cours 3 3 dse

III.3 DEFORMATION DES STRUCTURES ELASTIQUES
T.MESSAOUDI 1
LES THEOREMES DE L'ENERGIE
APPLIQUES AUX STRUCTURES.
1. Théorème de CASTIGLIANO :
Le théorème de CASTIGLIANO établit une
relation entre les déplacements et le potentiel interne.
Pour l’établir, on part de l’égalité de Clapeyron et on
calcule plus explicitement le travail des forces
extérieures.
La dérivée partielle du potentiel interne par
rapport à une action quelconque est égale au
déplacement du point d’application de cette action
mesurée algébriquement sur la ligne d’action de
celui-ci.
Pour une force ponctuelle F
k
, le déplacement k
est ainsi :
Pour un moment ponctuel M
k
, la rotation 
est ainsi :
En conséquence, si l’on souhaite calculer le
déplacement  (ou rotation) d’une section ∑ d’une
poutre dans une direction donnée, on applique une
force fictive F
∗
(ou moment fictif M
∗
) dans la section
∑ suivant cette direction. On aura alors :
Le théorème de Castigliano donne le
déplacement généralisé sous cette forme avec
We : l’énergie de la structure
F
k
, M
k
:l’effort extérieur généralisé
2. Démonstration du théorème
L’énergie de déformation est donnée par :
…..(1)
Calculons ∆ dans le point d’application de P
2
L’accroissement de L’énergie de déformation :
 = 
L’énergie totale est :
= + = +
La poutre est considérée composée des matériaux
élastiques linéaires : donc indépendamment de l'ordre
dans lequel les forces :P
1
, (P2+dP
2
) et P
3
sont
appliquées, l’énergie emmagasinée doit être la même.
Considérons que dp2 est appliquée avant P
1
, P
2
et P
3
et si ∆ est le déplacement correspondant dans le
point d’application de dP
2
du à dP
2
, l’nérgie de
déformation est donnée par : ∆ et les forces
P
1
, P
2
et P
3
sont ensuite appliquées causant
respectivement des déplacements additionnels
∆ ,∆ ,∆ dans ces point d’applications
L’énergie emmagasinée pendant l’application de dP
2
suivie par P
1
, P
2
et P
3
est :
=1
2
∆ + ∆ +1
2
∆ +1
2
∆ +1
2
∆
Puisque dP2 reste constant ; donc
= ∆ +1
2
∆ +1
2
∆ +1
2
∆
De L’équation (1):
=  ∆ +
Donc :
+ = ∆ +
D’où :
= ∆
Qu’est l'énoncé mathématique du second théorème de
Castigliano
2.1. Application aux treillis :
Ou
2.2. Application aux poutres :
Ou
Et
2.3. Application aux portiques :
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et
Quand l’effet de la déformation axiale est négliges :
et
Réciprocité du travail
W
11
: le travail produit par
F
1
sur les déplacements issus de F
1
W
22
: le travail produit par
F
2
sur les déplacements issus de F
2
W
12
: le travail produit par
F
1
sur les déplacements issus de F
2
On obtient la relation de réciprocité du travail :
W
12
= W
21
Réciprocité des déplacements
=
3. Théorème de Mohr-Maxwell
Soit un barre encastrée-libre sollicitée par des
forces axiales dont on cherche le déplacement à
l’extrémité libre, et dont la sollicitation axiale est
alors N(x).
On va d’abord considérer cette barre subissant
uniquement un effort fictif 1 donnant W
21
= 1 x  .
L’effort fictif crée une sollicitation axiale n(x) et le
déplacement associé
∆() = ()
Le travail de N(x) avec le déplacement issu
de l’effort fictif donne :
= N(x) ∆(dx) ="()
( )
Comme les efforts fictifs sont adimensionnels
et les deux travaux réciproques, on a :
= #
"()
( )
$
Par extension,
avec k un coefficient dépendant de la forme de la
section.
4. Méthode grapho-analytique
On cherche à calculer les intégrales de Mohr-
Maxwell sans passer par la lourdeur de l’intégrale.
Cette méthode ne marche que sur des barres droites
puisqu’elle nécessite des sollicitations n(x) issues de
l’effort fictif linéaires Soit :
A
M
l’aire sous la courbe de M
x
G
le centre de gravité de l’aire AM
4.1. Intégrales de Mohr :
C’est un formulaire d’intégrations de la
multiplication de deux équations
.
Il permet de se passer des calculs mathématiques
lors de l’utilisation du théorème de Müller-Breslau.
Juste en traçant les diagrammes des moments M(x) et
m(x), et grâce à ce formulaire, on détermine très
simplement la valeur du déplacement souhaité.
5. Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti
5.1. Démonstration du théorème de Maxwell-
Betti pour une poutre isostatique
Ce théorème se déduit de l’égalité de Clapeyron
en considérant deux systèmes de chargement
appliqués à la même structure.
Le travail produit par un système de chargement
S1 sur une structure dans le champ de déplacement
dû à un système de chargement S2 est égal au travail
du système de chargement S2 dans le champ de
déplacement dû à S1.
Le déplacement (ou la rotation) produit en i par
une force (ou couple) unitaire agissant en j est égal au
déplacement (ou la rotation) produit en j par la force
(ou couple) unitaire agissant en i.
5.2. Conclusion et théorème

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6. Exemples
Exemple 01 :
En appliquant la méthode de CASTIGLIANO
Déterminez le déplacement vertical (en B)
Exemple 02 :
En appliquant la méthode de MAXWELL-
MOHR
Déterminez le déplacement vertical en A et la
rotation en A
7. Application TD
Exercice 01:
En appliquant la méthode de MAXWELL-
MOHR
Calculer les déplacements de A et de B.
On donne : P = 30 kN, Q= 150 kN, E= 70 GPa
Exercice 02:
En appliquant la méthode de MAXWELL-
MOHR, déterminez l’expression littérale du
déplacement vertical et de la rotation en C
P=1425N, E=210 GPa, L=1m, et d=40mm.
Exercice 03:
En appliquant la méthode de MAXWELL-
MOHR
Calculez la valeur du déplacement vertical et
horizontal du point C : P
D
=P
E
= 50 KN
E=200GPa et A=1500mm2
Exercice 04:
En appliquant la méthode de MAXWELL-MOHR
Déterminez la rotation en C
Exercice 05:
En appliquant la méthode de CASTIGLIANO
Déterminez la flèche (en C):
E=200 GPa I=8.10
8
mm
4
Exercice 06:
En appliquant la méthode de CASTIGLIANO
1. Déterminez le déplacement horizontal (en B)
EI=1,5.10
5
KN.m
2
Exercice 07:
En appliquant la méthode de CASTIGLIANO
Calculez la valeur du déplacement vertical du point
B
E=200GPa et A=1200mm
2
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8. Tableau donnant les valeurs des Intégrales de Mohr :