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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2007 — Énoncé 1/13
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
OptionPhysique etSciencesdel’Ingénieur
CONCOURSD’ADMISSION2007
COMPOSITIONDEPHYSIQUE ETSCIENCESDEL’INGÉNIEUR
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesestautorisée pourcette épreuve.
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Optique adaptative
L’optiqueadaptative estunetechniquequipermetde corrigerentempsréel lesdégradations
desimagesdesastresduesàlapropagationàtraverslaturbulence atmosphérique.Cettepro-
pagationintroduitdesdifférencesdemarchespatialeset temporellesaléatoires surlesfaisceaux
optiques.Lesondesincidentes surletélescope, issuesd’unesource lointaine,nesontdoncplus
desondesplanesetlesdimensionsdesimagesforméesaufoyernesontplusdéterminéesparla
diffraction del’ouverturedu télescope.
Unsystèmed’optiqueadaptative(figure1)estconstituéd’un analyseurdefrontd’ondequi
estenchargedelamesure entempsréeldesperturbationsdu faisceaulumineux,d’un miroir
déformablepermettantd’introduiresurlefaisceau desdifférencesdemarcheopposéesàcellesde
laturbulence pourenassurerlacorrectionentempsréeletenfin d’un calculateureffectuantle
traitementdu signaldel’analyseurpourle calculdelacorrectionetl’application descommandes
aumiroirdéformable.
Lapremièrepartietraitedelaformation d’uneimage,etprésentequelquescaractéristiquesde
laturbulence,pourestimerladégradation del’imagedueàceteffetperturbateur.Lespropriétés
du modèlede comportementd’un miroirmodulable,élémentdelachaîned’optiqueadaptative
pourcorrigerlefrontd’ondeperturbé,sontdéveloppéesen deuxièmepartie.Latroisièmepartie
exposedeuxtechniquespourévaluerlesdéformationsdu frontd’onde.Labouclederégulation
d’un systèmed’optiqueadaptative estenfin décritedans sonenvironnement.
Constantesphysiques
céléritédelalumièredanslevidec=3,00 ×108m·s−1
constantedu gazparfaitRGP=8,31 J·K−1·mol−1
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Figure1.Chaîned’optiqueadaptative
1.Formation d’image et turbulence
1.1.Onconsidèreunefentedelargeuraetdelongueurgrandedevantsalargeur;elle est
éclairée,sousuneincidence voisinedelanormale,paruneondeplanemonochromatiquede
longueurd’ondeλ.Onsupposedeplusa>> λ.
1.1.1.Donnerun énoncé qualitatifdu principedeHuygens-Fresnel.
1.1.2.Déterminerl’expression del’intensitélumineusedelafiguredediffraction « àl’infini»,
enfonction del’angleαquefaitladirection d’observationavec ladirection del’ondeincidente.
On désigneraparI0lavaleurdu maximumd’intensité.
1.1.3.Exprimerlapositionangulairedelapremièrefrangenoire enfonction delalongueur
d’ondeλetdelalargeura.
Danstoutleproblème,on nes’intéresseraqu’àunedescriptionmonodimensionnelledela
tachedediffraction d’un dispositifoptique.Onconsidéreraquel’expressiontrouvée dimensionne
convenablementlerayon du premieranneausombredelafiguredediffractionàl’infinicréée par
un diaphragme circulaire.
1.2.L’étudesuivanteapourbutdemettre enévidence l’un desaspectsdeladégradation de
l’imaged’unesource ponctuelleparlaturbulence.
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Onconsidèredeuxfentes,delargeura,séparéesdeladistance b.Ons’intéresseàlafigurede
diffraction « àl’infini» de ce système.Lesdimensionsaetbsont trèsgrandesdevantlalongueur
d’ondeλdu rayonnementconsidéré.
1.2.1.Onsupposequelesfentes sontéclairéesparunesource monochromatique,donnantun
frontd’ondeplan parallèleau plan desfentes.
a)Donnerl’amplitudepuisl’intensitédiffractéesàl’infinidansunedirectionformantl’angle
αavec ladirection del’ondeincidente.
b)Préciserlerôledesdeuxdimensionscaractéristiquesaetb.
1.2.2.Onsupposemaintenantquelapartiedel’ondearrivantsurl’unedesfentespossèdeun
décalagedephaseψ.
Quelleinfluence ce déphasageinduit-il surlafiguredediffraction?
1.2.3.Cedéphasageψvarieaucoursdu temps.Quelle conditionsurψassurelavisibilitédes
franges(déplacement trèsinférieuràlalargeurd’unefranged’interférence)?
1.2.4.Onsupposequeledéphasageψvarierapidement,eninduisantdesvariations surle
frontd’ondeplusgrandesqu’unelongueurd’onde.Un détecteurplan placé à grandedistance
enregistrelerayonnementdiffractédurantun certainlapsdetemps(tempsdepose).
Quelle estl’alluredel’imageobtenueavec un tempsdeposepluscourt queletempscarac-
téristiquedesvariationsdeψ?
Mêmequestionavec un tempsdeposelongdevantce tempscaractéristique.
1.3.L’étudeprécédente estcomplétée iciparuneanalyseplusfine.Àl’abscissex, laphase
del’onde,quifluctuerapidement,estconsidérée commeunevariablealéatoiredevaleurϕ(x,t)
àl’instantt;onsupposesavaleurmoyennetemporellenulle,soithϕ(x,t)i=0.On pose
ψ(x+δ,x,t)=ϕ(x+δ,t)−ϕ(x,t).Cedéphasage estaussiunevariablealéatoire;savariance
Dϕ(δ)=¨|ϕ(x+δ,t)−ϕ(x,t)|2∂estsupposée stationnaire etuniquementfonction del’écart δ
(invariance par translationstemporelle etspatiale).
1.3.1.Reprendrele calculeffectué en1.2.1.a avec deuxfentes séparéesdebpourobtenir
l’amplitude,puisl’intensitéI(α,t).
1.3.2.Pourunevariablealéatoiref(t)dontlastatistique estdonnée parunegaussienne et
devaleurmoyennenulle,onmontrequehexp[if(t)]i=expî−1
2¨|f(t)|2∂ó.Lesfluctuationsde
phase étantduesàun trèsgrand nombredeparamètres,onadmettraqu’ellesobéissentàce type
destatistique.
En déduirel’intensitémoyenneI(α)=hI(α,t)ienfonction deDϕ(b).
1.3.3.Onsupposea≪b.On définitun facteurdevisibilitédesfrangesΓparΓ=Imax−Imin
Imax+Imin
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oùImaxetIminsontlesintensitésd’un maximumetd’un minimumvoisins.ExprimerΓàl’aide
deDϕ(b).
1.3.4.Uneanalysethéoriquedesfluctuationsprévoitunevariance delaforme
Dϕ(δ)=Åδ
δ0ã5/3
oùδ0estunedimensioncaractéristique.Calculerenfonction deδ0lava-
leurℓdebpourlaquelleΓ=0,1.Quelestl’intérêtdelacomparaison de cettevaleuravec le
diamètredu miroirdu télescope?
1.4.Lesperturbationsduesàlaturbulence sontliéesaux variationsd’indice deréfraction de
l’air.Cetindice dépend desamassevolumiqueρ,vialarelationempiriquedeGladstone:
n−1=Kρ.
1.4.1.Exprimernenfonction delatempératureTetdelapressionp;onsupposequel’air,
demassemolaireM,obéitàl’équation d’étatdu gazparfait.
DéterminernumériquementlaconstanteK,sachantque,danslesconditionsnormalesde
pressionet température(1,013 ×105Pa,293 K),n=1,00029.
1.4.2.Par rapport àunesituation d’équilibredel’atmosphèredécriteparT(z)etp(z),des
fluctuationsdetempérature etdepressionsemanifestent respectivementpardesécartsδTet
δp.Exprimerlarelationentre cesfluctuationsetcellesδndel’indice qu’ellesinduisent.
A.N.Onadmetquel’équilibre en pressionest,auregard desphénomènesétudiés,quasiment
instantané.Quellefluctuation d’indice découled’unefluctuation detempératureδTde0,1K
d’unepart au niveau delamer (20◦C),d’autrepart àl’altitude correspondantàunepression de
100 hPa(−50◦C)?
Pourquoi lescoucheslesplusbassesdel’atmosphèreapportent-elleslaplusforte contribution
auxfluctuationsd’indice ?
1.4.3.Onsupposequel’essentieldelaperturbation d’indice (δn)provientd’uneseule couche
turbulente,defaible épaisseurhàl’altitudezobs.Établirl’expression deδL,surcroîtde chemin
optiquedû àδnlorsd’unetraversée verticale.
A.N.Onmesureun décalageδLdel’ordrede1µmpouruneperturbationlimitée àune
couchelocalisée prèsdu soldehauteur30 m.En déduirelafluctuationrelativedetempérature
associée àcetteperturbation.
1.5.L’analyse effectuée en1.3permetdemodéliserlacoucheturbulenteparunejuxtaposition
de zones,appeléescellules,detaille caractéristiqueℓ(figure2).Ons’intéresseàlapropagation
d’uneondeinitialementplane,monochromatiquedelongueurd’ondeλ.Chaque celluleintro-
duitlorsdelapropagation un déphasage(par rapport auvide)fluctuantetincohérentavec les
déphasagesdescellulesvoisines.L’observationalieuàunedistance Ldelacoucheturbulente.
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ℓ
frontd’onde
plancellulesdelazone
deperturbation
Figure2.Modélisationd’une coucheturbulente
1.5.1.Quelétalementangulaireladiffraction parlacelluledetaille caractéristiqueℓva-t-elle
provoquer?
1.5.2.Montrerqu’auxdistancesplusgrandesqu’unelongueurdel’ordredeℓ2/λ, il ya
superposition desfrontsd’ondeissusde cellulesvoisines.
A.N.Calculercettelongueurpourλ=0,5µmetℓ=0,1m.
1.5.3.Letempscaractéristiqueτdel’évolution delaturbulence estliéàlavitessevdesvents
enaltitude.Exprimerτenfonction desgrandeurspertinentes.
A.N.Évaluerτpourunevitessevdel’ordrede20 m·s−1.
1.6.LesobservationsréaliséesautélescopeCFHT,àHawaï,dediamètredu miroirprimaire
(miroircollecteur) D=3,6m,montrentun étalementdel’imaged’un objetponctuel(une
étoile)del’ordrede0,5”danslesmeilleuresconditions,enlumièrevisibleàlalongueurd’onde
λ=0,5µm.
1.6.1.Quelle estl’originephysiquede cetétalement?En déduireune estimation deℓ.
1.6.2.Pourun télescopedemiroirprimairedediamètreDetdansdesconditionsdetur-
bulencescaractériséesparℓ,quelleaméliorationenrésolutionangulairepeut-onattendresion
équipeletélescoped’uneoptiqueadaptative?
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