Objets combinatoires et invariants de fonctions lisses

Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Objets combinatoires et invariants de
fonctions lisses. Applications à la robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
BENOIT Romain, DELANOUE Nicolas, LAGRANGE
Sébastien, WENGER Philippe
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
16 décembre 2014
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Singular curves and surfaces topology
Séminaire du 15 − 16 décembre 2014, IRCCyN, Nantes
Page web : https://project.inria.fr/singcast/
1/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Algorithme applicable à la robotique
exemple : Robot manipulateur 3R
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme adapté à la robotique
Illustration graphique
Conclusions et compléments
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et Triangulations
Limites du contour apparent
Stratifications
Stratifications et
Triangulations
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Triangulations de fonctions géométriques
Extension des triangulations : quatrilation
Conclusions et perspectives
2/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Introduction
Motivation : Classifier les fonctions géométriques des robots
Fondation théorique : Classification de f ∈ C ∞ (R2 , R2 )
#Cusps
#Nodes
Stratification
Contour Apparent
(et #Contre-images) (Triangulation, quatrilation)
Figure: Progression d’invariants en invariants de plus en plus riches
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
3/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Introduction
Motivation : Classifier les fonctions géométriques des robots
Fondation théorique : Classification de f ∈ C ∞ (R2 , R2 )
#Cusps
#Nodes
Stratification
Contour Apparent
(et #Contre-images) (Triangulation, quatrilation)
Figure: Progression d’invariants en invariants de plus en plus riches
[Contour apparent] – Algorithme (analyse par intervalles) :
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
- isole de façon garantie les cusps et nodes des fonctions
géométriques f ∈ C ∞ (R2 , R2 ) de robots
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
- encadre le lieu singulier, au cours de l’exécution
3/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Introduction
Motivation : Classifier les fonctions géométriques des robots
Fondation théorique : Classification de f ∈ C ∞ (R2 , R2 )
#Cusps
#Nodes
Stratification
Contour Apparent
(et #Contre-images) (Triangulation, quatrilation)
Figure: Progression d’invariants en invariants de plus en plus riches
[Contour apparent] – Algorithme (analyse par intervalles) :
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
- isole de façon garantie les cusps et nodes des fonctions
géométriques f ∈ C ∞ (R2 , R2 ) de robots
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
- encadre le lieu singulier, au cours de l’exécution
[Stratification/Triangulation] – Théorie et Construction :
- Stratification : objet topologique → invariant
- Triangulation : objet combinatoire → caractérisation
3/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Robot manipulateur 3R
z
d2
z3
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
O
y
Algorithme
applicable à la
robotique
x
β3
z2
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
r2
β2
θ2
d4
θ3
θ1
d3
Stratifications et
Triangulations
P
r3
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: Schéma cinématique d’un robot 3R (θ1 = 0)
4/42
Classifier un robot 3R selon f ∈ C ∞ (R2 , R2 )
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
voir : ”A classification of 3R orthogonal manipulators by the
topology of their workspace” by Baili, M., Wenger, P., Chablat, D.
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
– fonction géométrique d’un robot 3R (F : T 3 → R3 )
décrite par f : T 2 → R2 (robot invariant selon l’axe z)
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
5/42
Classifier un robot 3R selon f ∈ C ∞ (R2 , R2 )
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
voir : ”A classification of 3R orthogonal manipulators by the
topology of their workspace” by Baili, M., Wenger, P., Chablat, D.
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
– fonction géométrique d’un robot 3R (F : T 3 → R3 )
décrite par f : T 2 → R2 (robot invariant selon l’axe z)
Algorithme
applicable à la
robotique
– Une première classification des robots 3R :
- robots 3R à axes orthogonaux (r3 = 0)
- classification de f par #cusps et #nodes dans
l’espace de travail
- utilise des méthode formelles
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
5/42
Classifier un robot 3R selon f ∈ C ∞ (R2 , R2 )
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
voir : ”A classification of 3R orthogonal manipulators by the
topology of their workspace” by Baili, M., Wenger, P., Chablat, D.
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
– fonction géométrique d’un robot 3R (F : T 3 → R3 )
décrite par f : T 2 → R2 (robot invariant selon l’axe z)
Algorithme
applicable à la
robotique
– Une première classification des robots 3R :
- robots 3R à axes orthogonaux (r3 = 0)
- classification de f par #cusps et #nodes dans
l’espace de travail
- utilise des méthode formelles
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
– Notre contribution : Utilisation des méthodes d’analyse
par intervalles :
- cusps et nodes peuvent être isolées de façon
garantie pour toute fonction f
- long temps d’exécution de l’application littérale de
l’algorithme théorique
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
5/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Algorithme théorique appliqué aux robots 3R
Recherche des cusps sur [−π, π]2 : rapide → conservée
Recherche des nodes sur [−π, π]4 : très lente → adaptation
Temps de calculs de l’ordre du mois
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
6/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Algorithme théorique appliqué aux robots 3R
Recherche des cusps sur [−π, π]2 : rapide → conservée
Recherche des nodes sur [−π, π]4 : très lente → adaptation
Temps de calculs de l’ordre du mois
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Causes :
Algorithme
applicable à la
robotique
- Expressions complexes de f et de ses différentielles ⇒
nombreuses subdivisions et longs temps d’évaluations
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
- Recherche dans [−π, π]4 (espace de dimension 4)
- gestion du voisinage de ∆[−π, π]4
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
6/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Algorithme théorique appliqué aux robots 3R
Recherche des cusps sur [−π, π]2 : rapide → conservée
Recherche des nodes sur [−π, π]4 : très lente → adaptation
Temps de calculs de l’ordre du mois
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Causes :
Algorithme
applicable à la
robotique
- Expressions complexes de f et de ses différentielles ⇒
nombreuses subdivisions et longs temps d’évaluations
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
- Recherche dans [−π, π]4 (espace de dimension 4)
- gestion du voisinage de ∆[−π, π]4
Stratifications et
Triangulations
Adaptation en scindant la recherche de nodes en 2 étapes :
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
1. pré-construction d’une liste de recherche avec :
- Gestion du voisinage de ∆[−π, π]4
- Recherche des nodes près de Sfr × Sfr
2. Recherche de nodes dans la liste pré-construite
6/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Algorithme adapté
Algorithme en 3 étapes :
1. Recherche des cusps (Newton par intervalles)
2. Construction d’un recouvrement, R, de Sf en 2 étapes :
- Injectivité : ∀G ∈ R, f|Sf ∩G est injective
- Gestion de la diagonale :
∀(G , D) ∈ R 2 | G ∩ D 6= ∅, f|Sf ∩(G ∪D) est injective
3. Recherche des nodes dans chaque élément de
{G × D | (G , D) ∈ R 2 ; G ∩ D = ∅}
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
7/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Algorithme adapté
Algorithme en 3 étapes :
1. Recherche des cusps (Newton par intervalles)
2. Construction d’un recouvrement, R, de Sf en 2 étapes :
- Injectivité : ∀G ∈ R, f|Sf ∩G est injective
- Gestion de la diagonale :
∀(G , D) ∈ R 2 | G ∩ D 6= ∅, f|Sf ∩(G ∪D) est injective
3. Recherche des nodes dans chaque élément de
{G × D | (G , D) ∈ R 2 ; G ∩ D = ∅}
Remarque
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
La seconde étape retourne un recouvrement garanti de Sf
Recouvrement R construit, en pratique, en 2 sous étapes :
- construction de R0 tel que ∀G ∈ R0 , f|Sf ∩G est injective
- subdiviser chaque G ∈ R0 pour obtenir les boites de R
(supprimer les sous-boites créées n’intersectant pas Sf )
7/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Recouvrement R de Sfr
,
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
f
Sf
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
R
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: Recouvrement R, de Sf , vérifiant :
∀(G , D) ∈ R 2 | G ∩ D 6= ∅, la fonction f|Sf ∩(G ∪D) est injective
8/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Recherche des nodes ”le long de R”
,
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
f
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Sf
R
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: [1/5] Recherche des nodes dans {{G , D} | G ∩ D = ∅}
9/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Recherche des nodes ”le long de R”
,
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
f
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Sf
R
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: [2/5] Recherche des nodes : images disjointes
10/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Recherche des nodes ”le long de R”
,
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
f
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Sf
R
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: [3/5] Recherche des nodes : détecter un node (1/2)
11/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Recherche des nodes ”le long de R”
,
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
f
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Sf
R
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: [4/5] Recherche des nodes : détecter un node (2/2)
12/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Recherche des nodes ”le long de R”
,
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
f
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Sf
R
Stratifications et
Triangulations
Figure: [5/5] Recherche des nodes : fin lorsque R a été parcouru
13/42
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Performances :
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Points positifs (3R orthogonal/3R général) :
– cusps rapidement isolés (∼ 1 min/∼ 50 min)
– Construction plutôt rapide des recouvrements R0 et R
(∼ 10 min/∼ 7 heures)
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
– Détection rapide des nodes (∼ 5 min/∼ 10 heures)
Points négatifs (3R orthogonal/3R général) :
- Longue vérification de l’absence de node près des cusps
(∼ 45 min/∼ 60 heures)
Temps de vérification réduit par l’utilisation de méthodes de
propagation de contraintes (librairie Ibex)
14/42
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Conclusions–Contribution
I
Encadrement garanti des cusps et des nodes d’une
fonction géométrique f ∈ C ∞ (R2 , R2 ) à l’aide de
l’analyse par intervalles (lorsque f est générique)
I
Possibilité d’encadrer le contour apparent, à l’aide du
recouvrement de Sf construit.
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
I
Possibilité d’avoir une imprécision sur les paramètres.
I
Possibilité de prendre en compte des contraintes
- articulaires
- dans l’espace de travail (ex : auto-collisions)
L’algorithme SIVIA (algorithme classique d’inversion
ensembliste) utilisé est compatible avec notre procédure
de recherche de cusps et de nodes
15/42
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Figure: Auto-collisions pour un robot 3R orthogonal de paramètres
géométriques d2 = 1, d3 = 1, d4 = 1.5, r2 = 0.5 et r3 = 0.5
(solides oblongs de rayon 0.1 et liaisons pivots de rayon 0.2)
16/42
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Algorithme applicable à la robotique
exemple : Robot manipulateur 3R
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme adapté à la robotique
Illustration graphique
Conclusions et compléments
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et Triangulations
Limites du contour apparent
Stratifications
Stratifications et
Triangulations
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Triangulations de fonctions géométriques
Extension des triangulations : quatrilation
Conclusions et perspectives
17/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Limites du contour apparent
exemple fourni par Michel COSTE
f1 ∼ f2 ⇒ CA(f1 ) = CA(f2 )
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
18/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Limites du contour apparent
exemple fourni par Michel COSTE
f1 ∼ f2 ⇒ CA(f1 ) = CA(f2 )
s
o0
p0
p
n
m
o
n0
m
M
s
s
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
N
Stratifications et
Triangulations
o0
P
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
O
m
o
p0
S
m0
p
n
Algorithme
applicable à la
robotique
f1
m
m0
o0
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
n0
f2
s
Figure: Importance des contres images
18/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Stratifications
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
Stratification de Thom Boardman : Invariant
Objets constituant les stratifications peuvent être de
topologies compliquées.
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Notre objectif : Avoir une application simpliciale,cf , entre
objets combinatoires qui caractérise f ∈ C ∞ (E , F )
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
19/42
E
f -F
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
C∞
∼0
ψ
? |cf | ?
- |c | Objet topologique
|cE |
F
φ
r1
6
cE
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
6
cf
Algorithme
applicable à la
robotique
r2
- c Objet combinatoire
F
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Figure: Diagramme commutatif des objets caractérisant f
Stratifications et
Triangulations
I
f ∈ C ∞ (E , F ),
I
φ : E → |E | et ψ : F → |F |, des homéomorphismes
I
r1 et r2 des réalisations,
I
cf : cE → cF une application entre objets combinatoires
de réalisations topologiquement simples.
20/42
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
E
f -F
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
C∞
∼0
ψ
? |cf | ?
- |c | Objet topologique
|cE |
F
φ
r1
6
cE
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
6
cf
Algorithme
applicable à la
robotique
r2
- c Objet combinatoire
F
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Figure: Diagramme commutatif des objets caractérisant f
Stratifications et
Triangulations
I
f ∈ C ∞ (E , F ),
I
φ : E → |E | et ψ : F → |F |, des homéomorphismes
I
r1 et r2 des réalisations,
I
cf : cE → cF une application entre objets combinatoires
de réalisations topologiquement simples.
21/42
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Premier objet combinatoire : Triangulation
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Définition (Triangulation)
Une triangulation, T , est une liste de n-uplets de symboles,
tels que : ∀t ∈ T , ∀t0 ⊂ t, t0 ∈ T
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Définition (Symboles de la triangulation T)
sy (T ) = {s | ∃t ∈ T , s ∈ t}
Stratifications et
Triangulations
Définition (Application de T1 dans T2 )
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Une application g : T1 → T2 telle que :
∃gsy : sy (T1 ) → sy (T2 ) et ∀t ∈ T1 , g (t) = {gsy (s) | s ∈ t}
22/42
E
f -F
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
C∞
∼0
ψ
? |cf | ?
- |c | Objet topologique
|cE |
F
φ
r1
6
cE
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
6
cf
Algorithme
applicable à la
robotique
r2
- c Objet combinatoire
F
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Figure: Diagramme commutatif des objets caractérisant f
Stratifications et
Triangulations
I
f ∈ C ∞ (E , F ),
I
φ : E → |E | et ψ : F → |F |, des homéomorphismes
I
r1 et r2 des réalisations,
I
cf : cE → cF une application entre objets combinatoires
de réalisations topologiquement simples.
23/42
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Réalisation de triangulation
Définition (Réalisation d’une triangulation T )
Objet géométrique |T | ⊂ Rn formé de simplexes tels que
l’ensemble des n-uplets de points sommets d’un simplexe de
|T | est en bijection avec T .
a
Algorithme
applicable à la
robotique
{a, b, c}
{a, b}
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
2
Figure: Réalisations dans R des n-uplets combinatoires
Théorème (Homéomorphisme des réalisations)
Les réalisations d’une triangulation sont homéomorphes
24/42
E
f -F
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
C∞
∼0
ψ
? |cf | ?
- |c | Objet topologique
|cE |
F
φ
r1
6
cE
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
6
cf
Algorithme
applicable à la
robotique
r2
- c Objet combinatoire
F
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Figure: Diagramme commutatif des objets caractérisant f
Stratifications et
Triangulations
I
f ∈ C ∞ (E , F ),
I
φ : E → |E | et ψ : F → |F |, des homéomorphismes
I
r1 et r2 des réalisations,
I
cf : cE → cF une application entre objets combinatoires
de réalisations topologiquement simples.
25/42
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Définition (Triangulation de l’espace E )
Une triangulation, TE , telle que |TE | est homéomorphe à E .
Définition (Application de |TE | dans |TF |)
Une application |g | : |TE | → |TF | telle que ∃g : TE → TF et
∀|σ|, simplexe de |TE |, |g |(|σ|) = |g (σ)|
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
26/42
E
f -F
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
C∞
∼0
ψ
? |cf | ?
- |c | Objet topologique
|cE |
F
φ
r1
6
cE
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
6
cf
Algorithme
applicable à la
robotique
r2
- c Objet combinatoire
F
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Figure: Diagramme commutatif des objets caractérisant f
Stratifications et
Triangulations
I
f ∈ C ∞ (E , F ),
I
φ : E → |E | et ψ : F → |F |, des homéomorphismes
I
r1 et r2 des réalisations,
I
cf : cE → cF une application entre objets combinatoires
de réalisations topologiquement simples.
27/42
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Définition (Équivalence topologique ∼0 )
Deux applications, f1 : E → F et f2 : X → Y , sont
topologiquement conjuguées, noté f1 ∼0 f2 ssi il existe des
homéomorphismes φ : E → X et ψ : F → Y tels que
f1 = ψ −1 ◦ f2 ◦ φ
Algorithme
applicable à la
robotique
Définition (Triangulation de l’application f ∈ C ∞ (E , F ))
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
une application g : TE → TF telle que |g | ∼0 f
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
28/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Triangulations de fonctions géométriques
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Illustrations : fonctions géométriques de robots 3R
Méthodologie :
Algorithme
applicable à la
robotique
– Soit f , une fonction géométrique de E dans F
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
– Isoler les composantes connexes délimitées par :
- f (Sf ) dans F
- f −1 (f (Sf )) dans E
Stratifications et
Triangulations
– Définir une triangulation pour chaque composante
connexe délimitée, afin de construire TE et TF , telles
que l’on puisse définir Tf : TE → TF .
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
29/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Figure: f1 : T 2 → R2 : ”Un tore vu de dessus (ou de dessous)”
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
30/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Figure: f1 : T 2 → R2 : ”Un tore vu de dessus (ou de dessous)”
r3
r2
a1
r1
a2
r2
a3
A1
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Liste des images des points
(lien source-image) :
--f(ai) = Ai
--f(ri) = Ri
R3
a1
R2
R1
A2
r2
r3
r1
r2
A3
30/42
r3
r2
a1
r1
a2
r3
r2
r2
a3
r1
A1
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
a1
Algorithme
applicable à la
robotique
r2
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Liste des images des points
(lien source-image) :
--f(ai) = Ai
--f(ri) = Ri
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
R3
R2
R1
A2
A3
Figure: Triangulation de f1
31/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: f2 : T 2 → R2
32/42
a8
a7
a6
a1
a5
c4'
b4'1'
a4
b34'
F3
c1'
a3
c3
a34
b1'2
a23
a2
c4
F4
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Liste des images des points
(lien source-image) :
--f(ai) = Ai
--f(F3)=f(F4)=f(F5)=f(F6)=I
-- Pour tout i, j \in {1,2,3,4} :
f(aij) = Aij
f(ci) = f(ci') = Ci
f(bij) = f(bi'j) = f(bij') = f(bi'j') =Aij
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
c2
b23
a1
F5
c3
A6
a1
a12
A5
b41
c1
A7
a8
A12
C2
a41
a34
b12'
A4
c2'
c4
A8
A41
A23
F6
b3'4
C1
I
a7
C4
Stratifications et
Triangulations
C3 A34
a6
c3'
A1
b2'3'
a5
A3
A2
a1
a2
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
a4
a3
Figure: Triangulation de f2
33/42
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: f3 : T 2 → R2
34/42
a6
a5
a11
b1'2
b2a4'
a4
a8
F3
a1a2
a13
a2a3
a1a2a
a8
a9
F4
n2a
c3
F8
b1b2
a2
b11a
a12
b2a4
a10
a7
F5
c1
a11b
a6
F6
a11
F0
b3'4
a5
b2b3'
b1b2'
c2'
a3
c3'
a4
A5
A12
a13
A6
C1
A3
C2
I2
A7
A11b
N1
A1a2
A8
A2
A1a2a
A1b2b
A9
A16
N2
A2b4
A2a3
a1
a1b2b
Algorithme
applicable à la
robotique
a12
a2
A1
a16
n2b
b12'
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
b2b3 a15
a2b4
n1b
a1b2b
A4
a14
a34
F9
c4
a1
a1
b34'
F7
a9
n1a
c2
a3
c4'
a10
a7
b1a1'
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
a12
F2
c1'
a16
a15
a1
a14
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Liste des images des points
(lien source-image) :
--f(ai) = Ai
--f(F3)=f(F4)=f(F5)=f(F6)=I2
--f(F7)=f(F8)=f(F9)=f(F0)=I3
-- Pour tout élément i, j
dans {1,2,3,4,1a,1b,2a,2b} :
f(aij) = Aij
f(ci) = f(ci') = Ci
f(bij) = f(bi'j) = f(bij') = f(bi'j') =Aij
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
A10
I3
A11
C4
A15
C3
A34
A14
A12
A13
Figure: Triangulation de fr 3
35/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Conjecture
Toute application générique, de X dans Y tels que
dim(X ) = dim(Y ) = 2 est triangulable
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
36/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Conjecture
Toute application générique, de X dans Y tels que
dim(X ) = dim(Y ) = 2 est triangulable
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: Certaines fonctions géométriques présentent des
mouvements internes.
36/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Mouvement internes et éclatements
Remarque
La fonction géométrique f est assimilable à un éclatement,
au voisinage de ses mouvements internes.
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Théorème
Algorithme
applicable à la
robotique
Il n’est pas possible de trianguler un éclatement.
p
d
c
b
a
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
M
m
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
O
n
ecl
N
Figure: Eclatement ecl et p : (x, y ) 7→ (x, xy )
37/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Extension des triangulations : quatrilation
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
On propose d’ajouter un objet aux triangulation : le carré
(4-uplet de symboles)
Algorithme
applicable à la
robotique
Définition (Quatrilation)
Liste, Q, de n-uplets de symboles où n ∈ {1, 2, 3, 4} tels que
∀q ∈ Q, ∀q0 ⊂ q, tel que #q0 ≤ 2, q0 ∈ Q
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
38/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Réalisations et applications entre quatrilations
Définition (Réalisation d’une quatrilation)
La définition reste la même que pour une triangulation
exepté qu’un 4-uplet est réalisé par un quadrilatère (plan) au
lieu de l’être par un simplexe.
Définition (Application entre quatrilations)
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Même définition que pour les triangulations
Définition (Application entre réalisations de
quatrilations)
Stratifications et
Triangulations
Une application |g | : |Q1 | → |Q2 |, entre réalisations de
quatrilations, se définit de la même manière que pour une
application entre triangulations excepté dans le cas suivant :
Soit |g ||σ1 : σ1 → σ2 où σ1 est un carré et σ2 est un triangle.
Alors |g | ∼ p : (x, y ) 7→ (x, xy )
39/42
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
Figure: f4 : T 2 → R2
40/42
a4
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
a1
a2
a3
a4
r"1
r"2
r"3
r"4
p2'
l1a
r"1
l1b
F3
l1c
l1d
F4
l1a
p2"
Liste des images des points
(lien source-image) :
--f(ai) = A
--f(F1)=f(F2)=E
--f(F3)=f(F4)=f(F5)=f(F6)=I
--f(ri) = f(ri') = f(ri") = Ri
--f(l1a) = f(l1b) = f(l1c) = f(l1d) = f(p1') = f(p1") = P1
--f(l2a) = f(l2b) = f(l2c) = f(l2d) = f(p2') = f(p2") = P2
r4
r3
r1
r2
A4
R1
p1"
l2a
l2b
F5
l2d
l2c
l2a
F6
P1
p1'
r'1
r'2
r'3
r'4
a2
I
P2
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
r'1
A2
a1
Stratifications et
Triangulations
R4
R2
ai
R3
A3
a3
a4
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
A1
r3
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
a1
Figure: Quatrilation de f4
41/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Conclusions et perspectives
Conclusions
- Possibilité de représenter les fonctions géométriques par
des applications entre objets combinatoires.
- Quatrilation : étend la notion de triangulation et
permet de représenter un certain comportement non
générique : les mouvements internes.
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
- La classe des triangulations/quatrilations possibles
constitue un invariant topologique d’une fonction lisse.
Stratifications et
Triangulations
Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives
42/42
Objets
combinatoires et
invariants de
fonctions lisses.
Applications à la
robotique
Conclusions et perspectives
Conclusions
- Possibilité de représenter les fonctions géométriques par
des applications entre objets combinatoires.
- Quatrilation : étend la notion de triangulation et
permet de représenter un certain comportement non
générique : les mouvements internes.
BENOIT R.,
DELANOUE N.,
LAGRANGE S.,
WENGER P.
Algorithme
applicable à la
robotique
exemple : Robot
manipulateur 3R
Algorithme adapté à
la robotique
Illustration graphique
Conclusions et
compléments
- La classe des triangulations/quatrilations possibles
constitue un invariant topologique d’une fonction lisse.
Perspectives
Stratifications et
Triangulations
- Automatiser la construction des triangulations
(Implémenter la méthode de construction présentée)
- Construire les triangulations de façon garantie
- Canonicité des objets/statut d’invariant (Si la méthode
de construction n’implique pas de choix explicite)
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Limites du contour
apparent
Stratifications
Triangulations
Triangulations de
fonctions
géométriques
Extension des
triangulations :
quatrilation
Conclusions et
perspectives