Mouvement des planètes et des satellites Loi de la gravitation

Mouvement des planètes et des satellites
I)
Loi de la gravitation universelle
1) Enoncé
Tous les corps massiques s'attirent mutuellement. Cette interaction gravitationnelle, due à la masse, est
universelle : elle s'applique à tous les objets de l'Univers.
Deux objets A et B, de masses respectives mA et mB, et dont les
centres sont séparés d'une distance d, exercent l'un sur l'autre des
actions mécaniques attractives modélisées par des forces, appelées
forces d'attraction gravitationnelle, de même intensité.
L'expression vectorielle de ces forces est donné par:
Dans cette expression:
est le vecteur unitaire porté par la droite (AB), orienté de B vers A.
G est la constante de gravityation universelle: G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2.
FA/B et FB/A s'expriment en newton (N), mA et mB en kilogramme (kg) et d en mètre (m).
Application: calculer l'intensité de la force d'attraction gravitationnelle qui modélise l'action mécanique de la
Terre (de masse MT = 5,98.1024 kg) sur la Lune (de masse ML = 7,35.1022 kg), distantes de d = 3,84.105 km.
2) Vecteur accélération et mouvement
Dans le référentiel héliocentrique et dans le cadre de l'approximation des
trajectoires circulaires, une planète de centre P de masse m tourne autour
du Soleil de centre S, de masse M, selon une orbite circulaire de rayon r.
on considèrera qu'elle n'est soumise qu'à l'action mécanique exercée par le
Soleil, qui se modélise par la force gravitationnelle (on néglige l'influence
des autres astres, soit très éloignés, soit de masse très inférieure à celle du
Soleil).
D'après la deuxième loi de Newton, on peut écrire:
Soit 
Le vecteur accélération de la planète de
centre P est dirigé vers le centre S du
Soleil.
Plus généralement, une planète ou un satellite tournant autour de son astre attracteur a un vecteur accélération
dirigé vers le centre de sa trajectoire circulaire. Comme , son mouvement est circulaire uniforme.
Pour un mouvement circulaire uniforme, les valeurs de l'accélération et de la vitesse d'une planète ou d'un
satellite sont reliées par l'égalité: 
3) Vitesse d'une planète ou d'un satellite
D'après ce qui précède, le mouvement étant circulaire uniforme, on a:
 et par conséquent 
La vitesse d'une planète ou d'un satellite sur une orbite circulaire autour d'un astre attracteur ne dépend que de
la masse M (en kg) de l'astre attracteur et du rayon r de l'orbite circulaire (en m).
Dans le cas d'un satellite terrestre, le référentiel est géocentrique et on note : r = RT + h, où RT désigne le rayon
de la Terre (RT = 6,37.106 m) et h l'altitude du satellite en mètre (m).

Application:
Les satellites géostationnaires sont des satellites en orbite circulaire à une
altitude h = 3,58.104 km de la Terre (de masse MT = 5,98.1024 kg). Ils
possèdent la particularité d'être toujours positionnés au-dessus du même
point de la surface de la Terre. La vitesse de tels satellites est :
Les satellites de télécommunication
sont des satellites géostationnaires
4) Période de révolution
La période de révolution T d'une planète ou d'un satellite est la durée qu'il
lui faut pour accomplir un tour complet sur son orbite.
Si l'orbite décrite par une planète ou un satellite est un cercle de rayon r, la
distance parcourue pendant la durée T est la circonférence du cercle soit
2R.
On en déduit donc que: 
Alors
 .
On peut ainsi déterminer la période de révolution de toutes les planètes du
système solaire connaissant leur distance au Soleil (tableau ci-contre).
Planète
Période (jours)
Mercure
88
Vénus
225
Terre
365
Mars
687
Jupiter
4 333
Saturne
10 759
Uranus
30 685
Neptune
60189
 19; 20 p 125
II) Lois de Kepler
Au XVII° siècle, Johannes Kepler (1571-1630) constate que les planètes
tournent autour du Soleil selon des trajectoires qui ne sont pas parfaitement
circulaires et énonce trois lois pour décrire leur mouvement.
 Première loi de Kepler: dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire
d'une planète est une ellipse et le centre du Soleil occupe un des deux
foyers. On dit que l'orbite est elliptique.
 Deuxième loi de Kepler : le segment reliant le Soleil à la planète
balaye des aires égales pendant des durées égales.
La vitesse d'une planète n'est donc pas constante: elle augmente
lorsque la planète se rapproche du Soleil et diminue lorsqu'elle s'en
éloigne.
 Troisième loi de Kepler : le rapport du carré de la période de
révolution de la planète par le cube du demi grand axe de son orbite
est constant: 
.
La constante ne dépend que de l'astre attracteur et vaut 
 .
Déduire de cette troisième loi de Kepler l'expression de la période d'un
satellite.
Le centre d'une planète P décrit une
ellipse de foyers F et F' (à chaque
instant, PF + PF' = 2a)
Si les durées t et t' sont égales, les
aires balayées par la planète A1 et
A2 sont égales.
 11; 12 p 123 26; 28 p 127