pour tout scalaire λ > 0.Il suffit donc de v´erifier l’in´egalit´e ν(T, ψ)≤ν(T, ϕ)
sous l’hypoth`ese lim sup ψ/ϕ < 1.Pour tout c > 0,on consid`ere la fonction psh
uc= max(ψ−c, ϕ).Soit r < Rϕfix´e et a < r. Pour c > 0 assez grand, on a uc=ϕ
sur ϕ−1([a, r]),donc
ν(T, ϕ, r) = ν(T, uc, r)≥ν(T, uc).
L’hypoth`ese lim sup ψ/ϕ < 1 implique d’autre part qu’il existe t0<0 tel que
uc=ψ−csur {uc< t0}.On en d´eduit aussitˆot
ν(T, uc) = ν(T, ψ −c) = ν(T, ψ),
par cons´equent ν(T, ψ)≤ν(T, ϕ).⊔⊓
Supposons en particulier que Xsoit une vari´et´e de Stein lisse et xun point
de X. Soit zk= (zk
1,...,zk
n), k = 1,2,des syst`emes de coordonn´ees locales
centr´ees au point xet
ϕk(z) = log |zk|= log|zk
1|2+...+|zk
n|21/2.
On a limz→xϕ2(z)/ϕ1(z) = 1,donc ν(T, ϕ1) = ν(T, ϕ2) d’apr`es le th´eor`eme 2.1.
Corollaire 2.2. — Les nombres de Lelong classiques ν(T, x)sont invari-
ants par changement de coordonn´ees locales.
De mani`ere g´en´erale, si Xest un espace analytique, on d´efinira ν(T, x) par
ν(T, x) = νT, 1
2log X
1≤j≤N
|gj|2,
o`u (gj)1≤j≤Nest un syst`eme g´en´erateur de l’id´eal maximal MX,x ⊂ OX,x ; cette
d´efinition est ind´ependante du choix des (gj).
Corollaire 2.3. — Sur un ouvert de Cn,les nombres de Lelong direc-
tionnels sont li´es aux nombres de Lelong classiques par
ν(T, x) = ν(T, x, a1), a1= (1,...,1).
D´emonstration. — Par d´efinition, le nombre ν(T, x) est associ´e au poids
ϕ(z) = log |z−x|et ν(T, x, a1) au poids ψ(z) = log max |zj−xj|.Il est clair que
limz→xψ(z)/ϕ(z) = 1,d’o`u la conclusion d’apr`es le th´eor`eme 2.1. ⊔⊓
3. Th´eor`eme de Thie
On suppose ici que Xest une vari´et´e analytique complexe de dimension n
et que Test le courant d’int´egration sur un ensemble analytique ferm´e A⊂Xde
dimension pure p(cf. P. Lelong[Le1]); on notera suivant l’usage T= [A].Nous
nous proposons de red´emontrer le r´esultat de P.Thie[Th] donnant l’interpr´etation
des nombres de Lelong ν([A], x) comme multiplicit´es de l’ensemble analytique A .
Soit x∈Aun point fix´e et IA,x l’id´eal des germes de fonctions holomorphes
en xs’annulant sur A . On peut alors trouver sur Xdes coordonn´ees locales
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