Statistiques du nombre de cycles d`une permutation

∗ †
{1,...,n}
nSn
{1, . . . , n}σ
(σ)σ cn(k)Sn
k cn(k)
PnkSnk
nln n
cn(k)n
n
cn(k)Snk
Pn
Pn(q) =
n
X
k=1
cn(k)qk=X
σ∈Sn
q(σ).
Pn(q) = q(q+ 1)(q+ 2) ···(q+n−1)
∗
†

SnP0
n(1)
n!=P0
n(1)
Pn(1)
Pn1
Hn= 1 + 1
2+··· +1 n.
nln n
PnSn
µ1 + 1
2+··· +1 n¶−µ1 + 1 22+··· +1 n2¶
ln n√ln n
cn(k)
σ∈Sn(σ) = k σ(n)
σ(n) = n
{1, . . . , n−1}(k−1) n cn−1(k−1)
σ(n)m n n
σ2n m
τ{1, . . . , n−1}n
τ k σ τ
m τ m n m
cn−1(k)k σ(n)m < n
cn(k) = cn−1(k−1) + (n−1)cn−1(k)cn−1(0) = cn−1(n) = 0
k1n
Pn(q) =
n
X
k=1
cn(k)qk=
n−1
X
k=1
cn−1(k)qk+1 + (n−1) ·
n−1
X
k=1
cn−1(k)qk= (q+n−1) ·Pn−1(q).
P1(q) = q
n[n] = {0, . . . , n −1}Sn= [1] ×[2] ×···×[n] [n]n
Snn!
F:Sn→Sn, σ 7→ (F1(σ), F2(σ), . . . , Fn(σ))
σ∈Sn
(σ) = ©i∈ {1, . . . , n} | Fi(σ) = 0 ª=δ0(F1(σ)) + ··· +δ0(Fn(σ))
δ01 0 0 F
Pn(q) = X
(ki)∈Sn
qδ0(k1)+···+δ0(kn)=
n
Y
i=1 Ãi−1
X
k=0
qδ0(k)!=q(q+ 1) ···(q+n−1).
FB:
Sn→Sn:Sn→Sn
F=◦ B

B
σ∈Snσ(i)σ(j)< σ(i)j < i
σ(i)σ i
1n
σ
B B−1
σSn
σ(1), σ(2), . . . , σ(n)
σ(1)
1
n k σ
324179856
3 2 4 1 7 9 8 5 6
(3,2) (4,1) B−1(σ)
B−1(σ)
σB−1(σ)
3 2 4 1 B−1(σ)
σB−1
Bτ∈Sn
τ
σ
B−1(σ) = τB◦B−1
B:Sn→Snk
k
:Sn→Sn, σ 7→ (1(σ),2(σ), . . . , n(σ))
i(σ)j < i σ(j)> σ(i)σ(i)σ
i(σ) = 0 (σ)σ
(σ) = ©i∈ {1, . . . , n} | i(σ) = 0 ª=δ0(1(σ)) + ··· +δ0(n(σ))
:Sn→Sn
(σ) = 1(σ)+···+n(σ)σ
ε(σ)ε(σ) = (−1) (σ)
X
σ∈Sn
x(σ)y(σ)=
n
Y
i=1
(y+x+x2+··· +xi−1).
x=y= 2 Pσ∈Sn2(σ)+ (σ)= 2n(n+1)/2

a=b
A a B b
A B a =b
q
Aq,n q(q+ 1) ···(q+n−1)
G0
q,n :Aq,n →Sn
σ∈Sn,(G0
q,n)−1(σ) = q(σ).
G0
q,n
Gq,n :Aq,n →Sn
σ∈Sn, G−1
q,n(σ) = q(σ).
G0
q,n Gq,n B
q= 1 Aq,n =Sn
Gq,n =
q= 2
q= 2 A2,n (n+ 1)!
A2,n =Sn+1 G2,n
σ∈Sn+1 σ σ0∈Sn
σ0(i)
©σ(1), σ(2), . . . , σ(i+ 1) ª\©σ0(1), . . . , σ0(i−1) ª.
2
σ(i+ 1)
σ i σ(i+ 1) σ σ0(i) = σ(i+ 1)
σ0(i)σ
σ σ(1) σ(2)
σ
n+ 1
σ0σ
σ n + 1
P(X)X
f:Sn+1 →Sn× P({1, . . . , n}), σ 7→ (σ0,(σ)\{n+ 1})
(σ)σ
N?

f(τ, A)
A(τ)
σ n+1 σ0f
(τ, A)
A⊂(τ)f
f
τ
A
n+ 1
Sn(τ, A)
k
τ
k
n+ 1 k
G2,n :Sn+1 →Snσ7→ σ0
q= 2
m=q−1S[n+1,n+m]Sn+m
1,2, . . . , n S[n+1,n+m]
{n+1, . . . , n+m}m Aq,n
S[n+1,n+m]\Sn+mSn+m
S[n+1,n+m]Sn+mS[n+1,n+m]·σ σ ∈Sn+m
Sn+mS[n+1,n+m](m+n)!
m!= (m+ 1)(m+ 2) ···(m+n) =
q(q+ 1) ···(q+n−1)
Gq,n :Aq,n →Snm
σ∈Sn+mσ(i)06i<n+m
σ(0) =σ σ(i+1) σ(i)σ(i)∈Sn+m−i
σ(m)∈Sn
∀σ∈Sn+m,∀τ∈S[n+1,n+m],(τ◦σ)(m)=σ(m).
σ7→ σ(m)Gq,n :Aq,n →Sn
τ∈Snq(τ)Gq,n
fmσ∈Sn+mfm(σ) = (σ(m), gm(σ))
gm(σ) : (σ(m))→[q] = {0,1, . . . , m}r σ(m)
i r σ(i)fm:Sn+m→Eq,n
Eq,n (τ, g)τ∈Sng(τ)
[q] = {0, . . . , m}
σ∈Sn+mτ∈S[n+1,n+m]fm(τ◦σ) = fm(σ)
Aq,n →Eq,n fm
6n:S[n+1,n+m]\Sn+m→[m+ 1] × ··· × [m+n]σ7→ (k1(σ), . . . , kn(σ)) k1<
k2<··· < knσ(ki)6n
τ∈S[n,n+m]