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X Physique A PC 2012 — Énoncé 1/5
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2012 FILIÈREPC
COMPOSITIONDEPHYSIQUE–A–(XE)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
Onse contentera,pourlesapplicationsnumériques,d’un seulchiffresignificatif.
⋆ ⋆ ⋆
Oscillationsd’unebulle
Ceproblème étudielespropriétésacoustiquesd’unebulled’airausein d’un volumed’eau.Il
abordesuccessivementlesoscillationslibresdelabulle,puislesoscillationsforcées.Onmodélise
ensuitel’amortissementde cesoscillations.Lesrésultatsthéoriques sontfinalementcomparés
avec desdonnéesexpérimentales.
Onconsidèreunebulled’airplongée dansun grand volumed’eau.Danstoutleproblème,on
négligel’effetdela gravité etonconsidèrel’aircommeun gazparfait.
Donnéesnumériques
Coefficientadiabatiquedel’air:γ=CP/CV=1,4
Pressionatmosphérique:P0=1,0×105Pa
Massevolumiquedel’eau:ρ0=1,0×103kg·m−3
Vitessedu son dansl’eau:cs=1,5×103m·s−1
I.Oscillationslibresd’unebulled’air
Al’équilibre, labulle estsphérique,derayonR0,etlapressionestpartoutégaleàP0.
Onétudielesoscillationsradialesdelabulleautourdesaformed’équilibre.Onsupposeque
cesoscillationsconserventlasymétriesphérique.On noteR(t)=R0+r1(t)lerayon dela
bulleàl’instantt,avec |r1(t)|≪R0.Le champ depressionestP(r,t)=P0+p1(r,t)(avec
|p1(r,t)|≪P0),rdésignantladistance aucentredelabulle.
Danscettepartie,onassimilel’eauàun fluideincompressible etsansviscosité.
I.1Onsupposedanstoutleproblèmequelapression del’airàl’intérieurdelabullereste
homogèneàtoutinstant,etquesestransformations sontadiabatiqueset réversibles.On note
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X Physique A PC 2012 — Énoncé 2/5
pa(t)lavaleurdep1(r,t)pourr≤R(t).Exprimerlarelationentrelapressionetlevolumede
labulle,puislarelationentrepa(t)etr1(t).Linéarisercetterelationeten déduirelarelation de
proportionnalité entrepa(t)etr1(t).
I.2Lapressionextérieure estégaleàP0.Lorsd’unevariationdVadu volumedelabulled’air,
montrerqueletravail desforcesdepressions’exerçantsurlevolumed’eauentourantlabulle est
padVa.
I.3En déduirequelesforcesdepressions’exerçantsurl’eau dériventd’une énergiepotentielle
qu’onécrirasouslaforme
U(r1)=1
2Kr2
1,(1)
oùKestune constantequ’onexprimeraenfonction deγ,P0etR0.
I.4Onvamaintenantcalculerl’énergie cinétiquedel’eau.Le champ devitessedel’eauest
supposéradialàtoutinstant,etlavitesseradiale estnotée v1(r,t).Montrerquer2v1(r,t)est
indépendantder.En déduirel’expression dev1(r,t)enfonction der,R0et˙r1=dr1/dt.
I.5Calculerl’énergie cinétiquedel’eauetmettrelerésultatsouslaforme1
2M˙r2
1,oùMestune
constantequ’onexprimeraenfonction deρ0etR0.
I.6Écrirel’équation d’évolution der1(t).Montrerquelerayon delabulleoscilleàlapulsation
ω0=c/R0,oùcestune constantedonton préciseral’expressionenfonction deγ,P0etρ0.
I.7Récrirelarelation deproportionnalité entrepa(t)etr1(t),déterminée àlaquestionI.1,en
fonction deρ0,ω0etR0.
I.8Application numérique:calculerc,etcomparercettevaleuràlavitessedu son dansl’air.
Justifierl’approximation,faiteàlaquestionI.1,quelapressionesthomogèneàl’intérieurdela
bulle.Quelestl’ordredegrandeurdelafréquence del’oscillation pourunebullemillimétrique?
Commentse compare-t-il auxfréquences sonoresperçuesparl’ouïe?
II.Oscillationsforcées
Onseproposemaintenantderetrouverl’expression delapulsation d’oscillation parune
méthodedifférente,grâce àl’équation dynamiquelocale.Cecipermettradetraiterlesoscillations
forcéesdelabullesousl’effetd’unesurpressionpe(t)appliquée à grandedistance delabulle.On
traitedanstoute cettepartielasurpressionlocalep1(r,t)etlavitesseradialev1(r,t)dansl’eau
commedesquantitésinfinitésimales.pe(t)estlalimitedep1(r,t)lorsquertend versl’infini.
CommedanslapartieI,onassimilel’eauàun fluideincompressible etsansviscosité.
II.1Danscesconditions,montrerqu’on peutécrire entoutpointdel’eau
ρ0
∂v1
∂t=−∂p1 ∂r.(2)
II.2En utilisantlerésultatdelaquestionI.4,en déduirel’expression dep1(r,t)enfonction de
ρ0,R0,¨r1(t),pe(t)etr.
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X Physique A PC 2012 — Énoncé 3/5
II.3Quelle est,en utilisantlerésultatprécédent, l’expression dep1(r,t)àlasurface delabulle?
Encomparantavec lerésultatdelaquestionI.7,en déduirel’équation d’évolution der1(t),et
vérifierqu’onretrouvelerésultatdelaquestionI.6lorsquepe(t)=0.
II.4Onimposeunesurpressionextérieuresinusoïdalepe(t)=pe0cos(ωt),avec pe0>0,aumoyen
d’un haut-parleur.Enrégimesinusoïdalforcé,exprimerl’amplitude etlaphasedesoscillations
delabulle enfonction depe0,ρ0,R0,ω0etω.
II.5Pourétudierlesoscillationsdelabulle,on place un petitmicrophonedansl’eau,àune
distance ddu centredelabulle,quienregistrelasurpressionlocalepm(t).Donnerl’expression
depm(t).
II.6Enrégimesinusoïdalforcé,en déduirelemoduledel’amplitudedepm(t),notépm0,en
fonction depe0,R0,d,ω0etω.
II.7Onsuppose,danscettequestionseulement,qued=2R0.Tracersoigneusementpm0/pe0en
fonction deω/ω0.
II.8En pratique,onretientlabulleaumoyen d’un petitfiletdetulle.Queleffetphysique,
négligédansce problème,obligeàutilisercetartifice ?
III.Modélisation del’amortissement
On prend dorénavantencomptelacompressibilitédel’eau,négligée jusqu’ici. Cettepartie
étudiel’effetdesvibrationsdesondes sonores surlesoscillationslibresdelabulle.
III.1Onécritlamassevolumiquedel’eauen un pointquelconque,repéréparlevecteurposition
~r,souslaformeρ(~r,t)=ρ0+ρ1(~r,t),avec |ρ1(~r,t)|≪ρ0.On note~v1(~r,t)lavitessedu fluide
etp1(~r,t)lasurpression.Onrappellequep1(~r,t)=c2
sρ1(~r,t),oùcsestlavitessedu son dans
l’eau.Établirl’équation ded’Alembert pourlasurpressionp1(~r,t)dansl’eau.
III.2CommedanslapartieI,onétudielesoscillationsradialesdelabulle,quiconserventla
symétriesphérique.On donnel’expression du laplacienencoordonnées sphériques
∆p1(r,t)=1
r
∂2
∂r2(rp1(r,t)) .(3)
Vérifierquelaformesuivante estsolution del’équation ded’Alembert :
p1(r,t)=1
rφÅt−r−R0 csã+1 rψÅt+r−R0 csã.(4)
Onadmettraque c’estlasolutiongénérale.
III.3Justifierqu’onchoisisse,pource problème,deposerψ(t)=0pour toutt.
III.4Montrerque
ρ0¨r1(t)=−Ç∂p1(r,t)
∂rår=R0
.(5)
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X Physique A PC 2012 — Énoncé 4/5
III.5Exprimerlemembrededroitedel’équation(5)enfonction deφ(t),˙ φ(t),R0etcs.
III.6Exprimerφ(t)enfonction delasurpressionpa(t)àl’intérieurdelabulle etdeR0,puisen
fonction deρ0,ω0,R0etr1(t)enappliquantlerésultatdelaquestionI.7.
III.7Déduiredestroisquestionsprécédentesquel’équation d’évolution der1(t)semetsousla
forme
¨r1+ω0
Q˙r1+ω2
0r1=0.(6)
Donnerl’expression deQenfonction decsetdelaquantitécintroduiteàlaquestionI.6.
Application numérique:calculerQ.
III.8Montrerquedanslalimiteoùl’eauestincompressible, l’équation(6)coïncideavec celle
obtenueàlaquestionI.6.
III.9Quelle estlacausephysiquedu termed’amortissementdel’équation(6)?
IV.Étude expérimentaledesoscillationsforcées
CommedanslapartieII,onimposeunesurpressionaumoyen d’un haut-parleur.Pour tenir
comptedelapropagation desondes sonoresdansl’eau, introduitedanslapartieIII,onécrit
maintenantcettesurpressionsousformed’uneondeplanepe(~r,t)=pe0cos(ωt−~
k·~r),avec
pe0>0.
IV.1Déterminerlarelationentre|~ k|etω.
IV.2En présence delabullederayonR0,dontle centre estchoisiàl’origine,onécritla
surpressiontotalesouslaforme
p1(~r,t)=pe0cos(ωt−~
k·~r)+1
rφÅt−r−R0 csã,(7)
avec r=|~r|.Expliquerpourquoip1(~r,t)ainsidéfiniestsolution del’équation ded’Alembert.
IV.3Onsupposeque|~ k|R0≪1,detellesortequ’on puissefairel’approximationcos(ωt−~
k·~r)≃
cos(ωt)auvoisinagedelabulle.VérifierquelesrésultatsdesquestionsIII.4etIII.5sont
inchangés.Commentlehaut-parleurmodifie-t-il larelationobtenueàlaquestionIII.6?En
utilisantlerésultatdelaquestionI.7,montrerqu’onobtientun systèmededeuxéquations
différentiellespourr1(t)etφ(t).Dansceséquations,onexprimeracsenfonction deQ,ω0etR0
en utilisantlerésultatdelaquestionIII.7.
IV.4Résoudre ce systèmedanslerégimesinusoïdalforcé,etdéterminerlesamplitudescomplexes
der1(t)etdeφ(t)enfonction depe0,ρ0,R0,ω0,Qetω.
IV.5CommedanslapartieII,onmesurelasurpression dansl’eaugrâce àun petitmicrophone
placé dansl’eauàunedistance ddu centredelabulle,avec |~ k|d≪1.Exprimerl’amplitude
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X Physique A PC 2012 — Énoncé 5/5
complexedelasurpressionenregistrée parlemicrophone.Vérifierqu’onretrouvelerésultatde
laquestionII.6danslalimiteoùl’eauestincompressible.
Figure1:Moduledel’amplitude(àgauche)etcosinusdela phase(à droite)delasurpression
mesurée parlemicrophone enfonctiondelafréquence duhaut-parleur.Deux cas sontreprésentés:
avec ousansbulled’air[d’aprèsV.Leroy,M.Devaud,J.-C.Bacri, Am.J.Phys.70,1012
(2002)].
IV.6Estimeràpartirdescourbesexpérimentalesdelafigure1lesvaleursdeω0,Qetd/R0.
IV.7En déduireune estimation delatailledelabulleutilisée pourcette expérience.Est-il
légitimede considérerqu’àlasurface delabulle, lasurpressionimposée parlehaut-parleurest
uniforme?
IV.8ComparerlavaleurexpérimentaledeQavec lavaleurpréditeparlamodélisation dela
questionIII.7.Commenter.
IV.9Onasupposédanstoutce problèmequelesoscillationsdelabulle étaientadiabatiqueset
réversibles.Nommerun effetphysiquemettanten défautcettehypothèse.Quelle estlaconsé-
quence de ceteffetsurladynamiquedesoscillations?
IV.10 Lesystèmedécritdansce problème estun analogueacoustiquedeladiffusion d’uneonde
plane électromagnétiqueparun dipôledansle cadredu modèledel’électronélastiquementlié.
Expliciterlespointscommunsetlesdifférences.
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