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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2010
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu par
Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Julien Dumont (Professeur en CPGE).
Ce sujet porte sur l’étude de quelques aspects des lecteurs de CD. Il s’articule autour de deux grandes parties, orientées respectivement vers les sciences de l’ingénieur
et les sciences physiques.
• La partie sciences de l’ingénieur aborde tout d’abord la mécanique du déplacement du chariot qui supporte le laser, proposant une modélisation cinématique,
avec trois liaisons en parallèle. Ensuite, les questions sont centrées sur le système
de suivi de la piste et l’asservissement du spot. Après avoir établi les fonctions
de transfert de la commande en déplacement, on cherche à dimensionner un
correcteur à avance de phase.
• La deuxième partie traite de la partie optique du lecteur. Elle se décompose
en sous-parties relativement indépendantes, abordant de nombreux points du
cours. On suit d’abord le cheminement du faisceau lumineux, onde polarisée,
à travers une lame quart d’onde, un miroir et un cube séparateur. Ensuite, à
partir des lois de la diffraction, on détermine la taille du spot. Enfin, le cœur
de cette partie consiste en l’étude de la détection des défauts de focalisation,
avec de nombreuses questions qualitatives sur un système astigmate, nécessitant
beaucoup de recul sur l’optique géométrique.
Le sujet est très long et de difficulté inégale. Les deux parties sont complètement
indépendantes et peuvent être traitées séparément. Fait assez rare pour être signalé,
une large part de la première partie est abordable avec le seul programme de première année. Elle permet en outre de faire le point sur l’ensemble du cours de sciences
de l’ingénieur dont elle aborde tous les aspects : mécanique du solide indéformable
et asservissements. La seconde partie est plus originale. Les questions d’optique demandent de réfléchir, essentiellement de manière qualitative, sur des concepts hors
programme.
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Indications
Partie I
I.1 Exprimer le rayon en fonction de l’angle polaire.
I.4 Dériver l’expression du rayon.
I.6 Le torseur cinématique équivalent et ceux des liaisons parallèles doivent être
tous égaux lorsqu’ils sont ramenés au même point.
I.8 Un couple de torsion est l’équivalent pour les rotations de la force de rappel
élastique exercée par un ressort pour les translations.
I.13 La solution non identiquement nulle de l’équation homogène est obtenue lorsque
le déterminant de la matrice est nul.
I.17 Traduire la conversion parfaite de puissance électromécanique pour écrire la
force de Laplace.
I.21 Quel est le signe des coefficients du dénominateur ?
I.23 Évaluer la différence d’aire entre le secteur circulaire dans son ensemble et le
triangle sous la piste.
I.26 Pour simplifier l’étude, considérer qu’à haute fréquence le dénominateur de la
fonction de transfert est équivalent à son terme de plus haut degré en ω. Il y a
vraisemblablement une erreur d’énoncé : considérer que K est positif.
Partie II
II.3 Exprimer la partie réelle de Ex et de Ey .
II.5 Étudier la légende de la figure 15.
II.9 Dessiner le dioptre plan, les rayons incident et réfracté et en déduire la nouvelle
position du point de focalisation.
II.11 Dessiner la lentille cylindrique en coupe dans les plans cités.
II.13 Les rayons dans le plan vertical sont courbés deux fois. Dans le plan horizontal,
ils ne sont courbés qu’une fois.
II.17 Différentier la formule de conjugaison de la lentille.
II.18 Calculer le grandissement pour des points quelconques puis passer à la limite
en plaçant la source sur le premier foyer.
II.24 Écrire la formule fondamentale des réseaux et en déduire l’angle de déviation.
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Lecteurs optiques numériques
I. Aspects de la mécanique d’un lecteur de CD
I.1
Caractéristiques cinématiques des éléments du lecteur
I.1 Le rayon est une fonction affine de l’angle polaire. En outre, pour un tour,
le rayon croît du pas p. Notons r0 le rayon intérieur et fixons à θ = 0 l’angle du début
de la piste. Le rayon s’écrit alors
p
θ
r = r0 +
2π
2π
dr
p
et la longueur L de la piste est donnée par
Z
Z θ1
2π r1
r dr
L=
r dθ =
p r0
0
On en déduit
dθ =
L=
π
(r1 2 − r0 2 ) = 5,4 km
p
Il est plus intéressant d’exprimer θ en fonction de r, même si c’est moins intuitif, car ainsi l’intégrale s’exprime en fonction des rayons extrêmes, qui sont
donnés dans l’énoncé.
I.2 La vitesse de défilement du spot devant la piste étant constante, la durée maximale de lecture audio vaut
T=
L
= 75 min
V
La valeur usuellement retenue est 74 minutes. Le résultat calculé est légèrement inférieur à 75 minutes mais arrondi à 75 pour garder une cohérence
dans les chiffres significatifs. La rumeur voudrait que cette durée ait été choisie afin que la version la plus lente de la 9e symphonie de Beethoven tienne
sur un seul CD.
ω
I.3 La vitesse angulaire s’exprime simplement
en fonction de la vitesse linéaire
ω(r) =
ω0
V
r
Les vitesses aux bords intérieur et extérieur du
disque valent
ω0 = 48 rad.s−1 = 460 tr.min−1
ω1 = 21 rad.s−1 = 200 tr.min−1
ω1
r0
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r1
r
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I.4 Reprenons et dérivons l’expression du rayon écrite à la question I.1 :
dr
p dθ
p
=
=
ω
dt
2π dt
2π
Ainsi, avec la vitesse angulaire trouvée à la question précédente,
u̇(r) =
u̇(r) =
pV
2π r
Les valeurs extrémales de cette vitesse radiale sont
u̇0 = 12 µm.s−1
I.2
et
u̇1 = 5,3 µm.s−1
Une solution technologique pour le déplacement du spot laser
I.5 Le chariot est relié au bâti du lecteur par trois liaisons en parallèle. Les liaisons A
et B sont de type sphère-cylindre. La liaison C est un contact ponctuel.
Liaison A
Ba
Liaison B
Ch
Liaison C
La liaison sphère-cylindre s’appelait autrefois liaison linéaire annulaire.
Le contact ponctuel est souvent dénommé liaison sphère-plan.
I.6 L’ajout d’une liaison sphère-cylindre en parallèle de la première bloque deux ro→
→
tations, autour des axes (A, −
y ) et (A, −
z ) ; le chariot est lié par les deux points A et B
→
−
à l’axe (A, x ), ce qui correspond à une liaison pivot glissant. Le contact ponctuel
→
placé en parallèle annule la dernière rotation, autour de l’axe (A, −
x ).
→
La liaison équivalente est une glissière d’axe (A, −
x ).
Le torseur cinématique équivalent à ces trois liaisons parallèles est obtenu en
écrivant que les torseurs cinématiques de chaque liaison exprimés en un même point
sont égaux. Ainsi, on veut
{V Liaison A }A = {V Liaison B }A = {V Liaison C }A
 →





→
−
→
−


 −


Ω 
Ω
Ω
=
=
→ 
→ 
 −→ 
 −→ −→ −
 −→ −→ −
VA A
VB + AB ∧ Ω
VC + AC ∧ Ω
A
A
−→
−→
−
−
Avec AB = a →
x et AC = −b →
y , on a alors





α̇
u̇ 
α̇ u̇ 
α̇













β̇ −a γ̇
=
=
β̇ 0
β̇















γ̇ 0 A
γ̇
γ̇ a β̇
A

u̇ − b γ̇ 


v̇



b α̇
A
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