vérifiée par 𝑉(𝑥). 𝜀𝑘 𝑇 On posera 𝛼 = √2𝑛𝑍𝐵2𝑒 2. Comment interpréter physiquement cette quantité ? 2-c) Le champ électrique 𝐸⃗𝑜 dans la solution au voisinage de la surface dépend de la densité 𝜎 surfacique de charges 𝜎 sur la surface et de 𝜀. On prendra ‖𝐸⃗𝑜 ‖ = . Relier 𝜎 à 𝑉𝑜 et montrer 𝜀 que cette relation est la même que pour un condensateur plan dont on précisera l’épaisseur. 2-d) Calculer 𝛼 à la température de 300 𝐾 pour une solution d’ions monovalents de concentrations 0,01 𝑚𝑜𝑙. 𝐿−1 . Conclure sur la modélisation plane proposée par l’énoncé pour des particules de 0,5 𝜇𝑚 de rayon. 3-a) On peut, toujours dans la modélisation plane mais sans supposer 𝑘𝐵 𝑇 𝑍𝑒 ≫ 𝑉𝑜 , calculer l’énergie potentielle par unité de surface entre d’une particule dans le champ d’une autre 𝐵 l particule distante de l ; elle est donnée, après calculs, par : 𝑤𝑅 (l) = 𝛼2 exp(− 𝛼) avec 𝐵 = 𝑍𝑒𝑉 64𝑛𝑘𝐵 𝑇𝛼 3 . 𝑡ℎ2 (4𝑘 𝑜𝑇). 𝐵 Donner la dimension de 𝐵 et interpréter physiquement sa dépendance en l. 3-b) Les deux particules interagissent aussi par l’intermédiaire de la force de Van der Waals. L’énergie potentielle correspondante par unité de surface entre les colloïdes est donnée par 𝐴 𝑤𝐴 (l) = − l2 où A est une constante positive. Il s’agit d’étudier les variations de l’énergie potentielle totale entre deux colloïdes : 𝑊(l) = 𝑤𝑅 (l) + 𝑤𝐴 (l). A quelle condition sur 𝐴/𝐵 existe-t-il des extrema de 𝑊(l) ? On précise que la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥3 2 exp(−𝑥) présente un maximum pour 𝑥 = 3 avec 𝑓(𝑥 = 3) = 0,67. 3-c) Déterminer la plus petite valeur (𝐴/𝐵)𝑐 pour laquelle la valeur du maximum est nulle. 3-d) On suppose que le colloïde est stable pour 𝐴/𝐵 < (𝐴/𝐵)𝑐 . On définit 𝑛𝑐 la valeur critique de 𝑛 pour laquelle la valeur du maximum est nulle. En utilisant l’expression de 𝐵 donnée par l’énoncé, indiquer pour quelles valeurs de 𝑛 le colloïde est stable ou instable. 3-e) Dire simplement pourquoi l’eau de mer est limpide.