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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/19
Centrale Physique 1 PC 2005 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Florian Iglésias (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE)
Cette épreuve se compose de quatre parties pratiquement indépendantes qui
mènent l’étude d’un capteur interférométrique de déplacement.
•La première partie est, de loin, la plus facile. Elle porte sur l’analyse d’une
lame à faces parallèles et fait appel aux notions de base sur la réflexion et
la réfraction d’ondes électromagnétiques à l’interface entre deux diélectriques ;
on y étudie les réflexions multiples à l’intérieur d’une lame à faces parallèles.
•Dans la deuxième partie, on se concentre sur les interférences à deux ondes
provoquées par une lame d’air. Les cas d’une source ponctuelle et d’une source
large sont abordés en premier lieu. La fin de la partie est bien plus originale et
nécessite une analyse assez fine de graphiques expérimentaux.
•On poursuit dans la troisième partie en s’intéressant à un coin d’air. L’étude de
données expérimentales qui y est proposée n’est pas triviale et reste originale.
•La quatrième partie aborde une autre méthode d’analyse optique de la cavité
constituée par le coin d’air étudié précédemment. La résolution y est plus facile,
mais assez calculatoire.
Ce sujet est typique de la filière PC au concours Centrale-Supélec : il est long
mais de difficulté croissante, il est également très original car tiré d’un article de
recherche récent. S’il est peu calculatoire, ce problème nécessite de la réflexion et du
sens physique.
Pour vraiment réussir une telle épreuve, il faut non seulement très bien connaître
son cours, en particulier celui sur les interférences, mais aussi savoir analyser des ré-
sultats expérimentaux. Il est alors indispensable de passer du temps sur les questions
difficiles afin de bien comprendre l’énoncé et d’avancer dans le problème.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/19
Indications
Partie I
I.C.2 Regarder soigneusement le trajet parcouru par le rayon considéré en tenant
compte des différentes réflexions et traversées des interfaces.
Partie II
II.A.2.c Calculer la différence de marche S2M−S1Mpuis effectuer un développement
limité en ρ
DT+
−a/2. Terminer le calcul en remarquant que a≪D.
II.A.2.e Remarquer que pour un anneau K quelconque, l’ordre d’interférence est
p=p0−K.
II.A.4.e Utiliser les différentielles logarithmiques pour évaluer l’incertitude.
II.A.4.h Utiliser les formules de grandissement avec origine au foyer. On peut les
retrouver à l’aide d’une construction géométrique.
II.A.4.i Utiliser les questions II.4.g et II.4.h.
II.B.2.1 Utiliser la question II.A.3 pour déterminer la relation ρen fonction de e
qu’il faut ensuite différentier. Constater que p0/p ≈1.
II.B.2.a Certains pics du profil A sont situés « après » ceux du profil B alors que
d’autres sont situés « avant ».
Partie III
III.A.3 Il faut utiliser l’équivalence
cos x=y⇐⇒ x=+
−Arccos y+ 2mπ avec m∈Z
Cette remarque est essentielle pour la suite.
III.B.1 La variation d’épaisseur est d’abord rapide puis se ralentit, ce qui fait varier
la période des oscillations lors de la phase d’excitation. La même chose se
produit pendant la relaxation.
III.B.2.b L’épaisseur diminue ainsi que I(x, y). En déduire la solution qui convient
pour e(x, y).
III.B.3 Utiliser la continuité de epour trouver l’entier mcaractérisant la solution.
III.B.4 Reprendre les raisonnements précédents en remarquant que eaugmente.
Bien comprendre ce qui se passe en tfin .
Partie IV
IV.B Effectuer un développement de Taylor à l’ordre 2 de φ(t+ ∆t).
IV.D Utiliser les relations trigonométriques pour simplifier le rapport et éliminer
les termes en φ.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/19
I. Présentation du dispositif
I.A.1 La relation de passage qui exprime la continuité du champ électrique à la
traversée d’une interface entre deux milieux 1 et 2, s’écrit pour la composante tan-
gentielle
−→
ET2 −
−→
ET1 =−→ 0
L’onde est plane, progressive et se propage selon −→ ez. Le champ électrique est alors
transverse, c’est-à-dire perpendiculaire à la direction de propagation ; il est donc
tangent à l’interface z= 0. La relation de passage s’écrit alors
−→
Ei+−→ Er=−→ Etr
Pour une onde plane progressive, monochromatique et polarisée rectilignement se
propageant selon −→ ez, le champ électrique s’écrit
−→
Ei=−→ E0iej(ωt−kz)
De même −→ Er=−→ E0rej(ωt+kz)
puisque l’onde réfléchie se propage selon −−→ ez. De plus,
−→
Etr =−→ E0trej(ωt−kz)
La relation de passage écrite en z= 0 donne
−→
E0i +−→ E0r =−→ E0tr
I.A.2 La relation de passage qui exprime la continuité du champ magnétique à
la traversée d’une interface entre deux milieux 1 et 2, s’écrit pour la composante
tangentielle
−→
BT2 −
−→
BT1 =µ0
−→
S∧−→ n1→2
où −→ Sest le vecteur densité de courant surfacique et −→ n1→2, le vecteur unitaire normal
à l’interface. En l’absence de courant surfacique,
−→
BT2 −
−→
BT1 =−→ 0
On obtient donc comme dans la question précédente
−→
B0i +−→ B0r =−→ B0tr
Rappelons qu’il existe deux autres relations de passage impliquant les com-
posantes normales de −→ Eet −→ B. La relation de passage à l’interface entre
deux diélectriques concernant la composante normale de −→ En’est pas au
programme de la filière PC. Pour le champ magnétique cette relation est
−→
BN2 −
−→
BN1 =−→ 0. Elle est trivialement vérifiée puisque −→ BN2 =−→ BN1 =−→ 0.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/19
Pour une onde plane et progressive se propageant dans un milieu diélectrique
transparent d’indice nselon la direction de propagation −→ u, la relation de structure
qui exprime le champ magnétique est
−→
B = n
c(−→
u∧
−→
E )
On a donc, en représentation complexe,
−→
Bi=n1
c(−→
ez∧
−→
Ei)
L’onde réfléchie se propageant suivant −−→ ez, il vient
−→
Br=−n1
c(−→
ez∧
−→
Er)et −→ Btr =n2
c(−→
ez∧
−→
Etr)
En écrivant la relation de passage en z= 0, on obtient
n1
c
−→
ez∧(−→ E0i −
−→
E0r) = n2
c
−→
ez∧
−→
E0tr
Comme le champ électrique est orthogonal à −→ ez, cela implique
n1(−→ E0i −
−→
E0r) = n2
−→
E0tr
I.A.3 Les questions I.A.1 et I.A.2 permettent d’écrire les relations
1 + r1→2=t1→2et n1(1 −r1→2) = n2t1→2
soit n1(1 −r1→2) = n2(1 + r1→2)
d’où r1→2=n1−n2
n1+n2
Or t1→2=n1
n2
(1 −r1→2)
Il vient finalement t1→2=2n1
n1+n2
I.B L’application numérique donne alors
r1=n0−n
n0+n=−0,2et r2=n−n0 n0+n= 0,2
t1=2n0
n0+n= 0,8et t2=2n n0+n= 1,2
On remarque que r1est négatif. On en conclut que la réflexion d’une onde élec-
tromagnétique sur une interface air/verre s’accompagne d’un déphasage de π.
I.C.1 Par définition de r1,s0
sincident
=r1
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